Funcion exponencial

La función exponencial es una función matemática denotada por o (donde el argumento x se escribe como un exponente ). Se puede definir de varias maneras equivalentes . Su presencia omnipresente en las matemáticas puras y aplicadas llevó al matemático Walter Rudin a opinar que la función exponencial es "la función más importante de las matemáticas". ^[1] Su valor en 1, es una constante matemática llamada número de Euler .${\ estilo de visualización f (x) = \ exp (x)}$${\ estilo de visualización e ^ {x}}$${\ estilo de visualización e = \ exp (1),}$

La función exponencial es igual a su propia derivada . Así, aparece en las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales .

El argumento de la función exponencial puede ser cualquier número real o complejo . Esto permite extender el concepto de exponenciación (que normalmente se definiría solo para exponentes enteros como: para entero n ) a exponentes reales o complejos , definiendo para a positiva y x real o compleja . ^[2] La exponencial de un argumento complejo está estrechamente relacionada con la trigonometría , como lo muestra la fórmula de Euler . El argumento puede ser incluso un tipo completamente diferente de objeto matemático.${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n{\text{factores}}}}$ ${\displaystyle a^{x}:=\exp(x\ln(a))}$(por ejemplo, una matriz cuadrada ).

En entornos aplicados, las funciones exponenciales modelan una relación en la que un cambio constante en la variable independiente da el mismo cambio proporcional (es decir, un aumento o disminución porcentual) en la variable dependiente. Esto ocurre ampliamente en las ciencias naturales y sociales, como en una población que se reproduce a sí misma , un fondo que acumula interés compuesto o un cuerpo creciente de expertos en fabricación . Por lo tanto, la función exponencial también aparece en una variedad de contextos dentro de la física , la informática , la química , la ingeniería , la biología matemática y la economía .

La función exponencial real es una biyección de a . ^[3] Su función inversa es el logaritmo natural , denotado ^{[nb 1] [nb 2]} o por ello, algunos textos antiguos ^[4] se refieren a la función exponencial como el antilogaritmo .${\ estilo de visualización \ mathbb {R}}$${\ estilo de visualización (0; \ infinito)}$${\ estilo de visualización \ ln,}$ ${\ estilo de visualización \ registro,}$${\ estilo de visualización \ registro _ {e};}$

Funciones exponenciales con bases 2 y 1/2

La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n + 1 términos de su serie de potencias (en rojo).

La curva roja es la función exponencial. Las líneas horizontales negras muestran dónde se cruzan las líneas verticales verdes.

La derivada de la función exponencial es igual al valor de la función. Desde cualquier punto P en la curva (azul), dibuje una línea tangente (roja) y una línea vertical (verde) con altura h , formando un triángulo rectángulo con una base b en el eje x . Dado que la pendiente de la recta tangente roja (la derivada) en P es igual a la razón de la altura del triángulo a la base del triángulo (elevación sobre el recorrido), y la derivada es igual al valor de la función, h debe ser igual a la razón de h a b . Por lo tanto, la base b siempre debe ser 1.

Una trama compleja de , con el argumento representado por un matiz variable. La transición de colores oscuros a claros muestra que aumenta solo hacia la derecha. Las bandas horizontales periódicas correspondientes a la misma tonalidad indican que es periódica en la parte imaginaria de .${\displaystyle z\mapsto\exp z}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Arg} \ exp z}$${\ estilo de visualización \ izquierda | \ exp z \ derecha |}$${\displaystyle z\mapsto\exp z}$${\ estilo de visualización z}$