Las funciones racionales de j son modulares y, de hecho, proporcionan todas las funciones modulares. Clásicamente, la j -invariante se estudió como una parametrización de curvas elípticas sobre C , pero también tiene conexiones sorprendentes con las simetrías del grupo Monstruo (esta conexión se conoce como luz de luna monstruosa ).
Definición
Parte real de la j -invariante en función del nomo q en el disco unitario
Fase de la j -invariante en función del nomo q en el disco unitario
La j- invariante se puede definir como una función en el semiplano superior H = { τ ∈ C , Im ( τ )> 0},
Esto se puede motivar considerando que cada τ representa una clase de isomorfismo de curvas elípticas. Cada curva elíptica E sobre C es un toro complejo y, por lo tanto, puede identificarse con una red de rango 2; es decir, una red bidimensional de C . Este enrejado se puede girar y escalado (operaciones que preservan la clase isomorfismo), de modo que se genera por 1 y τ ∈ H . Esta celosía corresponde a la curva elíptica(ver Funciones elípticas de Weierstrass ).
Tenga en cuenta que j se define en todas partes en H ya que el discriminante modular es distinto de cero. Esto se debe a que el polinomio cúbico correspondiente tiene raíces distintas.
La región fundamental
El dominio fundamental del grupo modular que actúa en el semiplano superior.
Se puede demostrar que Δ es una forma modular de peso doce y g 2 uno de peso cuatro, de modo que su tercera potencia también es de peso doce. Por tanto, su cociente, y por tanto j , es una función modular de peso cero, en particular una función holomórfica H → C invariante bajo la acción de SL (2, Z ) . Cociente por su centro {± I} produce el grupo modular , que podemos identificar con el grupo lineal especial proyectivo PSL (2, Z ) .
Por una adecuada elección de transformación perteneciente a este grupo,
podemos reducir τ a un valor que dé el mismo valor para j , y que se encuentre en la región fundamental para j , que consiste en valores para τ que satisfacen las condiciones
La función j ( τ ) cuando se restringe a esta región todavía toma cada valor en los números complejos C exactamente una vez. En otras palabras, para cada c en C , hay un τ único en la región fundamental tal que c = j ( τ ) . Por tanto, j tiene la propiedad de mapear la región fundamental en todo el plano complejo.
Además, dos valores τ, τ '∈ H producen la misma curva elíptica sif τ = T (τ') para algunos T ∈ PSL (2, Z ) . Esto significa que j proporciona una biyección del conjunto de curvas elípticas sobre C al plano complejo. [1]
Como superficie de Riemann, la región fundamental tiene género 0 , y cada función modular (nivel uno) es una función racional en j ; y, a la inversa, toda función racional en j es una función modular. En otras palabras, el campo de las funciones modulares es C ( j ) .
Teoría de campo de clase yj
La j -invariante tiene muchas propiedades notables:
Si τ es cualquier punto CM, es decir, cualquier elemento de un campo cuadrático imaginario con una parte imaginaria positiva (de modo que se define j ), entonces j ( τ ) es un número entero algebraico . [2] Estos valores especiales se denominan módulos singulares .
La extensión de campo Q [ j ( τ ), τ ] / Q ( τ ) es abeliana, es decir, tiene un grupo de Galois abeliano .
Sea Λ la red en C generada por {1, τ }. Es fácil ver que todos los elementos de Q ( τ ) que fijan Λ bajo la multiplicación forman un anillo con unidades, llamado orden . Las otras celosías con generadores {1, τ ′ }, asociados de igual manera al mismo orden, definen los conjugados algebraicos j ( τ ′ ) de j ( τ ) sobre Q ( τ ) . Ordenado por inclusión, el orden máximo único en Q ( τ ) es el anillo de los enteros algebraicos de Q ( τ ) , y los valores de τ que lo tienen como su orden asociado conducen a extensiones no ramificadas de Q ( τ ) .
Estos resultados clásicos son el punto de partida para la teoría de la multiplicación compleja .
Propiedades de trascendencia
En 1937, Theodor Schneider demostró el resultado antes mencionado de que si τ es un número irracional cuadrático en el semiplano superior, entonces j ( τ ) es un número entero algebraico. Además, demostró que si τ es un número algebraico pero no cuadrático imaginario, entonces j ( τ ) es trascendental.
La función j tiene muchas otras propiedades trascendentales. Kurt Mahler conjeturó un resultado de trascendencia particular que a menudo se conoce como conjetura de Mahler, aunque Yu lo demostró como un corolario de los resultados. V. Nesterenko y Patrice Phillipon en la década de 1990. La conjetura de Mahler era que si τ estaba en el semiplano superior, entonces e 2π iτ y j ( τ ) nunca fueron simultáneamente algebraicos. Ahora se conocen resultados más sólidos , por ejemplo, si e 2π iτ es algebraico, entonces los siguientes tres números son algebraicamente independientes y, por lo tanto, al menos dos de ellos son trascendentales:
La q -expansion y moonshine
Varias propiedades notables de j tienen que ver con su q -expansión ( expansión de la serie de Fourier ), escrita como una serie de Laurent en términos de q = e 2π iτ (el cuadrado del nomo ), que comienza:
Tenga en cuenta que j tiene un polo simple en la cúspide, por lo que su q -expansión no tiene términos por debajo de q −1 .
Más notablemente, los coeficientes de Fourier para los exponentes positivos de q son las dimensiones de la parte graduada de una representación de álgebra graduada de dimensión infinita del grupo de monstruos llamado módulo de luz de luna ; específicamente, el coeficiente de q n es la dimensión de grado- n parte del módulo Moonshine, siendo el primer ejemplo el álgebra de Griess , que tiene dimensión 196,884, correspondiente al término 196884 q . Esta sorprendente observación, realizada por primera vez por John McKay , fue el punto de partida de la teoría del alcohol ilegal .
El estudio de la conjetura de Moonshine llevó a John Horton Conway y Simon P. Norton a examinar las funciones modulares de género cero. Si están normalizados para tener la forma
luego John G. Thompson demostró que hay sólo un número finito de tales funciones (de algún nivel finito), y Chris J. Cummins demostró más tarde que hay exactamente 6486 de ellas, 616 de las cuales tienen coeficientes integrales. [5]
Expresiones alternativas
Tenemos
donde x = λ (1 - λ ) y λ es la función lambda modular
una relación de funciones theta de Jacobi θ m , y es el cuadrado del módulo elíptico k ( τ ) . [6] El valor de j no cambia cuando λ se reemplaza por cualquiera de los seis valores de la relación cruzada : [7]
Los puntos de ramificación de j están en {0, 1, ∞} , de modo que j es una función de Belyi . [8]
Expresiones en términos de funciones theta
Defina el nombre q = e π iτ y la función theta de Jacobi ,
de donde se pueden derivar las funciones auxiliares theta . Dejar,
donde θ m y θ n son notaciones alternativas, y un 4 - b 4 + c 4 = 0 . Luego,
para los invariantes de Weierstrass g 2 , g 3 y la función eta de Dedekind η ( τ ) . Entonces podemos expresar j ( τ ) en una forma que se pueda calcular rápidamente.
Definición algebraica
Hasta ahora hemos considerado j en función de una variable compleja. Sin embargo, como invariante para clases de isomorfismo de curvas elípticas, se puede definir de forma puramente algebraica. [9] Deja
ser una curva elíptica plana sobre cualquier campo. Luego, podemos realizar transformaciones sucesivas para obtener la ecuación anterior en la forma estándar y 2 = 4 x 3 - g 2 x - g 3 (tenga en cuenta que esta transformación solo se puede realizar cuando la característica del campo no es igual a 2 o 3 ). Los coeficientes resultantes son:
donde g 2 = c 4 y g 3 = c 6 . También tenemos al discriminante
La j -invariante para la curva elíptica ahora se puede definir como
En el caso de que el campo sobre el que se define la curva tenga una característica diferente de 2 o 3, esta es igual a
Función inversa
La función inversa de la invariante j se puede expresar en términos de la función hipergeométrica 2 F 1 (ver también el artículo Ecuación de Picard-Fuchs ). Explícitamente, dado un número N , resolver la ecuación j ( τ ) = N para τ se puede hacer de al menos cuatro formas.
Método 1 : Resolviendo la sextica en λ ,
donde x = λ (1 - λ ) , y λ es la función lambda modular, por lo que la sextica se puede resolver como una cúbica en x . Luego,
para cualquiera de los seis valores de λ .
Método 2 : Resolviendo el cuártico en γ ,
luego para cualquiera de las cuatro raíces ,
Método 3 : Resolviendo el cúbico en β ,
luego para cualquiera de las tres raíces,
Método 4 : Resolviendo la cuadrática en α ,
luego,
Una raíz da τ , y la otra da -1/τ, pero como j ( τ ) = j (- 1/τ) , no importa qué α se elija. Los últimos tres métodos se pueden encontrar en la teoría de funciones elípticas de bases alternativas de Ramanujan .
La inversión aplicada en cálculos de alta precisión de períodos de función elíptica incluso cuando sus relaciones se vuelven ilimitadas. Un resultado relacionado es la expresibilidad a través de radicales cuadráticos de los valores de j en los puntos del eje imaginario cuyas magnitudes son potencias de 2 (lo que permite construcciones con compás y regla ). El último resultado es apenas evidente ya que la ecuación modular del nivel 2 es cúbica.
Fórmulas pi
Los hermanos Chudnovsky encontrados en 1987, [10]
una prueba de que se basa en el hecho de que
Para fórmulas similares, consulte la serie Ramanujan – Sato .
Valores especiales
La j- invariante desaparece en la "esquina" del dominio fundamental en
Aquí hay algunos valores especiales más [ cita requerida ] dados en términos de la notación alternativa J ( τ ) ≡ 1/1728j ( τ ) (solo los primeros cuatro son bien conocidos):
No clasificar las curvas elípticas sobre otros campos.
La -invariante solo es sensible a clases de isomorfismo de curvas elípticas sobre los números complejos, o más generalmente, un campo algebraicamente cerrado . Sobre otros campos existen ejemplos de curvas elípticas cuyo-invariante es el mismo, pero no es isomorfo. Por ejemplo, deja ser las curvas elípticas asociadas a los polinomios
Ambos tienen -invariante . Entonces, los puntos racionales de se puede calcular como
desde
. No hay soluciones racionales con. Esto se puede demostrar usando la fórmula de Cardano para mostrar que en ese caso las soluciones a son todos irracionales.
Por otro lado, sobre el conjunto de puntos
la ecuación para da la ecuación de
Dividiendo la ecuación por para eliminar el la solución da
que se puede reescribir como la ecuación cuadrática
Usando la fórmula cuadrática, esto da
por tanto, es un número racional.
Si estas curvas se consideran superadas , hay un isomorfismo enviando
Referencias
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