En matemáticas , un módulo de Drinfeld (o módulo elíptico ) es aproximadamente un tipo especial de módulo sobre un anillo de funciones en una curva sobre un campo finito , generalizando el módulo de Carlitz . En términos generales, proporcionan un campo funcional análogo a la teoría de la multiplicación compleja . Un shtuka (también llamado F-sheaf o chtouca ) es una especie de generalización de un módulo de Drinfeld, que consiste aproximadamente en un paquete de vectores sobre una curva, junto con una estructura adicional que identifica un "giro de Frobenius" del paquete con una "modificación" de ella.
Los módulos de Drinfeld fueron introducidos por Drinfeld ( 1974 ), quien los utilizó para probar las conjeturas de Langlands para GL 2 de un campo de función algebraica en algunos casos especiales. Más tarde inventó shtukas y usó shtukas de rango 2 para probar los casos restantes de las conjeturas de Langlands para GL 2 . Laurent Lafforgue demostró las conjeturas de Langlands para GL n de un campo de función mediante el estudio de la pila de módulos de shtukas de rango n .
"Shtuka" es una palabra rusa штука que significa "una sola copia", que proviene del sustantivo alemán "Stück", que significa "pieza, elemento o unidad". En ruso, la palabra "shtuka" también se usa en la jerga para un cosa con propiedades conocidas, pero sin nombre en la mente del hablante.
Módulos Drinfeld
El anillo de polinomios aditivos
Dejamos ser un campo de caracteristicas . El anillose define como el anillo de polinomios no conmutativos (o retorcidos) encima , con la multiplicación dada por
El elemento puede pensarse como un elemento de Frobenius : de hecho, es un módulo de la izquierda sobre , con elementos de actuando como multiplicación y actuando como el endomorfismo de Frobenius de . El anillo también se puede considerar como el anillo de todos los polinomios aditivos (absolutamente)
en , donde un polinomio se llama aditivo si (como elementos de ). El anillo de polinomios aditivos se genera como un álgebra sobre por el polinomio . La multiplicación en el anillo de polinomios aditivos viene dada por la composición de polinomios, no por la multiplicación de polinomios conmutativos, y no es conmutativa.
Definición de módulos Drinfeld
Sea F un campo de función algebraica con un campo finito de constantes y fije un lugar de F . Defina A como el anillo de elementos en F que son regulares en todos los lugares excepto posiblemente. En particular, A es un dominio de Dedekind y es discreto en F (con la topología inducida por). Por ejemplo, podemos tomar A como el anillo polinomial. Sea L un campo equipado con un homomorfismo de anillo.
- A Drinfeld A -módulo sobre L es un homomorfismo de anillos cuya imagen no está contenida en L , de modo que la composición de con coincide con .
La condición de que la imagen de A no esté en L es una condición de no degeneración, puesta para eliminar casos triviales, mientras que la condición de que da la impresión de que un módulo de Drinfeld es simplemente una deformación del mapa .
Como L {τ} puede considerarse como endomorfismos del grupo aditivo de L , un módulo A de Drinfeld se puede considerar como una acción de A sobre el grupo aditivo de L , o en otras palabras, como un módulo A cuyo aditivo subyacente grupo es el grupo aditivo de L .
Ejemplos de módulos Drinfeld
- Defina A como F p [ T ], el anillo habitual (conmutativo!) De polinomios sobre el campo finito de orden p . En otras palabras, A es el anillo de coordenadas de una curva afín del género 0. Entonces, un módulo de Drinfeld ψ está determinado por la imagen ψ ( T ) de T , que puede ser cualquier elemento no constante de L {τ}. Por tanto, los módulos de Drinfeld se pueden identificar con elementos no constantes de L {τ}. (En el caso del género superior, la descripción de los módulos de Drinfeld es más complicada).
- El módulo Carlitz es la Drinfeld módulo ψ propuesta por ψ ( T ) = T + τ, donde A es F p [ T ] y L es un campo algebraicamente cerrado completa adecuada que contiene A . Fue descrito por L. Carlitz en 1935, muchos años antes de la definición general de módulo Drinfeld. Consulte el capítulo 3 del libro de Goss para obtener más información sobre el módulo Carlitz. Véase también exponencial de Carlitz .
Shtukas
Suponga que X es una curva sobre el campo finito F p . Un shtuka (derecha) de rango r sobre un esquema (o pila) U viene dado por los siguientes datos:
- Gavillas localmente libres E , E ′ de rango r sobre U × X junto con morfismos inyectivos
- E → E ′ ← (Fr × 1) * E ,
cuyos cokernels se apoyan en ciertos gráficos de morfismos de U a X (llamados el cero y el polo del shtuka, y usualmente denotados por 0 y ∞), y están localmente libres de rango 1 en sus soportes. Aquí (Fr x 1) * E es la retirada de E por el endomorfismo de Frobenius de U .
Un shtuka izquierdo se define de la misma manera, excepto que la dirección de los morfismos se invierte. Si el polo y el cero del shtuka están separados, los shtukas izquierdos y los shtukas derechos son esencialmente lo mismo.
Al variar U , obtenemos una pila algebraica Shtuka r de shtukas de rango r , un shtuka "universal" sobre Shtuka r × X y un morfismo (∞, 0) de Shtuka r a X × X que es suave y de dimensión relativa 2 r - 2. La pila Shtuka r no es de tipo finito para r > 1.
Los módulos de Drinfeld son en cierto sentido tipos especiales de shtukas. (Esto no es del todo obvio a partir de las definiciones). Más precisamente, Drinfeld mostró cómo construir un shtuka a partir de un módulo de Drinfeld. Ver Drinfeld, VG Subanillos conmutativos de ciertos anillos no conmutativos. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), núm. 1, 11–14, 96. para más detalles.
Aplicaciones
Las conjeturas de Langlands para los campos de función establecen (de manera muy aproximada) que existe una biyección entre las representaciones automórficas cúspides de GL n y ciertas representaciones de un grupo de Galois. Drinfeld usó módulos de Drinfeld para probar algunos casos especiales de las conjeturas de Langlands, y más tarde probó las conjeturas de Langlands completas para GL 2 generalizando los módulos de Drinfeld a shtukas. La parte "difícil" de probar estas conjeturas es construir representaciones de Galois con ciertas propiedades, y Drinfeld construyó las representaciones de Galois necesarias encontrándolas dentro de la cohomología l -ádica de ciertos espacios de módulo de shtukas de rango 2.
Drinfeld sugirió que los espacios de módulo de shtukas de rango r podrían usarse de manera similar para probar las conjeturas de Langlands para GL r ; Los formidables problemas técnicos involucrados en la realización de este programa fueron resueltos por Lafforgue después de muchos años de esfuerzo.
Ver también
Referencias
Módulos Drinfeld
- Drinfeld, V. (1974), "Módulos elípticos", Matematicheskii Sbornik (en ruso), 94 , MR 0384707. Traducción al inglés en matemáticas. URSS Sbornik 23 (1974) 561–592.
- Goss, D. (1996), Estructuras básicas de aritmética de campos funcionales , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (3)], 35 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-61480-4 , ISBN 978-3-540-61087-8, MR 1423131
- Gekeler, E.-U. (2001) [1994], "Módulo Drinfeld" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
- Laumon, Gérard (1996), Cohomology of Drinfeld Modular Varieties, Part 1, Geometry, Counting of Points and Local Harmonic Analysis , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 41 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-47060-5
- Laumon, Gérard; Waldspurger, Jean Loup (1996), Cohomology of Drinfeld Modular Varieties, Part 2, Automorphic Forms, Trace Formulas and Langlands Correspondence , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 56 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-47061-2
- Rosen, Michael (2002), "13. Módulos de Drinfeld: una introducción", Teoría de números en campos funcionales , Textos de posgrado en matemáticas , 210 , Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-95335-3, Zbl 1043.11079.
Shtukas
- Drinfeld, VG Cohomología de variedades de módulos compactados de poleas F de rango 2. (Ruso) Zap. Nauchn. Sem. Leningrado. Otdel. Estera. Inst. Steklov. ( LOMI ) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. yo Teor. Cincel. III, 107-158, 189; traducción en J. Soviet Math. 46 (1989), núm. 2, 1789–1821
- Drinfeld, VG (1987), "Variedades moduli de poleas F", Funktsional. Anal. i Prilozhen. (en ruso), 21 (2): 23–41. Traducción al inglés: Functional Anal. Apl. 21 (1987), núm. 2, 107-122.
- Goss, D. (2003), "¿Qué es un shtuka?" (PDF) , Avisos de la Amer. Matemáticas. Soc. , 50 (1)
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