En matemáticas, una razón superparticular , también llamada número superparticular o razón epimórica , es la razón de dos números enteros consecutivos .
Más particularmente, la relación toma la forma:
- donde n es un número entero positivo .
Por lo tanto:
Un número superparticular es cuando un gran número contiene un número menor, con el que se compara, y al mismo tiempo una parte de él. Por ejemplo, cuando se comparan 3 y 2, contienen 2, más el 3 tiene otro 1, que es la mitad de dos. Cuando se comparan 3 y 4, cada uno contiene un 3, y el 4 tiene otro 1, que es una tercera parte de 3. Nuevamente, cuando se comparan 5 y 4, contienen el número 4 y el 5 tiene otro 1 , que es la cuarta parte del número 4, etc.
- Throop (2006), [1]
Nicomachus escribió sobre las proporciones superparticulares en su tratado Introducción a la aritmética . Aunque estos números tienen aplicaciones en las matemáticas puras modernas, las áreas de estudio que se refieren con mayor frecuencia a las proporciones superparticulares con este nombre son la teoría musical [2] y la historia de las matemáticas . [3]
Propiedades matematicas
Como observó Leonhard Euler , los números superparticulares (incluyendo también las razones superparticulares multiplicadas, números formados sumando un número entero distinto de uno a una fracción unitaria) son exactamente los números racionales cuya fracción continua termina después de dos términos. Los números cuya fracción continua termina en un término son los números enteros, mientras que los números restantes, con tres o más términos en sus fracciones continuas, son superpartientes . [4]
representa el número irracional π de varias formas como producto de relaciones superparticulares y sus inversas. También es posible convertir la fórmula de Leibniz para π en un producto de Euler de razones superparticulares en el que cada término tiene un número primo como numerador y el múltiplo de cuatro más cercano como denominador: [5]
En la teoría de grafos , los números superparticulares (o mejor dicho, sus recíprocos, 1/2, 2/3, 3/4, etc.) surgen a través del teorema de Erdős-Stone como los posibles valores de la densidad superior de un grafo infinito. [6]
Otras aplicaciones
En el estudio de la armonía , muchos intervalos musicales pueden expresarse como una proporción superparticular (por ejemplo, debido a la equivalencia de octava , el noveno armónico, 9/1, puede expresarse como una proporción superparticular, 9/8). De hecho, si una proporción era superparticular era el criterio más importante en la formulación de armonía musical de Ptolomeo . [7] En esta aplicación, el teorema de Størmer se puede utilizar para enumerar todos los números superparticulares posibles para un límite dado ; es decir, todas las razones de este tipo en las que tanto el numerador como el denominador son números suaves . [2]
Estas proporciones también son importantes en la armonía visual. Las relaciones de aspecto de 4: 3 y 3: 2 son comunes en la fotografía digital , [8] y las relaciones de aspecto de 7: 6 y 5: 4 se utilizan en la fotografía de formato medio y gran formato, respectivamente. [9]
Cada par de números enteros positivos adyacentes representa una proporción superparticular y, de manera similar, cada par de armónicos adyacentes en la serie armónica (música) representa una proporción superparticular. Muchas proporciones superparticulares individuales tienen sus propios nombres, ya sea en matemáticas históricas o en teoría musical. Estos incluyen los siguientes:
Proporción | Centavos | Nombre / intervalo musical | Notación de Ben Johnston por encima de C | Audio |
---|---|---|---|---|
2: 1 | 1200 | dúplex: [a] octava | C' | Jugar ( ayuda · info ) |
3: 2 | 701,96 | sesquialterum: [una] quinta perfecta | GRAMO | Jugar ( ayuda · info ) |
4: 3 | 498.04 | sesquitertium: [un] cuarto perfecto | F | Jugar ( ayuda · info ) |
5: 4 | 386,31 | sesquiquartum: [a] tercera mayor | mi | Jugar ( ayuda · info ) |
6: 5 | 315,64 | sesquiquintum: [a] tercio menor | E ♭ | Jugar ( ayuda · info ) |
7: 6 | 266,87 | tercio menor septimal | mi♭ | Jugar ( ayuda · info ) |
8: 7 | 231.17 | segundo mayor septimal | D- | Jugar ( ayuda · info ) |
9: 8 | 203,91 | sesquioctavum: [a] segundo mayor | D | Jugar ( ayuda · info ) |
10: 9 | 182,40 | sesquinona: [un] tono menor | D - | Jugar ( ayuda · info ) |
11:10 | 165,00 | mayor segundo neutro indecimal | D ↑ ♭ - | Jugar ( ayuda · info ) |
12:11 | 150,64 | menor segundo neutro indecimal | D ↓ | Jugar ( ayuda · info ) |
15:14 | 119,44 | semitono diatónico septimal | C♯ | Jugar ( ayuda · info ) |
16:15 | 111,73 | solo semitono diatónico | D ♭ - | Jugar ( ayuda · info ) |
17:16 | 104,96 | semitono diatónico menor | C♯ | Jugar ( ayuda · info ) |
21:20 | 84,47 | semitono cromático septimal | D♭ | Jugar ( ayuda · info ) |
25:24 | 70,67 | solo semitono cromático | C ♯ | Jugar ( ayuda · info ) |
28:27 | 62,96 | septimal tercer tono | D♭ - | Jugar ( ayuda · info ) |
32:31 | 54,96 | 31 ° subarmónico , cuarto de tono inferior | D♭ - | Jugar ( ayuda · info ) |
49:48 | 35,70 | diesis septimal | D♭ | Jugar ( ayuda · info ) |
50:49 | 34,98 | septimal sexto tono | B♯ - | Jugar ( ayuda · info ) |
64:63 | 27.26 | coma septimal , subarmónico 63 | C- | Jugar ( ayuda · info ) |
81:80 | 21.51 | coma sintónica | C + | Jugar ( ayuda · info ) |
126: 125 | 13,79 | semicomma septimal | D | Jugar ( ayuda · info ) |
128: 127 | 13.58 | 127 ° subarmónico | Jugar ( ayuda · info ) | |
225: 224 | 7.71 | cleisma septimal | B♯ | Jugar ( ayuda · info ) |
256: 255 | 6,78 | 255 ° subarmónico | D- | Jugar ( ayuda · info ) |
4375: 4374 | 0,40 | ragisma | C♯ - | Jugar ( ayuda · info ) |
La raíz de algunos de estos términos proviene del latín sesqui- "uno y medio" (de semis "medio" y -que "y") que describe la proporción 3: 2.
Notas
- ^ a b c d e f g Nombre antiguo
Citas
- ^ Throop, Priscilla (2006). Etimologías de Isidoro de Sevilla: Traducción completa al inglés, Volumen 1 , p. III.6.12, n. 7. ISBN 978-1-4116-6523-1 .
- ^ a b Halsey, GD; Hewitt, Edwin (1972). "Más sobre las proporciones superparticulares en la música". American Mathematical Monthly . 79 (10): 1096-1100. doi : 10.2307 / 2317424 . JSTOR 2317424 . Señor 0313189 .
- ^ Robson, Eleanor ; Stedall, Jacqueline (2008), The Oxford Handbook of the History of Mathematics , Oxford University Press, ISBN 9780191607448. En las páginas 123-124, el libro analiza la clasificación de proporciones en varios tipos, incluidas las proporciones superparticulares, y la tradición por la cual esta clasificación fue transmitida de Nichomachus a Boethius, Campanus, Oresme y Clavius.
- ^ Leonhard Euler; traducido al inglés por Myra F. Wyman y Bostwick F. Wyman (1985), "Un ensayo sobre fracciones continuas" (PDF) , Teoría de sistemas matemáticos , 18 : 295–328, doi : 10.1007 / bf01699475 , hdl : 1811/32133CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ). Ver en particular la p. 304.
- ^ Debnath, Lokenath (2010), El legado de Leonhard Euler: Un tributo tricentenario , World Scientific, p. 214, ISBN 9781848165267.
- ^ Erdős, P .; Stone, AH (1946). "Sobre la estructura de los gráficos lineales" . Boletín de la American Mathematical Society . 52 (12): 1087–1091. doi : 10.1090 / S0002-9904-1946-08715-7 .
- ^ Barbour, James Murray (2004), Tuning and Temperament: A Historical Survey , Courier Dover Publications, p. 23, ISBN 9780486434063,
El principio primordial en afinaciones de Ptolomeo fue el uso de la proporción superparticular.
. - ^ Ang, Tom (2011), Esenciales de fotografía digital , Penguin, p. 107, ISBN 9780756685263. Ang también señala que la relación de aspecto 16: 9 ( pantalla panorámica ) es otra opción común para la fotografía digital, pero a diferencia de 4: 3 y 3: 2, esta relación no es superparticular.
- ^ La relación de aspecto de formato medio de 7: 6 es una de las posibles relaciones con película de formato medio de 120 , y la relación de 5: 4 se logra con dos tamaños comunes para películas de formato grande, 4 × 5 pulgadas y 8 × 10 pulgadas. Ver por ejemplo Schaub, George (1999), Cómo fotografiar el aire libre en blanco y negro , Serie Cómo fotografiar, 9 , Stackpole Books, p. 43, ISBN 9780811724500.
enlaces externos
- Números superparticulares aplicados para construir escalas pentatónicas por David Canright .
- De Institutione Arithmetica, liber II por Anicius Manlius Severinus Boethius