En mecánica continua , el tensor de tensión de Cauchy, verdadero tensor de tensión , [1] o simplemente llamado tensor de tensión es un tensor de segundo orden que lleva el nombre de Augustin-Louis Cauchy . El tensor consta de nueve componentesque definen completamente el estado de tensión en un punto dentro de un material en estado deformado , ubicación o configuración. El tensor se refiere una unidad de longitud vector de dirección n al vector de tracción T ( n ) a través de una superficie imaginaria perpendicular a n :
Figura 2.3 Componentes de la tensión en tres dimensiones
dónde,
Las unidades SI tanto del tensor de tensión como del vector de tensión son N / m 2 , correspondiente al escalar de tensión. El vector unitario es adimensional .
El tensor de tensiones de Cauchy obedece a la ley de transformación del tensor ante un cambio en el sistema de coordenadas. Una representación gráfica de esta ley de transformación es el círculo de Mohr para la tensión.
De acuerdo con el principio de conservación del momento lineal , si el cuerpo continuo está en equilibrio estático, se puede demostrar que los componentes del tensor de tensión de Cauchy en cada punto material del cuerpo satisfacen las ecuaciones de equilibrio ( ecuaciones de movimiento de Cauchy para aceleración cero) . Al mismo tiempo, de acuerdo con el principio de conservación del momento angular , el equilibrio requiere que la suma de momentos con respecto a un punto arbitrario sea cero, lo que lleva a la conclusión de que el tensor de tensión es simétrico , por lo que solo tiene seis componentes de tensión independientes. , en lugar de los nueve originales. Sin embargo, en presencia de pares de tensiones, es decir, momentos por unidad de volumen, el tensor de tensiones no es simétrico. Este también es el caso cuando el número de Knudsen está cerca de uno,, o el continuo es un fluido no newtoniano, que puede conducir a fluidos rotacionalmente no invariantes, como los polímeros .
Hay ciertos invariantes asociados con el tensor de tensión, cuyos valores no dependen del sistema de coordenadas elegido o del elemento de área sobre el que opera el tensor de tensión. Estos son los tres valores propios del tensor de tensión, que se denominan tensiones principales .
Principio de tensión de Euler-Cauchy - vector de tensión
Figura 2.1a Distribución interna de fuerzas de contacto y tensiones de par en un diferencial de la superficie interna en un continuo, como resultado de la interacción entre las dos porciones del continuo separadas por la superficie
Figura 2.1b Distribución interna de fuerzas de contacto y tensiones de par en un diferencial de la superficie interna en un continuo, como resultado de la interacción entre las dos porciones del continuo separadas por la superficie
Figura 2.1c Vector de tensión en una superficie interna S con vector normal n. Dependiendo de la orientación del plano considerado, el vector de tensión puede no ser necesariamente perpendicular a ese plano, es decir , paralelo a , y se puede descomponer en dos componentes: un componente normal al plano, llamado esfuerzo normal, y otro componente paralelo a este plano, llamado esfuerzo cortante.
El principio de tensión de Euler-Cauchy establece que sobre cualquier superficie (real o imaginaria) que divide el cuerpo, la acción de una parte del cuerpo sobre la otra es equivalente (equipollente) al sistema de fuerzas distribuidas y pares en la superficie que divide el cuerpo. cuerpo , [2] y está representado por un campo, llamado vector de tracción , definido en la superficie y se supone que depende continuamente del vector unitario de la superficie . [3] [4] : págs . 66–96
Para formular el principio de tensión de Euler-Cauchy, considere una superficie imaginaria pasando por un punto de material interno dividir el cuerpo continuo en dos segmentos, como se ve en la Figura 2.1a o 2.1b (se puede usar el diagrama del plano de corte o el diagrama con el volumen arbitrario dentro del continuo encerrado por la superficie ).
Siguiendo la dinámica clásica de Newton y Euler , el movimiento de un cuerpo material se produce por la acción de fuerzas aplicadas externamente que se supone que son de dos tipos: fuerzas superficialesy fuerzas corporales. [5] Por lo tanto, la fuerza total aplicado a un cuerpo o a una parte del cuerpo se puede expresar como:
En este artículo solo se analizarán las fuerzas superficiales, ya que son relevantes para el tensor de tensión de Cauchy.
Cuando el cuerpo está sujeto a fuerzas superficiales externas o fuerzas de contacto, siguiendo las ecuaciones de movimiento de Euler , las fuerzas de contacto interno y los momentos se transmiten de un punto a otro en el cuerpo y de un segmento a otro a través de la superficie divisoria., debido al contacto mecánico de una porción del continuo con la otra (Figura 2.1ay 2.1b). En un elemento del área conteniendo , con vector normal, la distribución de la fuerza es equivalente a una fuerza de contacto ejercido en el punto P y momento superficial . En particular, la fuerza de contacto viene dada por
dónde es la tracción superficial media .
El principio de tensión de Cauchy afirma [6] : p.47-102 que como se vuelve muy pequeño y tiende a cero la relación se convierte en y el vector de estrés de pareja. desaparece. En campos específicos de la mecánica del continuo, se supone que la tensión de pareja no desaparece; sin embargo, las ramas clásicas de la mecánica del continuo abordan los materiales no polares que no consideran las tensiones de pareja y los momentos corporales.
El vector resultante se define como la tracción superficial , [7] también llamado vector de tensión , [8] tracción , [4] o vector de tracción . [6] dado por en el punto asociado con un plano con un vector normal :
Esta ecuación significa que el vector de tensión depende de su ubicación en el cuerpo y de la orientación del plano sobre el que actúa.
Esto implica que la acción de equilibrio de las fuerzas de contacto internas genera una densidad de fuerza de contacto o campo de tracción de Cauchy [5]que representa una distribución de las fuerzas de contacto internas en todo el volumen del cuerpo en una configuración particular del cuerpo en un momento dado. No es un campo vectorial porque depende no solo de la posición de un punto material en particular, sino también en la orientación local del elemento de superficie definida por su vector normal . [9]
Dependiendo de la orientación del plano considerado, el vector de tensión puede no ser necesariamente perpendicular a ese plano, es decir , paralelo a, y se puede dividir en dos componentes (Figura 2.1c):
uno normal al avión, llamado estrés normal
dónde es el componente normal de la fuerza al área diferencial
y el otro paralelo a este plano, llamado esfuerzo cortante
dónde es la componente tangencial de la fuerza a la superficie diferencial . El esfuerzo cortante se puede descomponer aún más en dos vectores perpendiculares entre sí.
Postulado de Cauchy
Según el Postulado de Cauchy , el vector de estrés permanece sin cambios para todas las superficies que pasan por el punto y tener el mismo vector normal a , [7] [10] es decir, tener una tangente común en. Esto significa que el vector de estrés es una función del vector normal solamente, y no está influenciado por la curvatura de las superficies internas.
Lema fundamental de Cauchy
Una consecuencia del postulado de Cauchy es el lema fundamental de Cauchy , [1] [7] [11] también llamado teorema recíproco de Cauchy , [12] : p.103-130 que establece que los vectores de tensión que actúan en lados opuestos de la misma superficie son igual en magnitud y opuesta en dirección. El lema fundamental de Cauchy es equivalente a la tercera ley del movimiento de acción y reacción de Newton, y se expresa como
Teorema de tensión de Cauchy: tensor de tensión
El estado de tensión en un punto del cuerpo se define por todos los vectores de tensión T ( n ) asociados con todos los planos (infinitos en número) que pasan por ese punto. [13] Sin embargo, de acuerdo con el teorema fundamental de Cauchy , [11] también llamado teorema de tensión de Cauchy , [1] simplemente conociendo los vectores de tensión en tres planos mutuamente perpendiculares, el vector de tensión en cualquier otro plano que pase por ese punto se puede encontrar a través de ecuaciones de transformación de coordenadas.
El teorema de tensiones de Cauchy establece que existe un campo tensorial de segundo orden σ ( x , t), llamado tensor de tensiones de Cauchy, independiente de n , tal que T es una función lineal de n :
Esta ecuación implica que el vector de tensión T ( n ) en cualquier punto P en un continuo asociado con un plano con vector unitario normal n puede expresarse como una función de los vectores de tensión en los planos perpendiculares a los ejes coordenados, es decir , en términos de las componentes σ ij del tensor de tensión σ .
Para probar esta expresión, considere un tetraedro con tres caras orientadas en los planos de coordenadas y con un área infinitesimal d A orientada en una dirección arbitraria especificada por un vector unitario normal n (Figura 2.2). El tetraedro se forma cortando el elemento infinitesimal a lo largo de un plano arbitrario con unidad normal n . El vector de tensión en este plano se denota por T ( n ) . Los vectores de tensión que actúan sobre las caras del tetraedro se denominan T ( e 1 ) , T ( e 2 ) y T ( e 3 ) , y son por definición los componentes σ ij del tensor de tensión σ . Este tetraedro a veces se denomina tetraedro de Cauchy . El equilibrio de fuerzas, es decir , la primera ley del movimiento de Euler (segunda ley del movimiento de Newton), da:
Figura 2.2. Vector de tensión que actúa sobre un plano con el vector unitario normal n . Una nota sobre la convención de signos: el tetraedro se forma cortando un paralelepípedo a lo largo de un plano arbitrario n . Entonces, la fuerza que actúa sobre el plano n es la reacción que ejerce la otra mitad del paralelepípedo y tiene signo opuesto.
donde el lado derecho representa el producto de la masa encerrada por el tetraedro y su aceleración: ρ es la densidad, a es la aceleración y h es la altura del tetraedro, considerando el plano n como base. El área de las caras del tetraedro perpendicular a los ejes se puede encontrar proyectando d A en cada cara (usando el producto escalar):
y luego sustituyendo en la ecuación para cancelar d A :
Para considerar el caso límite cuando el tetraedro se contrae a un punto, h debe ir a 0 (intuitivamente, el plano n se traslada a lo largo de n hacia O ). Como resultado, el lado derecho de la ecuación se acerca a 0, por lo que
Suponiendo un elemento material (Figura 2.3) con planos perpendiculares a los ejes de coordenadas de un sistema de coordenadas cartesiano, los vectores de tensión asociados con cada uno de los planos del elemento, es decir , T ( e 1 ) , T ( e 2 ) y T ( e 3 ) se puede descomponer en un componente normal y dos componentes de corte, es decir , componentes en la dirección de los tres ejes de coordenadas. Para el caso particular de una superficie con un vector unitario normal orientado en la dirección del eje x 1 , denote el esfuerzo normal por σ 11 , y los dos esfuerzos cortantes como σ 12 y σ 13 :
En notación de índice esto es
Los nueve componentes σ ij de los vectores de tensión son los componentes de un tensor cartesiano de segundo orden llamado tensor de tensión de Cauchy , que define completamente el estado de tensión en un punto y está dado por
donde σ 11 , σ 22 y σ 33 son tensiones normales, y σ 12 , σ 13 , σ 21 , σ 23 , σ 31 y σ 32 son tensiones cortantes. El primer índice i indica que la tensión actúa en un plano normal al eje X i , y el segundo índice j denota la dirección en la que actúa la tensión (por ejemplo, σ 12 implica que la tensión actúa sobre el plano que está normal a la 1 st eje es decir; X 1 y actúa a lo largo de la 2 nd eje es decir; X 2 ). Un componente de tensión es positivo si actúa en la dirección positiva de los ejes coordenados y si el plano donde actúa tiene un vector normal hacia afuera apuntando en la dirección coordenada positiva.
Por lo tanto, utilizando los componentes del tensor de tensión
o equivalente,
Alternativamente, en forma de matriz tenemos
La representación en notación de Voigt del tensor de tensiones de Cauchy aprovecha la simetría del tensor de tensiones para expresar la tensión como un vector de seis dimensiones de la forma:
La notación de Voigt se usa ampliamente para representar relaciones tensión-deformación en mecánica sólida y para eficiencia computacional en software de mecánica estructural numérica.
Regla de transformación del tensor de tensiones
Se puede demostrar que el tensor de tensión es un tensor de segundo orden contravariante , que es una declaración de cómo se transforma bajo un cambio del sistema de coordenadas. De un sistema x i a un sistema x i ' , los componentes σ ij en el sistema inicial se transforman en los componentes σ ij ' en el nuevo sistema de acuerdo con la regla de transformación del tensor (Figura 2.4):
donde A es una matriz de rotación con componentes a ij . En forma de matriz esto es
Figura 2.4 Transformación del tensor de tensiones
Al expandir la operación matricial y simplificar los términos usando la simetría del tensor de tensión , se obtiene
El círculo de Mohr para tensiones es una representación gráfica de esta transformación de tensiones.
Tensiones normales y cortantes
La magnitud de la componente de tensión normal σ n de cualquier vector de tensión T ( n ) que actúa sobre un plano arbitrario con un vector unitario normal n en un punto dado, en términos de las componentes σ ij del tensor de tensión σ , es el producto escalar de el vector de tensión y el vector unitario normal:
La magnitud del componente del esfuerzo cortante τ n , que actúa ortogonalmente al vector n , se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras :
dónde
Leyes del equilibrio: ecuaciones de movimiento de Cauchy
Figura 4. Cuerpo continuo en equilibrio.
Primera ley de movimiento de Cauchy
De acuerdo con el principio de conservación del momento lineal , si el cuerpo continuo está en equilibrio estático, se puede demostrar que los componentes del tensor de tensión de Cauchy en cada punto material del cuerpo satisfacen las ecuaciones de equilibrio.
Por ejemplo, para un fluido hidrostático en condiciones de equilibrio, el tensor de tensión adquiere la forma:
dónde es la presión hidrostática, y es el delta de kronecker .
Derivación de ecuaciones de equilibrio
Considere un cuerpo continuo (ver Figura 4) que ocupa un volumen , que tiene un área de superficie , con tracción definida o fuerzas superficiales por unidad de área que actúa sobre cada punto de la superficie corporal, y fuerzas corporales por unidad de volumen en cada punto dentro del volumen . Por lo tanto, si el cuerpo está en equilibrio, la fuerza resultante que actúa sobre el volumen es cero, así:
Por definición, el vector de estrés es , luego
El uso del teorema de divergencia de Gauss para convertir una integral de superficie en una integral de volumen da
Para un volumen arbitrario, la integral se desvanece y tenemos las ecuaciones de equilibrio
Segunda ley del movimiento de Cauchy
De acuerdo con el principio de conservación del momento angular , el equilibrio requiere que la suma de momentos con respecto a un punto arbitrario sea cero, lo que lleva a la conclusión de que el tensor de tensión es simétrico , por lo que solo tiene seis componentes de tensión independientes, en lugar del nueve:
Derivación de la simetría del tensor de tensiones
Sumando momentos alrededor del punto O (Figura 4), el momento resultante es cero cuando el cuerpo está en equilibrio. Por lo tanto,
dónde es el vector de posición y se expresa como
Sabiendo que y usando el teorema de divergencia de Gauss para cambiar de una integral de superficie a una integral de volumen, tenemos
La segunda integral es cero ya que contiene las ecuaciones de equilibrio. Esto deja la primera integral, donde, por lo tanto
Para un volumen arbitrario V, entonces tenemos
que se satisface en todos los puntos del cuerpo. Ampliando esta ecuación tenemos
, , y
o en general
Esto prueba que el tensor de tensión es simétrico
Sin embargo, en presencia de pares de tensiones, es decir, momentos por unidad de volumen, el tensor de tensiones no es simétrico. Este también es el caso cuando el número de Knudsen está cerca de uno,, o el continuo es un fluido no newtoniano, que puede conducir a fluidos rotacionalmente no invariantes, como los polímeros .
Principales tensiones e invariantes de tensiones
En cada punto de un cuerpo estresado hay al menos tres planos, llamados planos principales , con vectores normales., llamadas direcciones principales , donde el vector de tensión correspondiente es perpendicular al plano, es decir, paralelo o en la misma dirección que el vector normal, y donde no hay esfuerzos cortantes normales . Las tres tensiones normales a estos planos principales se denominan tensiones principales .
Los componentes del tensor de tensión dependen de la orientación del sistema de coordenadas en el punto considerado. Sin embargo, el tensor de tensión en sí mismo es una cantidad física y, como tal, es independiente del sistema de coordenadas elegido para representarlo. Hay ciertos invariantes asociados con cada tensor que también son independientes del sistema de coordenadas. Por ejemplo, un vector es un tensor simple de rango uno. En tres dimensiones, tiene tres componentes. El valor de estos componentes dependerá del sistema de coordenadas elegido para representar el vector, pero la magnitud del vector es una cantidad física (un escalar) y es independiente del sistema de coordenadas cartesiano elegido para representar el vector (siempre que sea normal ). De manera similar, cada segundo tensor de rango (como la tensión y los tensores de deformación) tiene tres cantidades invariantes independientes asociadas. Un conjunto de tales invariantes son las tensiones principales del tensor de tensión, que son solo los valores propios del tensor de tensión. Sus vectores de dirección son las direcciones principales o vectores propios .
Un vector de tensión paralelo al vector unitario normal es dado por:
dónde es una constante de proporcionalidad, y en este caso particular corresponde a las magnitudes de los vectores de tensión normales o tensiones principales.
Sabiendo que y , tenemos
Este es un sistema homogéneo , es decir, igual a cero, de tres ecuaciones lineales dondeson las incógnitas. Para obtener una solución no trivial (distinta de cero) para, la matriz determinante de los coeficientes debe ser igual a cero, es decir, el sistema es singular. Por lo tanto,
Expandir el determinante conduce a la ecuación característica
dónde
La ecuación característica tiene tres raíces reales , es decir, no imaginario debido a la simetría del tensor de tensiones. La, y , son las tensiones principales, funciones de los valores propios . Los valores propios son las raíces del polinomio característico . Las tensiones principales son únicas para un tensor de tensión dado. Por tanto, a partir de la ecuación característica, los coeficientes, y , llamados invariantes de tensión primera, segunda y tercera , respectivamente, siempre tienen el mismo valor independientemente de la orientación del sistema de coordenadas.
Para cada valor propio, hay una solución no trivial para en la ecuación . Estas soluciones son las direcciones principales o vectores propios que definen el plano donde actúan las tensiones principales. Las tensiones principales y las direcciones principales caracterizan la tensión en un punto y son independientes de la orientación.
Un sistema de coordenadas con ejes orientados a las direcciones principales implica que las tensiones normales son las tensiones principales y el tensor de tensiones está representado por una matriz diagonal:
Las tensiones principales se pueden combinar para formar las invariantes de tensión, , , y . El primer y tercer invariantes son la traza y el determinante, respectivamente, del tensor de tensión. Por lo tanto,
Debido a su simplicidad, el sistema de coordenadas principal a menudo es útil cuando se considera el estado del medio elástico en un punto particular. Los esfuerzos principales a menudo se expresan en la siguiente ecuación para evaluar los esfuerzos en las direcciones xey o los esfuerzos axiales y de flexión en una pieza. [14] : p.58-59 Las tensiones normales principales se pueden utilizar para calcular la tensión de von Mises y, en última instancia, el factor de seguridad y el margen de seguridad.
Usar solo la parte de la ecuación debajo de la raíz cuadrada es igual al esfuerzo cortante máximo y mínimo para más y menos. Esto se muestra como:
Esfuerzos cortantes máximos y mínimos
El esfuerzo cortante máximo o el esfuerzo cortante principal máximo es igual a la mitad de la diferencia entre los esfuerzos principales más grandes y más pequeños, y actúa sobre el plano que biseca el ángulo entre las direcciones de los esfuerzos principales más grandes y más pequeños, es decir, el plano de la el esfuerzo cortante máximo está orientado de los planos de tensión principales. El esfuerzo cortante máximo se expresa como
Asumiendo luego
Cuando el tensor de tensión es distinto de cero, el componente de tensión normal que actúa sobre el plano para el esfuerzo cortante máximo es distinto de cero y es igual a
Derivación de los esfuerzos cortantes máximos y mínimos [8] : p.45-78 [11] : p.1-46 [13] [15] : p.111-157 [16] : p.9-41 [17] : p.33–66 [18] : p.43–61
La tensión normal se puede escribir en términos de tensiones principales. como
Sabiendo que , el esfuerzo cortante en términos de los componentes de los esfuerzos principales se expresa como
El esfuerzo cortante máximo en un punto de un cuerpo continuo se determina maximizando sujeto a la condición de que
Este es un problema de maximización restringido, que se puede resolver utilizando la técnica del multiplicador de Lagrange para convertir el problema en un problema de optimización sin restricciones. Así, los valores estacionarios (valores máximo y mínimo) de ocurrir donde el gradiente de es paralelo al gradiente de .
La función lagrangiana para este problema se puede escribir como
dónde es el multiplicador de Lagrange (que es diferente del utilizar para denotar valores propios).
Los valores extremos de estas funciones son
de allí
Estas tres ecuaciones junto con la condición puede resolverse para y
Multiplicando las tres primeras ecuaciones por y , respectivamente, y sabiendo que obtenemos
Sumando estas tres ecuaciones obtenemos
este resultado se puede sustituir en cada una de las tres primeras ecuaciones para obtener
Haciendo lo mismo con las otras dos ecuaciones tenemos
Un primer enfoque para resolver estas tres últimas ecuaciones es considerar la solución trivial . Sin embargo, esta opción no cumple con la restricción.
Considerando la solución donde y , se determina a partir de la condición que , luego de la ecuación original para se ve que . Los otros dos valores posibles para se puede obtener de manera similar asumiendo
y
y
Por tanto, un conjunto de soluciones para estas cuatro ecuaciones es:
Estos corresponden a valores mínimos para y verifica que no haya esfuerzos cortantes en los planos normales a las direcciones principales del esfuerzo, como se mostró anteriormente.
Un segundo conjunto de soluciones se obtiene suponiendo y . Así tenemos
Para encontrar los valores de y primero sumamos estas dos ecuaciones
Sabiendo eso por
y
tenemos
y resolviendo para tenemos
Entonces resolviendo para tenemos
y
Los otros dos valores posibles para se puede obtener de manera similar asumiendo
y
y
Por lo tanto, el segundo conjunto de soluciones para , lo que representa un máximo para es
Por lo tanto, asumiendo , el esfuerzo cortante máximo se expresa por
y se puede afirmar que es igual a la mitad de la diferencia entre las tensiones principales más grandes y más pequeñas, actuando sobre el plano que biseca el ángulo entre las direcciones de las tensiones principales más grandes y más pequeñas.
Tensor del desviador de estrés
El tensor de estrés se puede expresar como la suma de otros dos tensores de tensión:
un tensor de tensión hidrostática media o un tensor de tensión volumétrica o un tensor de tensión normal media ,, que tiende a cambiar el volumen del cuerpo estresado; y
un componente desviador llamado tensor desviador de tensión ,, que tiende a distorsionarlo.
Entonces
dónde es la tensión media dada por
Presión () se define generalmente como un tercio negativo de la traza del tensor de tensión menos cualquier tensión a la que contribuya la divergencia de la velocidad, es decir
dónde es una constante de proporcionalidad, es el operador de divergencia ,es la k : ésima coordenada cartesiana ,es la velocidad yes el k : ésimo componente cartesiano de.
El tensor de tensión desviador se puede obtener restando el tensor de tensión hidrostática del tensor de tensión de Cauchy:
Invariantes del tensor del desviador de tensión
Como es un tensor de segundo orden, el tensor desviador de tensión también tiene un conjunto de invariantes , que se pueden obtener utilizando el mismo procedimiento utilizado para calcular las invariantes del tensor de tensión. Se puede demostrar que las direcciones principales del tensor del desviador de tensión son las mismas que las direcciones principales del tensor de tensión . Por tanto, la ecuación característica es
dónde , y son los invariantes de estrés desviador primero, segundo y tercero , respectivamente. Sus valores son los mismos (invariantes) independientemente de la orientación del sistema de coordenadas elegido. Estos invariantes de estrés desviador se pueden expresar como una función de los componentes de o sus principales valores , , y , o alternativamente, en función de o sus principales valores , , y . Por lo tanto,
Porque , el tensor del desviador de esfuerzos se encuentra en un estado de corte puro.
Una cantidad llamada esfuerzo equivalente o esfuerzo de von Mises se usa comúnmente en mecánica de sólidos. La tensión equivalente se define como
Tensiones octaédricas
Figura 6. Planos de tensión octaédricos
Considerando las direcciones principales como los ejes coordenados, un plano cuyo vector normal forma ángulos iguales con cada uno de los ejes principales (es decir, que tiene cosenos de dirección iguales a ) se llama plano octaédrico . Hay un total de ocho planos octaédricos (Figura 6). Los componentes normal y cortante del tensor de tensión en estos planos se denominan tensión normal octaédrica.y esfuerzo cortante octaédrico, respectivamente. El plano octaédrico que pasa por el origen se conoce como plano π ( no debe confundirse π con la tensión media indicada por π en la sección anterior) . En el plano π ,.
Sabiendo que el tensor de tensiones del punto O (Figura 6) en los ejes principales es
el vector de tensión en un plano octaédrico viene dado por:
El componente normal del vector de tensión en el punto O asociado con el plano octaédrico es
que es la tensión normal media o la tensión hidrostática. Este valor es el mismo en los ocho planos octaédricos. El esfuerzo cortante en el plano octaédrico es entonces
Ver también
Análisis de plano crítico
Referencias
↑ a b c Fridtjov Irgens (2008), "Mecánica del continuo" . Saltador. ISBN 3-540-74297-2
^ Truesdell y Toupin 1960error de harvnb: sin destino: CITEREFTruesdellToupin1960 ( ayuda )
^ Peter Chadwick (1999), "Mecánica del continuo: problemas y teoría concisa" . Publicaciones de Dover, serie "Libros de física". ISBN 0-486-40180-4 . paginas
^ a b Yuan-cheng Fung y Pin Tong (2001) "Mecánica sólida clásica y computacional" . World Scientific. ISBN 981-02-4124-0
↑ a b Smith y Truesdell p.97
^ a b G. Thomas Mase y George E. Mase (1999), "Mecánica continua para ingenieros" (segunda edición). Prensa CRC. ISBN 0-8493-1855-6
↑ a b c I-Shih Liu (2002), "Mecánica del continuo" . Saltador ISBN 3-540-43019-9
^ a b Han-Chin Wu (2005), "Mecánica continua y plasticidad" . Prensa CRC. ISBN 1-58488-363-4
^ Lubliner
^ Basar
^ a b c Teodor M. Atanackovic y Ardéshir Guran (2000), "Teoría de la elasticidad para científicos e ingenieros" . Saltador. ISBN 0-8176-4072-X
^ Keith D. Hjelmstad (2005), "Fundamentos de la mecánica estructural" (segunda edición). Prentice Hall. ISBN 0-387-23330-X
^ a b Wai-Fah Chen y Da-Jian Han (2007), "Plasticidad para ingenieros estructurales" . J. Ross Publishing ISBN 1-932159-75-4
^ Bernard Hamrock (2005), "Fundamentos de los elementos de la máquina" . McGraw – Hill. ISBN 0-07-297682-9
^ Rabindranath Chatterjee (1999), "Teoría matemática de la mecánica del continuo" . Ciencia Alfa. ISBN 81-7319-244-8
^ John Conrad Jaeger, NGW Cook y RW Zimmerman (2007), "Fundamentos de la mecánica de rocas" (4ª edición). Wiley-Blackwell. ISBN 0-632-05759-9
^ Mohammed Ameen (2005), "Elasticidad computacional: teoría de la elasticidad y métodos de elementos finitos y de frontera" (libro). Ciencia Alfa, ISBN 1-84265-201-X
^ William Prager (2004), "Introducción a la mecánica de Continua" . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43809-0