En matemáticas , los flujos ergódicos ocurren en geometría , a través de los flujos geodésicos y horocíclicos de superficies hiperbólicas cerradas . Ambos ejemplos se han entendido en términos de la teoría de representaciones unitarias de grupos localmente compactos : si Γ es el grupo fundamental de una superficie cerrada , considerada como un subgrupo discreto del grupo de Möbius G = PSL (2, R ), entonces el flujo geodésico y horociclo puede identificarse con las acciones naturales de los subgrupos A de matrices diagonales positivas reales yN de matrices triangulares unitarias inferiores en el haz unitario tangente G / Γ. El teorema de Ambrose-Kakutani expresa cada flujo ergódico como el flujo construido a partir de una transformación ergódica invertible en un espacio de medida usando una función de techo. En el caso del flujo geodésico , la transformación ergódica puede entenderse en términos de dinámica simbólica ; y en términos de las acciones ergódicas de Γ en el límite S 1 = G / AN y G / A = S 1 × S 1 \ diag S 1 . Los flujos ergódicos también surgen naturalmente como invariantes en la clasificación de las álgebras de von Neumann : el flujo de pesos para un factor de tipo III 0 es un flujo ergódico en un espacio de medida .
Teorema de Hedlund: ergodicidad de los flujos geodésicos y horocíclicos
El método que utiliza la teoría de la representación se basa en los dos resultados siguientes: [1]
- Si G = SL (2, R) actúa unitariamente en un espacio de Hilbert H y ξ es un vector unitario fijo por el subgrupo N de matrices unitriangular superiores, entonces ξ se fija por G .
- Si G = SL (2, R) actúa unitariamente en un espacio de Hilbert H y ξ es un vector unitario fijo por el subgrupo A de matrices diagonales de determinante 1 , entonces ξ se fija por G .
(1) Como espacio topológico, el espacio homogéneo X = G / N se puede identificar con R 2 \ {0 } con la acción estándar de G como matrices de 2 × 2 . El subgrupo de N tiene dos tipos de órbitas: órbitas paralelas al eje x con y ≠ 0 ; y puntos en el eje x . Por lo tanto, una función continua en X que es constante en N -orbitas debe ser constante en el eje real con el origen eliminado. Así, el coeficiente de la matriz ψ ( x ) = ( x xi, ξ) satisface Psi ( g ) = 1 para g en A · N . Por unitaridad, || g ξ - ξ || 2 = 2 - ψ ( g ) - ψ ( g -1 ) = 0 , de modo que g ξ = ξ para todos g en B = A · N = N · A . Ahora vamos a s A la matriz. Entonces, como se verifica fácilmente, la doble clase lateral BsB es densa en G ; este es un caso especial de la descomposición de Bruhat . Dado que ξ está fijado por B , el coeficiente de matriz ψ ( g ) es constante en BsB . Por densidad, ψ ( g ) = 1 para todos g en G . El mismo argumento como anterior muestra que g ξ = xi para todo g en G .
(2) Supongamos que ξ es fijado por A . Para el grupo unitario de 1 parámetro N ≅ R , sea P [ a , b ] el subespacio espectral correspondiente al intervalo [ a , b ] . Sea g ( s ) la matriz diagonal con entradas s y s −1 para | s | > 1 . Entonces g ( s ) P [ a , b ] g ( s ) −1 = P [ s 2 a , s 2 a ] . Como | s | tiende a infinito las últimas proyecciones tienden a 0 en la topología fuerte operador si 0 < un < b o un < b <0 . Dado que g ( s ) ξ = ξ , sigue P [ a , b ] ξ = 0 en cualquier caso. Por el teorema espectral, se deduce que ξ está en el subespacio espectral P ({0}) ; en otras palabras ξ se fija por N . Pero entonces, por el primer resultado, ξ deben ser fijados por G .
Los teoremas clásicos de Gustav Hedlund de principios de la década de 1930 afirman la ergodicidad de los flujos geodésicos y horocíclicos correspondientes a superficies compactas de Riemann de curvatura negativa constante. El teorema de Hedlund se puede reinterpretar en términos de representaciones unitarias de G y sus subgrupos. Sea Γ un subgrupo cocompacto de PSL (2, R ) = G / {± I } para el cual todos los elementos no escalares son hiperbólicos. Sea X = Γ \ G / K donde K es el subgrupo de rotaciones. El haz unidad tangente es SX = Γ \ G , con el flujo geodésico propuesta por el acción correcta de A y el flujo horociclo por la acción derecha de N . Esta acción es ergódica si L ∞ (Γ \ G ) A = C , es decir, las funciones fijadas por A son solo funciones constantes. Desde Γ \ G es compacto, este será el caso si L 2 (Γ \ G ) A = C . Sea H = L 2 (Γ \ G ) . Así, G actúa unitariamente sobre H a la derecha. Cualquier ξ distinto de cero en H fijado por A debe ser fijado por G , por el segundo resultado anterior. Pero en este caso, si f es una función continua en G de soporte compacto con ∫ f = 1 , entonces ξ = ∫ f ( g ) g ξ dg . El lado derecho es igual a ξ * f , una función continua en G . Dado que ξ es invariante a la derecha en G , se deduce que ξ es constante, como se requiere. Por tanto, el flujo geodésico es ergódico. Reemplazando A por N y usando el primer resultado anterior, el mismo argumento muestra que el flujo del horociclo es ergódico.
Teorema de Ambrosio-Kakutani-Krengel-Kubo
Flujos inducidos
Von Neumann (1932) definió ejemplos de flujos inducidos a partir de transformaciones invertibles no singulares de espacios de medida en su enfoque de la teoría del operador a la mecánica clásica y la teoría ergódica . Sea T una transformación invertible no singular de ( X , μ) que da lugar a un automorfismo τ de A = L ∞ ( X ). Esto da lugar a una transformación invertible T ⊗ id del espacio de medida ( X × R , μ × m ), donde m es la medida de Lebesgue, y por tanto un automorfismo τ ⊗ id de A ⊗ L ∞ ( R ). La traducción L t define un flujo en R preservando m y por lo tanto un flujo λ t en L ∞ ( R ). Sea S = L 1 con el correspondiente automorfismo σ de L ∞ ( R ). Así, τ ⊗ σ da un automorfismo de A ⊗ L ∞ ( R ) que conmuta con el id de flujo ⊗ λ t . El espacio de medida inducido Y está definido por B = L ∞ ( Y ) = L ∞ ( X × R ) τ ⊗ σ , las funciones fijadas por el automorfismo τ ⊗ σ. Se admite el flujo inducido dado por la restricción de Identificación del ⊗ λ t a B . Dado que λ t actúa ergódicamente sobre L ∞ ( R ), se deduce que las funciones fijadas por el flujo pueden identificarse con L ∞ ( X ) τ . En particular, si la transformación original es ergódica, el flujo que induce también es ergódico.
Flujos construidos bajo una función de techo
La acción inducida también se puede describir en términos de operadores unitarios y es este enfoque el que aclara la generalización a flujos especiales, es decir, flujos construidos bajo funciones de techo. Deje que R sea la transformada de Fourier en L 2 ( R , m ), un operador unitario tal que R λ ( t ) R * = V t donde λ ( t ) es la traducción por t y V t es la multiplicación por e ITX . Por tanto, V t se encuentra en L ∞ ( R ). En particular V 1 = R S R ∗ . Una función de techo h es una función en A con h ≥ ε1 con ε> 0. Entonces e ihx da una representación unitaria de R en A , continua en la topología de operador fuerte y por lo tanto un elemento unitario W de A ⊗ L ∞ ( R ) , actuando sobre L 2 ( X , μ) ⊗ L 2 ( R ). En particular, W conmuta con I ⊗ V t . Entonces W 1 = ( I ⊗ R ∗ ) W ( I ⊗ R ) conmuta con I ⊗ λ ( t ). La acción T en L ∞ ( X ) induce una U unitaria en L 2 ( X ) usando la raíz cuadrada de la derivada Radon-Nikodym de μ ∘ T con respecto a μ. El álgebra inducida B se define como la subálgebra de A ⊗ L ∞ ( R ) de trayecto con T ⊗ S . El flujo inducido σ t está dado por σ t ( b ) = ( I ⊗ λ ( t )) b ( I ⊗ λ (- t )) .
El flujo especial correspondiente a la función de techo h con transformación base T se define en el álgebra B ( H ) dada por los elementos en A ⊗ L ∞ ( R ) conmutando con ( T ⊗ I ) W 1 . El flujo inducido corresponde a la función de techo h ≡ 1, la función constante. Nuevamente W 1 , y por lo tanto ( T ⊗ I ) W 1 , conmuta con I ⊗ λ ( t ). El flujo especial en B ( H ) viene dado nuevamente por σ t ( b ) = ( I ⊗ λ ( t )) b ( I ⊗ λ (- t )) . El mismo razonamiento que para las acciones inducidas muestra que las funciones fijadas por el flujo corresponden a las funciones en A fijadas por σ, de modo que el flujo especial es ergódico si la transformación original no singular T es ergódica.
Relación con la descomposición de Hopf
Si S t es un flujo ergódico en el espacio de medida ( X , μ) correspondiente a un grupo de automorfismos de 1 parámetro σ t de A = L ∞ ( X , μ), entonces por la descomposición de Hopf cada S t con t ≠ 0 es disipativo o todo S t con t ≠ 0 es conservador. En el caso disipativo, el flujo ergódico debe ser transitivo, de modo que A pueda identificarse con L ∞ ( R ) bajo la medida de Lebesgue y R actuando por traslación.
Para probar el resultado en el caso disipativo, tenga en cuenta que A = L ∞ ( X , μ) es un álgebra de Abelian von Neumann máxima que actúa sobre el espacio de Hilbert L 2 ( X , μ). La medida de probabilidad μ se puede reemplazar por una medida invariante equivalente λ y hay una proyección p en A tal que σ t ( p ) < p para t > 0 y λ ( p - σ t ( p )) = t . En este caso σ t ( p ) = E ([ t , ∞)) donde E es una medida espectral en R . Estas proyecciones generan una subálgebra B de A de von Neumann . Por ergodicidad σ t ( p )1 ya que t tiende a −∞. El espacio de Hilbert L 2 ( X , λ) se puede identificar con la finalización del subespacio de f en A con λ (| f | 2 ) <∞. El subespacio correspondiente a B se puede identificar con L 2 ( R ) y B con L ∞ ( R ). Dado que λ es invariante bajo S t , se implementa mediante una representación unitaria U t . Según el teorema de Stone-von Neumann para el sistema covariante B , U t , el espacio de Hilbert H = L 2 ( X , λ) admite una descomposición L 2 ( R ) ⊗donde B y U t actúan solo sobre el primer factor tensorial. Si hay un elemento a de A que no está en B , entonces se encuentra en el conmutador de B ⊗ C , es decir, en B ⊗ B (). Si puede pues ser realizado como una matriz con entradas en B . Multiplicando por χ [ r , s ] en B , las entradas de a pueden tomarse como L ∞ ( R ) ∩ L 1 ( R ). Para tales funciones f , como un caso elemental del teorema ergódico, el promedio de σ t ( f ) sobre [- R , R ] tiende en la topología de operador débil a ∫ f ( t ) dt . Por lo tanto, para χ [ r , s ] apropiado , esto producirá un elemento en A que se encuentra en C ⊗ B () Y no es un múltiplo de 1 ⊗ I . Pero tal elemento conmuta con U t por lo que está fijado por σ t , lo que contradice la ergodicidad. Por tanto, A = B = L ∞ ( R ).
Cuando todas las σ t con t ≠ 0 son conservadoras, se dice que el flujo es propiamente ergódico . En este caso, se deduce que para todo p distinto de cero en A y t ≠ 0, p ≤ σ t ( p ) ∨ σ 2 t ( p ) ∨ σ 3 t ( p ) ∨ ⋅⋅⋅ En particular ∨ ± t > 0 σ t ( p ) = 1 para p ≠ 0.
Teorema de Ambrosio – Kakutani – Krengel – Kubo
El teorema establece que todo flujo ergódico es isomorfo a un flujo especial correspondiente a una función de techo con transformación de base ergódica. Si el flujo deja invariante una medida de probabilidad, lo mismo ocurre con la transformación base.
Por simplicidad, solo se considera el resultado original de Ambrose (1941) , el caso de un flujo ergódico que conserva una medida de probabilidad μ . Sea A = L ∞ ( X , μ) y sea σ t el flujo ergódico. Dado que el flujo es conservador, para cualquier proyección p ≠ 0, 1 en A hay un T > 0 sin σ T ( p ) ≤ p , de modo que (1 - p ) ∧ σ T ( p ) ≠ 0 . Por otro lado, cuando r > 0 disminuye a cero
en la topología de operador fuerte o equivalentemente en la topología de operador débil (estas topologías coinciden en unitarios, por lo tanto, involuciones, por lo tanto, proyecciones). De hecho, basta con mostrar que si ν es una medida finita en A , entonces ν ( a r ) tiende a ν ( p ). Esto se sigue porque f ( t ) = ν (σ t ( p )) es una función continua de t de modo que el promedio de f sobre [0, r ] tiende af (0) cuando r tiende a 0. [2]
Tenga en cuenta que 0 ≤ a r ≤ 1 . Ahora para fijo r > 0, siguiendo a Ambrose (1941) , establezca
Establezca r = N –1 para N grande y f N = a r . Por tanto, 0 ≤ f N ≤ 1 en L ∞ ( X , μ) yf N tiende a una función característica p en L 1 ( X , μ). Pero entonces, si ε = 1/4, se deduce que χ [0, ε] ( f N ) tiende a χ [0, ε] ( p ) = 1 - p en L 1 ( X ). [3] Usando la división A = pA ⊕ (1 - p ) A , esto se reduce a probar que si 0 ≤ h N ≤ 1 en L ∞ ( Y , ν) y h N tiende a 0 en L 1 ( Y , ν ), entonces χ [1 − ε, 1] ( h N ) tiende a 0 en L 1 ( Y , ν). Pero esto se sigue fácilmente de la desigualdad de Chebyshev : de hecho (1 − ε) χ [1 − ε, 1] ( h N ) ≤ h N , de modo que ν (χ [1 − ε, 1] ( h N )) ≤ (1 −ε) −1 ν ( h N ) , que tiende a 0 por supuesto.
Así, por definición, q 0 ( r ) ∧ q 1 ( r ) = 0. Además, para r = N −1 suficientemente pequeño, q 0 ( r ) ∧ σ T ( q 1 ( r ))> 0. El razonamiento anterior muestra que q 0 ( r ) y q 1 ( r ) tienden a 1 - p y p cuando r = N −1 tiende a 0. Esto implica que q 0 ( r ) σ T ( q 1 ( r )) tiende a (1 - p ) σ T ( p ) ≠ 0, por lo que es distinto de cero para N suficientemente grande. Fijando uno de esos N y, con r = N −1 , estableciendo q 0 = q 0 ( r ) y q 1 = q 1 ( r ), se puede suponer que
La definición de q 0 y q 1 también implica que si δ < r / 4 = (4 N ) −1 , entonces
De hecho, si s < t
Tome s = 0, de modo que t > 0 y suponga que e = σ t ( q 0 ) ∧ q 1 > 0. Entonces e = σ t ( f ) con f ≤ q 0 . Entonces σ t ( a r ) e = σ t ( a r f ) ≤ 1/4 e y a r e ≥ 3/4 e , de modo que
Por lo tanto || a r - σ t ( a r ) || ∞ ≥ 1/2. Por otro lado || a r - σ t ( a r ) || ∞ está acotado arriba por 2 t / r , de modo que t ≥ r / 4. Por tanto, σ t ( q 0 ) ∧ q 1 = 0 si | t | ≤ δ.
Los elementos a r dependen continuamente en la norma del operador de r en (0,1]; de lo anterior, σ t ( a r ) es la norma continua en t . Sea B 0 el cierre en la norma del operador de la * -álgebra unital generada por la σ t ( un r ) 's. es conmutativa y separable así, por el teorema de Gelfand-Naimark , puede ser identificado con C ( Z ) donde Z es su espectro , un espacio métrico compacto. por definición B 0 es una subálgebra de A y su cierre B en la topología de operador débil o fuerte se puede identificar con L ∞ ( Z , μ) donde μ también se usa para la restricción de μ a B. La subálgebra B es invariante bajo el flujo σ t , que es por lo tanto ergódica. El análisis de esta acción sobre B 0 y B arroja todas las herramientas necesarias para construir la transformación ergódica T y la función techo h . Esto se realizará primero para B (de modo que se supondrá temporalmente que A coincide con B ) y luego más tarde extendido a a . [4]
Las proyecciones q 0 y q 1 corresponden a funciones características de conjuntos abiertos. X 0 y X 1 El supuesto de ergodicidad propia implica que la unión de cualquiera de estos conjuntos abiertos bajo se traduce por σ t cuando t pasa sobre los reales positivos o negativos es conull (es decir, el complemento tiene medida cero). Reemplazando X por su intersección, un conjunto abierto, se puede suponer que estas uniones agotan todo el espacio (que ahora será localmente compacto en lugar de compacto). Dado que el flujo es recurrente, cualquier órbita de σ t pasa a través de ambos conjuntos infinitamente muchas veces cuando t tiende a + ∞ o −∞. Entre un hechizo primero en X 0 y luego en X 1 f debe asumir el valor 1/2 y luego 3/4. La última vez que f es igual a 1/2 a la primera vez que es igual a 3/4 debe implicar un cambio en t de al menos δ / 4 por la condición de continuidad de Lipschitz. Por lo tanto, cada órbita debe intersecar el conjunto Ω de x para el cual f ( x ) = 1/2, f (σ t ( x ))> 1/2 para 0 < t ≤ δ / 4 infinitamente a menudo. La definición implica que las diferentes inserciones con una órbita están separadas por una distancia de al menos δ / 4, por lo que Ω interseca cada órbita solo contablemente muchas veces y las intersecciones ocurren en tiempos negativos y positivos indefinidamente grandes. Así, cada órbita se divide en innumerables intervalos semiabiertos [ r n ( x ), r n +1 ( x )) de longitud al menos δ / 4 con r n ( x ) tendiendo a ± ∞ cuando n tiende a ± ∞. Esta partición se puede normalizar de modo que r 0 ( x ) ≤ 0 y r 1 ( x )> 0. En particular, si x está en Ω, entonces t 0 = 0. La función r n ( x ) se llama n- ésimo retorno tiempo a Ω .
La sección transversal Ω es un conjunto de Borel porque en cada conjunto compacto {σ t ( x )} con t en [ N −1 , δ / 4] con N > 4 / δ, la función g ( t ) = f (σ t ( x )) tiene un mínimo mayor que 1/2 + M −1 para un entero M suficientemente grande . Por tanto, Ω puede escribirse como una intersección contable de conjuntos, cada uno de los cuales es una unión contable de conjuntos cerrados; por lo que Ω es, por tanto, un conjunto de Borel. Esto implica en particular que las funciones r n son funciones de Borel en X . Dado y en Ω, la transformación de Borel invertible T se define en Ω por S ( y ) = σ t ( y ) donde t = r 1 ( y ), el primer tiempo de retorno a Ω. Las funciones r n ( y ) se restringen a las funciones de Borel en Ω y satisfacen la relación de ciclo:
donde τ es el automorphism inducida por T . El número de acierto N t ( x ) para el flujo S t en X se define como el número entero N tal que t se encuentra en [ r N ( x ), r N +1 ( x )). Es una función de Borel con valores enteros en R × X que satisface la identidad del ciclo
La función h = r 1 es una función de Borel estrictamente positiva en Ω, por lo que formalmente el flujo se puede reconstruir a partir de la transformación T usando h una función de techo. La clase de medida invariante T que falta en Ω se recuperará utilizando el segundo ciclo N t . De hecho, la medida discreta en Z define una clase de medida en el producto Z × X y el flujo S t en el segundo factor se extiende a un flujo en el producto dado por
Asimismo, la transformación de base T induce una transformación R en R × Ω definida por
Estas transformaciones están relacionadas por un isomorfismo de Borel invertible Φ de R × Ω en Z × X definido por
Su inversa Ψ de Z × X a R × Ω se define por
En estos mapas el flujo R t se lleva a la traducción por t en el primer factor de R × Ω y, en la otra dirección, la invertible R se lleva a la traducción por -1 en Z × X . Es suficiente comprobar que la clase de medida en Z × X se transfiere a la misma clase de medida que algunas medidas de producto m × ν en R × Ω, donde m es la medida de Lebesgue y ν es una medida de probabilidad en Ω con la clase de medida invariante en T . La clase de medida en Z × X es invariante bajo R , por lo que define una clase de medida en R × Ω, invariante en traslación en el primer factor. Por otro lado, la única clase de medida en R invariante en traslación es la medida de Lebesgue, por lo que la clase de medida en R × Ω es equivalente a la de m × ν para alguna medida de probabilidad en Ω. Por ν construcción es casi invariante bajo T . Desentrañando esta construcción, se deduce que el flujo original es isomorfo al flujo construido bajo la función de techo h para la transformación base T en (Ω, ν). [5] [6] [7]
El razonamiento anterior se hizo con la suposición de que B = A . En general, A se reemplaza por una norma cerrada separable unital * -subálgebra A 0 que contiene B 0 , invariante bajo σ t y tal que σ t ( f ) es una función normal continua de t para cualquier f en A 0 . Para construir A 0 , primero tome un conjunto generador para el álgebra A de von Neumann formado por muchas proyecciones contables invariantes bajo σ t con t racional. Reemplace cada uno de este conjunto contable de proyecciones por promedios sobre intervalos [0, N −1 ] con respecto a σ t . La norma cerrada * -álgebra unital que estos generan arroja A 0 . Por definición, contiene B 0 = C ( Y ). Según el teorema de Gelfand-Naimark, A 0 tiene la forma C ( X ). La construcción con un r anterior se aplica igualmente bien aquí: de hecho desde B 0 es una subálgebra de A 0 , Y es un cociente continua de X , por lo que una función tal como un r es igual de bien una función en X . Por tanto, la construcción se traslada mutatis mutandis a A , a través del mapa de cocientes.
En resumen, existe un espacio de medida ( Y , λ) y una acción ergódica de Z × R sobre M = L ∞ ( Y , λ) dada por las acciones de conmutación τ ny σ t tal que existe una subálgebra invariante τ de M isomorfo a( Z ) y una subálgebra σ-invariante de M isomorfa a L ∞ ( R ). El flujo ergódico original viene dado por la restricción de σ a M τ y la correspondiente transformación base dada por la restricción de τ a M σ . [8] [9]
Dado un flujo, es posible describir cómo se relacionan dos transformaciones de base única diferentes que se pueden usar para construir el flujo. [10] puede transformar de nuevo en una acción de Z en Y , es decir, en una transformación invertible T Y en Y . Set-teóricamente T Y ( x ) se define como T m ( x ), donde m ≥ 1 es el más pequeño número entero que dicha T m ( x ) se encuentra en X . Es fácil ver que la aplicación del mismo proceso a la inversa de T produce el inverso de T Y . La construcción se puede describir teóricamente como sigue. Sea e = χ Y en B = L ∞ ( X , ν) con ν ( e ) ≠ 0. Entonces e es una suma ortogonal de proyecciones e n definida de la siguiente manera:
Entonces, si f se encuentra en e n B , el automorfismo correspondiente es τ e ( f ) = τ n ( f ).
Con estas definiciones dos transformaciones ergódicos tau 1 , tau 2 de B 1 y B 2 surgir del mismo flujo siempre que haya no cero proyecciones e 1 y e 2 en B 1 y B 2 de tal manera que los sistemas (τ 1 ) e 1 , e 1 B 1 y (τ 2 ) e 2 , e 2 B 2 son isomorfos.
Ver también
- Flujo anosov
- Axioma A
Notas
- ^ Zimmer 1984
- ↑ Ambrosio, 1931
- ^ Al aplicar el mismo argumento a 1 - f N y 1 - p , se muestra que si g N tiende a 1 - p en L 1 ( X ) con 0 ≤ g N ≤ 1, entonces χ [1 – ε, 1] ( g N ) tiende ap en L 1 ( X ).
- ^ Takesaki 2003 , págs. 386–388
- ^ Si ν es una medida de probabilidad en R tal que los conjuntos nulos son invariantes en traslación, basta para mostrar que ν es cuasi-equivalente a la medida de Lebesgue, es decir, que un conjunto de Borel tiene medida cero para ν si y solo si tiene medida de Lebesgue cero. Pero es suficiente comprobar esto para los subconjuntos de [0,1); y, al pasar a se traduce por Z , que por supuesto son conjuntos nulos, a Z - conjuntos nulos invariantes. Por otro lado, el mapa de suma de Poisson F ( x ) = ∑ f ( x + n ) toma funciones de Borel acotadas en [0,1) a funciones de Borel acotadas periódicas en R , de modo que ν puede usarse para definir una medida de probabilidad ν 1 en T = R / Z con las mismas propiedades de invariancia. Un argumento de promedio simple muestra que ν 1 es casi equivalente a la medida de Haar en el círculo. Porque, si α θ denota rotación por θ, ν 1 ∘ α θ es casi equivalente a ν 1 y, por lo tanto, también lo es el promedio de estas medidas sobre 2 π . Por otro lado, esa medida promedio es invariante bajo rotación, por lo que la singularidad de la medida de Haar es igual a la medida de Lebesgue.
- ^ Varadarajan 1985 , p. 166-167
- ^ Takesaki 2003 , p. 388
- ^ Este es un prototipo de la relación de equivalencia de medida definida por Gromov . En ese caso, Z y R se reemplazan por dos grupos contables discretos y las subálgebras invariantes por el funciones en los dos grupos.
- ^ Takesaki 2003 , p. 388
- ^ Takesaki 2003 , p. 394
Referencias
- von Neumann, John (1932), "Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik", Annals of Mathematics (en alemán), 33 (3): 587–642, doi : 10.2307 / 1968537 , JSTOR 1968537
- Morse, Marston (1966), Conferencias sobre dinámica simbólica, 1937-1938 , Notas mimeografiadas de Rufus Oldenburger, Instituto de Estudios Avanzados
- Hopf, Eberhard (1939), "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung", Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. , 91 : 261–304
- Ambrose, Warren (1941), "Representación de flujos ergódicos", Ann. de Matemáticas. , 42 : 723–739, JSTOR 1969259
- Ambrose, Warren; Kakutani, Shizuo (1942), "Estructura y continuidad de flujos medibles", Duke Math. J. , 9 : 25–42, doi : 10.1215 / s0012-7094-42-00904-9
- Rohlin, VA (1966), "Temas seleccionados de la teoría métrica de sistemas dinámicos" , Diez artículos sobre análisis funcional y teoría de la medida , Traducciones de la American Mathematical Society. Serie 2, 49 , American Mathematical Society , págs. 171–240
- Fomin, Sergei V .; Gelfand, IM (1952), "Flujos geodésicos en múltiples de curvatura negativa constante", Uspekhi Mat. Nauk , 7 (1): 118-137
- Mautner, FI (1957), "Flujos geodésicos en espacios simétricos de Riemann", Ann. Matemáticas. , 65 (3): 416–431, doi : 10.2307 / 1970054 , JSTOR 1970054
- Riesz, Frigyes; Sz.-Nagy, Béla (1955), Análisis funcional , traducido por Leo F. Boron, Frederick Ungar
- Moore, CC (1966), "Ergodicidad de flujos en espacios homogéneos", Amer. J. Math. , 88 (1): 154–178, doi : 10.2307 / 2373052 , JSTOR 2373052
- Mackey, George W. (1966), "Teoría ergódica y grupos virtuales", Matemáticas. Ana. , 166 : 187–207, doi : 10.1007 / BF01361167
- Mackey, George W. (1978), "Teoría ergódica", Representaciones de grupos unitarios en física, probabilidad y teoría de números , Serie de notas de conferencias de matemáticas, 55 , Benjamin / Cummings Publishing Co, págs. 133-142, ISBN 0805367020
- Mackey, George W. (1990), "Von Neumann y los primeros días de la teoría ergódica", en Glimm, J .; Impagliazzo, J .; Singer, I. (eds.), The Legacy of John von Neumann , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics , 50 , American Mathematical Society , págs. 34 ~ 47, ISBN 9780821814871
- Krengel, Ulrich (1968), "Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I", Matemáticas. Annalen (en alemán), 176 (3): 181-190, doi : 10.1007 / bf02052824 , S2CID 124603266
- Kubo, Izumi (1969), "Quasi-flow", Nagoya Math. J. , 35 : 1–30, doi : 10.1017 / s002776300001299x
- Howe, Roger E .; Moore, Calvin C. (1979), "Propiedades asintóticas de representaciones unitarias", J. Funct. Anal. , 32 : 72–96, doi : 10.1016 / 0022-1236 (79) 90078-8
- Cornfeld, IP; Fomin, SV; Sinaĭ, Ya. G. (1982), Teoría ergódica , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 245 , traducido por AB Sosinskiĭ, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90580-4
- Zimmer, Robert J. (1984), Teoría ergódica y grupos semisimple , Monografías en matemáticas, 81 , Birkhäuser, ISBN 3-7643-3184-4
- Bedford, Tim; Keane, Michael; Serie, Caroline, eds. (1991), Teoría ergódica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos , Oxford University Press, ISBN 019853390X
- Adams, Scot (2008), "Decaimiento a cero de los coeficientes de la matriz en el infinito adjunto", Representaciones de grupos, teoría ergódica y física matemática: un tributo a George W. Mackey , Contemp. Math., 449 , Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 43–50
- Moore, CC (2008), "Grupos virtuales 45 años después", Representaciones grupales, teoría ergódica y física matemática: un tributo a George W. Mackey , Contemp. Math., 449 , Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 267 ~ 300
- Pedersen, Gert K. (1979), C ∗ -algebras y sus grupos de automorfismo , London Mathematical Society Monographs, 14 , Academic Press, ISBN 0-12-549450-5
- Varadarajan, VS (1985), Geometría de la teoría cuántica (Segunda ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-96124-0
- Takesaki, M. (2003), Teoría de álgebras de operadores, II , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, 125 , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42914-X
- Takesaki, M. (2003a), Teoría de álgebras de operadores, III , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, 127 , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42913-1
- Morris, Dave Witte (2005), Teoremas de Ratner sobre flujos unipotentes , Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press , arXiv : math / 0310402 , Bibcode : 2003math ..... 10402W , ISBN 0-226-53983-0
- Nadkarni, MG (2013), Teoría ergódica básica , Textos y lecturas en matemáticas, 6 (Tercera ed.), Agencia del Libro Hindustan, ISBN 978-93-80250-43-4