En la teoría de la probabilidad relacionada con los procesos estocásticos , un proceso de Feller es un tipo particular de proceso de Markov .
Definiciones
Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto con una base contable . Sea C 0 ( X ) el espacio de todas las funciones continuas de valor real en X que desaparecen en el infinito , equipadas con la sup-norma || f ||. A partir del análisis, sabemos que C 0 ( X ) con la norma sup es un espacio de Banach .
Un semigrupo de Feller en C 0 ( X ) es una colección { T t } t ≥ 0 de mapas lineales positivos de C 0 ( X ) a sí mismo de manera que
- || T t f || ≤ || f || para todo t ≥ 0 yf en C 0 ( X ), es decir, es una contracción (en el sentido débil);
- la propiedad del semigrupo : T t + s = T t o T s para todo s , t ≥ 0;
- lim t → 0 || T t f - f || = 0 para cada f en C 0 ( X ). Usando la propiedad de semigrupo, esto es equivalente a que el mapa T t f de t en [0, ∞) a C 0 ( X ) sea continuo a la derecha para cada f .
Advertencia : esta terminología no es uniforme en toda la literatura. En particular, el supuesto de que T t mapea C 0 ( X ) en sí mismo es reemplazado por algunos autores por la condición de que mapea C b ( X ), el espacio de funciones continuas acotadas, en sí mismo. El motivo es doble: primero, permite incluir procesos que entran "desde el infinito" en un tiempo finito. En segundo lugar, es más adecuado para el tratamiento de espacios que no son localmente compactos y para los que la noción de "desaparecer en el infinito" no tiene sentido.
Una función de transición de Feller es una función de transición de probabilidad asociada con un semigrupo de Feller.
Un proceso de Feller es un proceso de Markov con una función de transición de Feller.
Generador
Los procesos de Feller (o semigrupos de transición) pueden describirse mediante su generador infinitesimal . Se dice que una función f en C 0 está en el dominio del generador si el límite uniforme
existe. El operador A es el generador de T t , y el espacio de funciones sobre la que se define que está escrito como D A .
Una caracterización de los operadores que pueden ocurrir como el generador infinitesimal de los procesos de Feller viene dada por el teorema de Hille-Yosida . Utiliza el resolutivo del semigrupo Feller, definido a continuación.
Disolvente
El resolutivo de un proceso de Feller (o semigrupo) es una colección de mapas ( R λ ) λ > 0 desde C 0 ( X ) a sí mismo definido por
Se puede demostrar que satisface la identidad
Además, para cualquier λ fijo > 0, la imagen de R λ es igual al dominio D A del generador A , y
Ejemplos de
- El movimiento browniano y el proceso de Poisson son ejemplos de procesos de Feller. De manera más general, cada proceso Lévy es un proceso Feller.
- Los procesos de Bessel son procesos de Feller.
- Las soluciones a las ecuaciones diferenciales estocásticas con coeficientes continuos de Lipschitz son procesos de Feller. [ cita requerida ]
- Cada proceso Feller continuo correcto adaptado en el espacio de probabilidad - satisface la fuerte propiedad de Markov con respecto a la filtración, es decir, para cada - tiempo de parada , condicionado al evento , tenemos eso para cada , es independiente de dado . [1]
Ver también
Referencias
- ^ Rogers, LCG y Williams, David Diffusions, Markov Processes and Martingales volume One: Foundations, segunda edición, John Wiley and Sons Ltd, 1979. (página 247, Teorema 8.3)