En física relativista , el tensor de tensión-energía electromagnética es la contribución al tensor de tensión-energía debido al campo electromagnético . [1] El tensor de tensión-energía describe el flujo de energía y el momento en el espacio-tiempo . El tensor de tensión-energía electromagnética contiene el negativo del tensor de tensión clásico de Maxwell que gobierna las interacciones electromagnéticas.
Definición
Unidades SI
En espacio libre y espacio-tiempo plano, el tensor de tensión-energía electromagnética en unidades SI es [2]
dónde es el tensor electromagnético y dondees el tensor métrico de Minkowski de la firma métrica (- + + +) . Cuando se usa la métrica con firma (+ - - -) , la expresión a la derecha de la ecuación tendrá el signo opuesto.
Explícitamente en forma de matriz:
dónde
es el vector de Poynting ,
es el tensor de tensión de Maxwell y c es la velocidad de la luz . Por lo tanto,se expresa y mide en unidades de presión SI ( pascales ).
Unidades CGS
La permitividad del espacio libre y la permeabilidad del espacio libre en unidades cgs-gaussianas son
luego:
y en forma de matriz explícita:
donde el vector de Poynting se convierte en:
El tensor de tensión-energía para un campo electromagnético en un medio dieléctrico se comprende menos y es el tema de la controversia sin resolver Abraham-Minkowski . [3]
El elemento del tensor de tensión-energía representa el flujo de la componente μ -ésima del cuatro-momento del campo electromagnético,, Pasando por un hiperplano (es constante). Representa la contribución del electromagnetismo a la fuente del campo gravitacional (curvatura del espacio-tiempo) en la relatividad general .
Propiedades algebraicas
El tensor de tensión-energía electromagnética tiene varias propiedades algebraicas:
- Es un tensor simétrico :
- El tensor no tiene rastro :
- .
PruebaEmpezando con
Usando la forma explícita del tensor,
Bajando los índices y usando el hecho de que
Entonces, usando ,
Tenga en cuenta que en el primer término, μ y α y solo índices ficticios, por lo que los volvemos a etiquetar como α y β respectivamente.
- La densidad de energía es positiva-definida :
La simetría del tensor es como para un tensor de tensión-energía general en la relatividad general . La traza del tensor de energía-momento es un escalar de Lorentz ; el campo electromagnético (y en particular las ondas electromagnéticas) no tiene una escala de energía invariante de Lorentz , por lo que su tensor de energía-momento debe tener un rastro de fuga. Esta ausencia de rastros eventualmente se relaciona con la ausencia de masa del fotón . [4]
Leyes de conservación
El tensor de tensión-energía electromagnética permite una forma compacta de escribir las leyes de conservación del momento lineal y la energía en el electromagnetismo. La divergencia del tensor esfuerzo-energía es:
dónde es la fuerza de Lorentz (4D) por unidad de volumen sobre la materia .
Esta ecuación es equivalente a las siguientes leyes de conservación 3D
describiendo respectivamente el flujo de densidad de energía electromagnética
y densidad de momento electromagnético
donde J es la densidad de corriente eléctrica , ρ la densidad de carga eléctrica y es la densidad de fuerza de Lorentz.
Ver también
- Cálculo de Ricci
- Formulación covariante del electromagnetismo clásico
- Descripciones matemáticas del campo electromagnético.
- Ecuaciones de Maxwell
- Ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo
- Relatividad general
- Ecuaciones de campo de Einstein
- Magnetohidrodinámica
- Cálculo vectorial
Referencias
- ^ Gravitación, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
- ^ Gravitación, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973 ISBN 0-7167-0344-0
- ^ Sin embargo, véase Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007)
- ^ Garg, Anupam. Electromagnetismo clásico en pocas palabras , p. 564 (Princeton University Press, 2012).