Teorema de la dualidad de Fenchel

En matemáticas, el teorema de la dualidad de Fenchel es el resultado de la teoría de funciones convexas que lleva el nombre de Werner Fenchel .

Sea f una función convexa adecuada en R ⁿ y sea g una función cóncava adecuada en R ⁿ . Entonces, si se cumplen las condiciones de regularidad,

${\displaystyle \inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{*}(p)-f^{*}(p)).}$

donde ƒ  ^* es el conjugado convexo de f (también conocido como la transformada de Fenchel-Legendre) y g  _* es el conjugado cóncavo de g . Es decir,

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

${\displaystyle g_{*}\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

Teorema matemático

Deje que X y Y sean espacios de Banach , y sean funciones convexas y ser un delimitada mapa lineal . Luego los problemas de Fenchel:${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle A:X\to Y}$

${\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}}$

${\displaystyle d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}}$

satisfacer la dualidad débil , es decir . Tenga en cuenta que son los conjugados convexos de f , g respectivamente, y es el operador adjunto . La función de perturbación para este problema dual viene dada por .${\displaystyle p^{*}\geq d^{*}}$${\displaystyle f^{*},g^{*}}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)}$

Supongamos que f , g , y A satisface ni

1. f y g son inferior semi-continuo y donde es el interior algebraica y , donde h es una función, es el conjunto , o${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} g-A\operatorname {dom} f)}$${\displaystyle \operatorname {core} }$${\displaystyle \operatorname {dom} h}$${\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \}}$
2. ${\displaystyle A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset }$donde están los puntos donde la función es continua .${\displaystyle \operatorname {cont} }$

Entonces se mantiene una fuerte dualidad , es decir . Si entonces se alcanza el supremo . ^[1]${\displaystyle p^{*}=d^{*}}$${\displaystyle d^{*}\in \mathbb {R} }$

Ilustración unidimensional

En la siguiente figura, se ilustra el problema de minimización en el lado izquierdo de la ecuación. Se busca variar x de manera que la distancia vertical entre las curvas convexa y cóncava en x sea ​​lo más pequeña posible. La posición de la línea vertical en la figura es la óptima (aproximada).

La siguiente figura ilustra el problema de maximización en el lado derecho de la ecuación anterior. Las tangentes se dibujan en cada una de las dos curvas de modo que ambas tangentes tengan la misma pendiente p . El problema es ajustar p de tal manera que las dos tangentes estén lo más alejadas posible entre sí (más precisamente, de manera que los puntos donde se cruzan con el eje y estén lo más alejados posible entre sí). Imagine las dos tangentes como barras de metal con resortes verticales entre ellas que las separan y contra las dos parábolas que están fijadas en su lugar.

El teorema de Fenchel establece que los dos problemas tienen la misma solución. Los puntos que tienen la separación vertical mínima son también los puntos de tangencia para las tangentes paralelas separadas al máximo.

Ver también

• Transformación de Legendre
• Conjugado convexo
• Teorema de moreau
• Dualidad de Wolfe
• Werner Fenchel

Referencias

1. Borwein, Jonathan; Zhu, Qiji (2005). Técnicas de análisis variacional . Saltador. pp.  135 -137. ISBN 978-1-4419-2026-3.

• Bauschke, Heinz H .; Combettes, Patrick L. (2017). "Dualidad Fenchel-Rockafellar". Análisis convexo y teoría del operador monótono en espacios de Hilbert . Saltador. págs. 247–262. doi : 10.1007 / 978-3-319-48311-5_15 . ISBN 978-3-319-48310-8.
• Rockafellar, Ralph Tyrrell (1996). Análisis convexo . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 327 . ISBN 0-691-01586-4.