En matemáticas , específicamente en topología y geometría , una curva pseudoholomorfa (o curva J -holomorfa ) es un mapa uniforme de una superficie de Riemann a una variedad casi compleja que satisface la ecuación de Cauchy-Riemann . Introducidas en 1985 por Mikhail Gromov , las curvas pseudoholomorfas han revolucionado desde entonces el estudio de variedades simplécticas . En particular, conducen a los invariantes de Gromov-Witten y a la homología de Floer , y desempeñan un papel destacado en la teoría de cuerdas .
Definición
Dejar ser una variedad casi compleja con una estructura casi compleja . Dejarser una superficie lisa de Riemann (también llamada curva compleja ) con estructura compleja. Una curva pseudoholomorfa en es un mapa que satisface la ecuación de Cauchy-Riemann
Desde , esta condición es equivalente a
lo que simplemente significa que el diferencial es complejo-lineal, es decir, mapea cada espacio tangente
a sí mismo. Por razones técnicas, a menudo es preferible introducir algún tipo de término no homogéneo y estudiar mapas que satisfagan la ecuación perturbada de Cauchy-Riemann
Una curva pseudoholomórfica que satisface esta ecuación se puede llamar, más específicamente, un -curva holomorfa . La perturbacióna veces se supone que es generado por un hamiltoniano (particularmente en la teoría de Floer), pero en general no es necesario.
Una curva pseudoholomorfa está, por definición, siempre parametrizada. En las aplicaciones, a menudo uno está realmente interesado en curvas no parametrizadas, es decir, dos subvariedades incrustadas (o sumergidas) de, por lo que se modifica mediante reparametrizaciones del dominio que conservan la estructura relevante. En el caso de invariantes de Gromov-Witten, por ejemplo, consideramos solo dominios cerrados de género fijo y te presentamos puntos marcados (o pinchazos ) en. Tan pronto como la característica de Euler perforada es negativo, sólo hay un número finito de reparametrizaciones holomórficas de que conservan los puntos marcados. La curva de dominioes un elemento del espacio de curvas de módulos de Deligne-Mumford .
Analogía con las ecuaciones clásicas de Cauchy-Riemann
El caso clásico ocurre cuando y ambos son simplemente el plano de números complejos . En coordenadas reales
y
dónde . Después de multiplicar estas matrices en dos órdenes diferentes, se ve inmediatamente que la ecuación
escrito arriba es equivalente a las ecuaciones clásicas de Cauchy-Riemann
Aplicaciones en topología simpléctica
Aunque pueden definirse para cualquier variedad casi compleja, las curvas pseudoholomorfas son especialmente interesantes cuando interactúa con una forma simpléctica . Una estructura casi compleja se ha dicho -tame si y solo si
para todos los vectores tangentes distintos de cero . La mansedumbre implica que la fórmula
define una métrica de Riemann en. Gromov demostró que, para un, el espacio de -domar no está vacío y es contráctil . Usó esta teoría para demostrar un teorema de no exprimir sobre incrustaciones simplécticas de esferas en cilindros.
Gromov mostró que ciertos espacios de módulos de curvas pseudoholomórficas (que satisfacen condiciones adicionales especificadas) son compactos , y describió la forma en que las curvas pseudoholomórficas pueden degenerar cuando solo se supone energía finita. (La condición de energía finita es más notable para curvas con una clase de homología fija en una variedad simpléctica donde J es-tame o -compatible). Este teorema de compacidad de Gromov , ahora muy generalizado usando mapas estables , hace posible la definición de invariantes de Gromov-Witten, que cuentan curvas pseudoholomórficas en variedades simplécticas.
Los espacios de módulos compactos de curvas pseudoholomórficas también se utilizan para construir la homología de Floer , que Andreas Floer (y autores posteriores, en mayor generalidad) utilizaron para probar la famosa conjetura de Vladimir Arnol'd sobre el número de puntos fijos de los flujos hamiltonianos .
Aplicaciones en física
En la teoría de cuerdas de tipo II, se consideran superficies trazadas por cuerdas a medida que viajan a lo largo de trayectorias en un triple Calabi-Yau . Siguiendo la formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica , se desea calcular ciertas integrales en el espacio de todas esas superficies. Debido a que dicho espacio es de dimensión infinita, estas integrales de trayectoria no están matemáticamente bien definidas en general. Sin embargo, bajo el giro A se puede deducir que las superficies están parametrizadas por curvas pseudoholomórficas, por lo que las integrales de trayectoria se reducen a integrales sobre espacios modulares de curvas pseudoholomorfas (o más bien mapas estables), que son de dimensión finita. En la teoría de cuerdas de tipo IIA cerrado, por ejemplo, estas integrales son precisamente las invariantes de Gromov-Witten .
Ver también
Referencias
- Dusa McDuff y Dietmar Salamon , J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology , Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society, 2004. ISBN 0-8218-3485-1 .
- Mikhail Leonidovich Gromov , Curvas pseudo holomorfas en variedades simplécticas. Inventiones Mathematicae vol. 82, 1985, págs. 307-347.
- Donaldson, Simon K. (octubre de 2005). "¿Qué es ... una curva pseudoholomórfica?" ( PDF ) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 52 (9): 1026–1027 . Consultado el 17 de enero de 2008 .