Geometría euclidiana

La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al matemático griego alejandrino Euclides , que describió en su libro de texto sobre geometría : los Elementos . El método de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas intuitivamente atractivos y deducir muchas otras proposiciones ( teoremas ) a partir de estos. Aunque muchos de los resultados de Euclides habían sido establecidos por matemáticos anteriores, [1] Euclides fue el primero en mostrar cómo estas proposiciones podrían encajar en un sistema lógico y deductivo integral . [2] Los Elementos comienzan con geometría plana , todavía enseñada en la escuela secundaria (high school) como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de demostraciones matemáticas . Se pasa a la geometría sólida de tres dimensiones . Gran parte de los Elementos establece los resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de números , explicados en lenguaje geométrico. [1]

Durante más de dos mil años, el adjetivo "euclidiano" fue innecesario porque no se había concebido otro tipo de geometría. Los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado de las paralelas ) que cualquier teorema demostrado a partir de ellos se consideraba verdadero en un sentido absoluto, a menudo metafísico. Hoy, sin embargo, se conocen muchas otras geometrías no euclidianas autoconsistentes , las primeras se descubrieron a principios del siglo XIX. Una implicación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein es que el espacio físico en sí mismo no es euclidiano, y el espacio euclidiano es una buena aproximación para él solo en distancias cortas (en relación con la fuerza del campo gravitacional ). [3]

La geometría euclidiana es un ejemplo de geometría sintética , ya que procede lógicamente de axiomas que describen propiedades básicas de objetos geométricos como puntos y líneas, a proposiciones sobre esos objetos, todo sin el uso de coordenadas para especificar esos objetos. Esto contrasta con la geometría analítica , que utiliza coordenadas para traducir proposiciones geométricas en fórmulas algebraicas.

Los Elementos es principalmente una sistematización de conocimientos previos de geometría. Rápidamente se reconoció su mejora con respecto a los tratamientos anteriores, con el resultado de que hubo poco interés en conservar los anteriores, y ahora están casi todos perdidos.

Los libros I–IV y VI analizan la geometría plana. Se prueban muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo, "En cualquier triángulo, dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menores que dos ángulos rectos". (Libro I proposición 17) y el teorema de Pitágoras "En los triángulos rectángulos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto". (Libro I, proposición 47)

Los libros V y VII-X tratan de la teoría de números, y los números se tratan geométricamente como longitudes de segmentos de línea o áreas de regiones de superficie. Se introducen nociones como números primos y números racionales e irracionales . Se demuestra que hay infinitos números primos.

Detalle de La escuela de Atenas de Rafael que muestra a un matemático griego, quizás representando a Euclides o Arquímedes  , usando una brújula para dibujar una construcción geométrica.
El postulado de las paralelas (Postulado 5): Si dos rectas intersecan a una tercera de tal manera que la suma de los ángulos interiores de un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas inevitablemente deben intersecarse en ese lado si se extienden mucho. suficiente.
Una demostración de los Elementos de Euclides de que, dado un segmento de línea, se puede construir un triángulo equilátero que incluya el segmento como uno de sus lados: se hace un triángulo equilátero ΑΒΓ dibujando círculos Δ y Ε centrados en los puntos Α y Β, y tomando una intersección de los círculos como el tercer vértice del triángulo.
Un ejemplo de congruencia. Las dos figuras de la izquierda son congruentes, mientras que la tercera es similar a ellas. La última figura tampoco. Las congruencias alteran algunas propiedades, como la ubicación y la orientación, pero dejan otras sin cambios, como la distancia y los ángulos . Este último tipo de propiedades se denominan invariantes y estudiarlas es la esencia de la geometría.
La congruencia de triángulos se determina especificando dos lados y el ángulo entre ellos (SAS), dos ángulos y el lado entre ellos (ASA) o dos ángulos y un lado adyacente correspondiente (AAS). Sin embargo, especificar dos lados y un ángulo adyacente (SSA) puede producir dos triángulos posibles distintos a menos que el ángulo especificado sea un ángulo recto.
Una esfera tiene 2/3 del volumen y el área superficial del cilindro que la circunscribe. Una esfera y un cilindro fueron colocados sobre la tumba de Arquímedes a petición suya.
René Descartes. Retrato según Frans Hals , 1648.
Cuadratura del círculo: las áreas de este cuadrado y este círculo son iguales. En 1882, se demostró que esta figura no se puede construir en un número finito de pasos con una regla y un compás idealizados .
Comparación de geometrías elíptica, euclidiana e hiperbólica en dos dimensiones
Una refutación de la geometría euclidiana como descripción del espacio físico. En una prueba de 1919 de la teoría general de la relatividad, las estrellas (marcadas con líneas horizontales cortas) fueron fotografiadas durante un eclipse solar . Los rayos de luz de las estrellas fueron desviados por la gravedad del Sol en su camino hacia la Tierra. Esto se interpreta como evidencia a favor de la predicción de Einstein de que la gravedad provocaría desviaciones de la geometría euclidiana.