En matemáticas , la homología de Floer es una herramienta para estudiar geometría simpléctica y topología de baja dimensión . La homología de Floer es un invariante novedoso que surge como un análogo de dimensión infinita de la homología de Morse de dimensión finita . Andreas Floer introdujo la primera versión de la homología de Floer, ahora llamada homología de Lagrangian Floer, en su prueba de la conjetura de Arnold en geometría simpléctica. Floer también desarrolló una teoría estrechamente relacionada para las subvariedades lagrangianas de una variedad simpléctica. Una tercera construcción, también debida a Floer, asocia grupos de homología a variedades tridimensionales cerradas utilizando la función Yang-Mills . Estas construcciones y sus descendientes juegan un papel fundamental en las investigaciones actuales sobre la topología de las variedades simplécticas y de contacto, así como las variedades (suaves) tridimensionales y tetradimensionales.
La homología de Floer se define típicamente asociando al objeto de interés una variedad de dimensión infinita y una función de valor real en él. En la versión simpléctica, este es el espacio de bucle libre de una variedad simpléctica con la acción simpléctica funcional. Para la versión ( instanton ) para tres variedades, es el espacio de SU (2) - conexiones en una variedad tridimensional con el funcional de Chern-Simons . Hablando libremente, la homología de Floer es la homología de Morse de la función en la variedad de dimensión infinita. Un complejo de cadena de Floer se forma a partir del grupo abeliano atravesado por los puntos críticos.de la función (o posiblemente ciertas colecciones de puntos críticos). El diferencial del complejo de la cadena se define contando las líneas de flujo de gradiente de la función que conectan ciertos pares de puntos críticos (o colecciones de los mismos). La homología de Floer es la homología de este complejo de cadena.
La ecuación de la línea de flujo de gradiente, en una situación en la que las ideas de Floer se pueden aplicar con éxito, es típicamente una ecuación geométricamente significativa y analíticamente manejable. Para la homología simpléctica de Floer, la ecuación de flujo de gradiente para un camino en el espacio de bucles es (una versión perturbada de) la ecuación de Cauchy-Riemann para un mapa de un cilindro (el espacio total del camino de bucles) a la variedad simpléctica de interés; Las soluciones se conocen como curvas pseudoholomorfas . El teorema de compacidad de Gromov se usa luego para mostrar que el diferencial está bien definido y cuadra a cero, de modo que se define la homología de Floer. Para la homología instantánea en Floer, las ecuaciones de flujo de gradiente son exactamente la ecuación de Yang-Mills en la triple variedad cruzada con la línea real.
La homología simpléctica de Floer (SFH) es una teoría de homología asociada a una variedad simpléctica y un simplectomorfismo no degenerado de la misma. Si el simplectomorfismo es hamiltoniano , la homología surge del estudio de la acción simpléctica funcional en la ( cubierta universal del) espacio de bucle libre de una variedad simpléctica. SFH es invariante bajo la isotopía hamiltoniana del simplectomorfismo.
Aquí, no degeneración significa que 1 no es un valor propio de la derivada del simplectomorfismo en ninguno de sus puntos fijos. Esta condición implica que los puntos fijos están aislados. SFH es la homología del complejo de cadena generado por los puntos fijos de tal simplectomorfismo, donde el diferencial cuenta ciertas curvas pseudoholomorfas en el producto de la línea real y el toro de mapeo del simplectomorfismo. Esto en sí mismo es una variedad simpléctica de dimensión dos mayor que la variedad original. Para una elección adecuada de la estructura casi compleja , las curvas holomorfas perforadas (de energía finita) tienen extremos cilíndricos asintóticos a los bucles en elmapeo del toro correspondiente a puntos fijos del simplectomorfismo. Se puede definir un índice relativo entre pares de puntos fijos, y el diferencial cuenta el número de cilindros holomórficos con índice relativo 1.