En matemáticas , un número de Fermat , llamado así por Pierre de Fermat , quien los estudió por primera vez, es un número entero positivo de la forma
Lleva el nombre de | Pierre de Fermat |
---|---|
No. de términos conocidos | 5 |
Conjeturaba que no. de términos | 5 |
Subsecuencia de | Números fermat |
Primeros términos | 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 |
Término más grande conocido | 65537 |
Índice OEIS | A019434 |
donde n es un número entero no negativo . Los primeros números de Fermat son:
Si 2 k + 1 es primo y k > 0, entonces k debe ser una potencia de 2, por lo que 2 k + 1 es un número de Fermat; estos números primos se denominan números primos de Fermat . A partir de 2021, los únicos números primos de Fermat conocidos son F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257 y F 4 = 65537 (secuencia A019434 en la OEIS ); las heurísticas sugieren que no hay más.
Propiedades básicas
Los números de Fermat satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia :
para n ≥ 1,
para n ≥ 2. Cada una de estas relaciones puede demostrarse mediante inducción matemática . De la segunda ecuación, podemos deducir el teorema de Goldbach (llamado así por Christian Goldbach ): no hay dos números de Fermat que compartan un factor entero común mayor que 1 . Para ver esto, suponga que 0 ≤ i < j y F i y F j tienen un factor común a > 1. Entonces a divide a ambos
y F j ; por tanto, a divide su diferencia, 2. Dado que a > 1, esto fuerza a = 2. Esto es una contradicción , porque cada número de Fermat es claramente impar. Como corolario , obtenemos otra prueba de la infinitud de los números primos: para cada F n , elija un factor primo p n ; entonces la secuencia { p n } es una secuencia infinita de primos distintos.
Otras propiedades
- Sin Fermat primo puede ser expresado como la diferencia de dos p th poderes, en donde p es un primo impar.
- Con la excepción de F 0 y F 1 , el último dígito de un número de Fermat es 7.
- La suma de los recíprocos de todos los números de Fermat (secuencia A051158 en la OEIS ) es irracional . ( Solomon W. Golomb , 1963)
Primalidad de los números de Fermat
Los números de Fermat y los números primos de Fermat fueron estudiados por primera vez por Pierre de Fermat, quien conjeturó que todos los números de Fermat son primos. De hecho, los primeros cinco números de Fermat F 0 , ..., F 4 se muestran fácilmente como primos. La conjetura de Fermat fue refutada por Leonhard Euler en 1732 cuando mostró que
Euler demostró que cada factor de F n debe tener la forma k 2 n +1 + 1 (luego mejorado a k 2 n +2 + 1 por Lucas ).
Que 641 es un factor de F 5 se puede deducir de las igualdades 641 = 2 7 × 5 + 1 y 641 = 2 4 + 5 4 . De la primera igualdad se deduce que 2 7 × 5 ≡ −1 (mod 641) y por lo tanto (elevando a la cuarta potencia) que 2 28 × 5 4 ≡ 1 (mod 641). Por otro lado, la segunda igualdad implica que 5 4 ≡ −2 4 (mod 641). Estas congruencias implican que 2 32 ≡ −1 (mod 641).
Fermat probablemente era consciente de la forma de los factores que más tarde probó Euler, por lo que parece curioso que no siguiera adelante con el cálculo sencillo para encontrar el factor. [1] Una explicación común es que Fermat cometió un error de cálculo.
No hay otros números primos de Fermat conocidos F n con n > 4, pero se sabe poco sobre los números de Fermat para n grandes . [2] De hecho, cada uno de los siguientes es un problema abierto:
- ¿ F n es compuesto para todo n > 4?
- ¿Hay infinitos números primos de Fermat? ( Eisenstein 1844) [3]
- ¿Hay infinitos números de Fermat compuestos?
- ¿Existe un número de Fermat que no esté libre de cuadrados ?
A partir de 2014[actualizar], Se sabe que F n es compuesto para 5 ≤ n ≤ 32 , aunque de éstas, factorizaciones completas de F n son conocidos sólo para 0 ≤ n ≤ 11 , y hay no se conocen los factores primos de n = 20 y n = 24 . [4] El mayor número de Fermat conocido como compuesto es F 18233954 , y su factor primo 7 × 2 18233956 + 1 , un megaprime , se descubrió en octubre de 2020.
Argumentos heurísticos
La heurística sugiere que F 4 es el último primo de Fermat.
El teorema del número primo implica que un entero aleatorio en un intervalo adecuado alrededor de N es primo con probabilidad 1 / ln N . Si se usa la heurística de que un número de Fermat es primo con la misma probabilidad que un entero aleatorio de su tamaño, y que F 5 , ..., F 32 son compuestos, entonces el número esperado de números primos de Fermat más allá de F 4 (o equivalentemente , más allá de F 32 ) debe ser
Se puede interpretar este número como un límite superior para la probabilidad de que exista un número primo de Fermat más allá de F 4 .
Este argumento no es una prueba rigurosa. Por un lado, asume que los números de Fermat se comportan "aleatoriamente", pero los factores de los números de Fermat tienen propiedades especiales. Boklan y Conway publicaron un análisis más preciso que sugiere que la probabilidad de que haya otro número primo de Fermat es menos de uno en mil millones. [5]
Condiciones equivalentes de primalidad
Dejar sea el n- ésimo número Fermat. La prueba de Pépin establece que para n > 0,
- es primo si y solo si
La expresion se puede evaluar modulo por cuadratura repetida . Esto hace que la prueba sea un algoritmo de tiempo polinómico rápido . Pero los números de Fermat crecen tan rápidamente que solo un puñado de ellos puede probarse en una cantidad de tiempo y espacio razonable.
Existen algunas pruebas para números de la forma k 2 m + 1, como factores de números de Fermat, para primalidad.
- Teorema de Proth (1878). Dejar = + con extraño < . Si hay un entero tal que
- luego es primordial. Por el contrario, si la congruencia anterior no se cumple, y además
- (Ver símbolo de Jacobi )
- luego es compuesto.
Si N = F n > 3, entonces el símbolo de Jacobi anterior siempre es igual a -1 para a = 3, y este caso especial del teorema de Proth se conoce como prueba de Pépin . Aunque la prueba de Pépin y el teorema de Proth se han implementado en computadoras para probar la composición de algunos números de Fermat, ninguna prueba da un factor no trivial específico. De hecho, no se conocen factores primos específicos para n = 20 y 24.
Factorización de números de Fermat
Debido al tamaño de los números de Fermat, es difícil factorizar o incluso verificar la primacía. La prueba de Pépin proporciona una condición necesaria y suficiente para la primacía de los números de Fermat y puede ser implementada por computadoras modernas. El método de la curva elíptica es un método rápido para encontrar pequeños divisores primos de números. El proyecto de computación distribuida Fermatsearch ha encontrado algunos factores de los números de Fermat. El proth.exe de Yves Gallot se ha utilizado para encontrar factores de números Fermat grandes. Édouard Lucas , mejorando el resultado de Euler antes mencionado, demostró en 1878 que todos los factores del número de Fermat, con n al menos 2, tiene la forma(ver número de Proth ), donde k es un número entero positivo. Por sí solo, esto hace que sea fácil probar la primacía de los números primos de Fermat conocidos.
Las factorizaciones de los primeros doce números de Fermat son:
F 0 = 2 1 + 1 = 3 es primo F 1 = 2 2 + 1 = 5 es primo F 2 = 2 4 + 1 = 17 es primo F 3 = 2 8 + 1 = 257 es primo F 4 = 2 16 + 1 = 65.537 es el Fermat prime más grande conocido F 5 = 2 32 + 1 = 4.294.967.297 = 641 × 6,700,417 (totalmente factorizado 1732 [6] ) F 6 = 2 64 + 1 = 18,446,744,073,709,551,617 (20 dígitos) = 274,177 × 67,280,421,310,721 (14 dígitos) (1855 totalmente factorizado) F 7 = 2 128 + 1 = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 (39 dígitos) = 59,649,589,127,497,217 (17 dígitos) × 5,704,689,200,685,129,054,721 (22 dígitos) (factorizado completo 1970) F 8 = 2 256 + 1 = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,
639,937 (78 dígitos)= 1,238,926,361,552,897 (16 dígitos) ×
93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 (62 dígitos) (completamente factorizado 1980)F 9 = 2 512 + 1 = 13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,0
30,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,6
49006084097 (155 dígitos)= 2,424,833 × 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 (49 dígitos) ×
741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,711,
504,940,740F 10 = 2 1024 + 1 = 179,769,313,486,231,590,772,930 ... 304,835,356,329,624,224,137,217 (309 dígitos) = 45,592,577 × 6,487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 (40 dígitos) ×
130,439,874,405,488,189,727,484 ... 806,217,820,753,127,014,424,577 (252 dígitos) (totalmente factorizado 1995)F 11 = 2 2048 + 1 = 32,317,006,071,311,007,300,714,8 ... 193,555,853,611,059,596,230,657 (617 dígitos) = 319,489 × 974,849 × 167,988,556,341,760,475,137 (21 dígitos) × 3,560,841,906,445,833,920,513 (22 dígitos) ×
173,462,447,179,147,555,430,258 ... 491,382,441,723,306,598,834,177 (564 dígitos) (totalmente factorizado 1988)
A partir de 2018[actualizar], solo F 0 a F 11 se han factorizado completamente . [4] El proyecto de computación distribuida Fermat Search está buscando nuevos factores de números de Fermat. [7] El conjunto de todos los factores de Fermat es A050922 (o, ordenado, A023394 ) en OEIS .
Los siguientes factores de los números de Fermat se conocían antes de 1950 (desde entonces, las computadoras digitales han ayudado a encontrar más factores):
Año | Descubridor | Número de Fermat | Factor |
---|---|---|---|
1732 | Euler | ||
1732 | Euler | (totalmente factorizado) | |
1855 | Clausen | ||
1855 | Clausen | (totalmente factorizado) | |
1877 | Pervushin | ||
1878 | Pervushin | ||
1886 | Seelhoff | ||
1899 | Cunningham | ||
1899 | Cunningham | ||
1903 | occidental | ||
1903 | occidental | ||
1903 | occidental | ||
1903 | occidental | ||
1903 | Cullen | ||
1906 | Morehead | ||
1925 | Kraitchik |
A partir de enero de 2021[actualizar], Se conocen 356 factores primos de números de Fermat y se sabe que 312 números de Fermat son compuestos. [4] Cada año se encuentran varios factores Fermat nuevos. [8]
Pseudoprimes y números de Fermat
Al igual que los números compuestos de la forma 2 p - 1, cada número de Fermat compuesto es un pseudoprime fuerte a base 2. Esto se debe a que todos los pseudoprimes fuertes a base 2 también son pseudoprimes de Fermat , es decir
para todos los números de Fermat.
En 1904, Cipolla demostró que el producto de al menos dos números de Fermat primos o compuestos distintos será un pseudoprime de Fermat a base 2 si y solo si . [9]
Otros teoremas sobre los números de Fermat
Lema. - Si n es un número entero positivo,
Teorema - Si es un primo impar, entonces es una potencia de 2.
Si es un número entero positivo pero no una potencia de 2, debe tener un factor primo impar y podemos escribir dónde .
Por el lema anterior, para entero positivo ,
dónde significa "divide uniformemente". Sustituyendo, y y usando eso es impar,
y por lo tanto
Porque , resulta que no es primo. Por tanto, por contraposición debe ser una potencia de 2.
Teorema : un número primo de Fermat no puede ser un número primo de Wieferich .
Mostramos si es un primo de Fermat (y por lo tanto, por lo anterior, m es una potencia de 2), entonces la congruencia no se sostiene.
Desde podemos escribir . Si la congruencia dada se cumple, entonces, y por lo tanto
Por eso , y por lo tanto . Esto lleva a, que es imposible ya que .
Teorema ( Édouard Lucas ) - Cualquier divisor primo p de es de la forma siempre que n > 1.
Sea G p el grupo de números enteros distintos de cero módulo p bajo multiplicación , que tiene orden p −1. Observe que 2 (estrictamente hablando, su imagen módulo p ) tiene un orden multiplicativo igual aen G p (desde es el cuadrado de que es −1 módulo F n ), de modo que, según el teorema de Lagrange , p - 1 es divisible pory p tiene la formapara algún entero k , como sabía Euler . Édouard Lucas fue más allá. Como n > 1, el primo p anterior es congruente con 1 módulo 8. Por lo tanto (como era conocido por Carl Friedrich Gauss ), 2 es un residuo cuadrático módulo p , es decir, hay un número entero a tal queEntonces la imagen de un tiene ordenen el grupo G p y (usando nuevamente el teorema de Lagrange), p - 1 es divisible pory p tiene la formapara algunos enteros s .
De hecho, se puede ver directamente que 2 es un residuo cuadrático módulo p , ya que
Dado que una potencia impar de 2 es un residuo cuadrático módulo p , también lo es 2.
Relación con polígonos construibles
Carl Friedrich Gauss desarrolló la teoría de los períodos gaussianos en sus Disquisitiones Arithmeticae y formuló una condición suficiente para la constructibilidad de polígonos regulares. Gauss afirmó que esta condición también era necesaria , pero nunca publicó una prueba. Pierre Wantzel dio una prueba completa de necesidad en 1837. El resultado se conoce como el teorema de Gauss-Wantzel :
- Se puede construir un polígono regular de n lados con compás y regla no graduada si y solo si n es el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos: en otras palabras, si y solo si n es de la forma n = 2 k p 1 p 2 ... p s , donde k, s son números enteros no negativos y p i son primos de Fermat distintos.
Un entero positivo n tiene la forma anterior si y solo si su totiente φ ( n ) es una potencia de 2.
Aplicaciones de los números de Fermat
Generación de números pseudoaleatorios
Los números primos de Fermat son particularmente útiles para generar secuencias pseudoaleatorias de números en el rango 1 ... N , donde N es una potencia de 2. El método más común utilizado es tomar cualquier valor semilla entre 1 y P - 1, donde P es una prima de Fermat. Ahora multiplique esto por un número A , que es mayor que la raíz cuadrada de P y es una raíz primitiva módulo P (es decir, no es un residuo cuadrático ). Luego tomar el resultado de módulo P . El resultado es el nuevo valor del RNG.
- (ver generador congruencial lineal , RANDU )
Esto es útil en informática, ya que la mayoría de las estructuras de datos tienen miembros con 2 X valores posibles. Por ejemplo, un byte tiene 256 ( 28 ) valores posibles (0-255). Por lo tanto, para llenar un byte o bytes con valores aleatorios, se puede usar un generador de números aleatorios que produzca valores 1–256, tomando el byte el valor de salida -1. Los números primos de Fermat muy grandes son de particular interés en el cifrado de datos por este motivo. Este método produce sólo valores pseudoaleatorios ya que, después de P - 1 repeticiones, la secuencia se repite. Un multiplicador mal elegido puede hacer que la secuencia se repita antes que P - 1.
Otros hechos interesantes
Un número de Fermat no puede ser un número perfecto o parte de un par de números amistosos . ( Luca 2000 )
La serie de recíprocos de todos los divisores primos de números de Fermat es convergente . ( Křížek, Luca y Somer 2002 )
Si n n + 1 es primo, existe un entero m tal que n = 2 2 m . La ecuación n n + 1 = F (2 m + m ) se cumple en ese caso. [10] [11]
Dejar que el mayor factor primo del número de Fermat F n es P ( M n ). Luego,
- ( Grytczuk, Luca y Wójtowicz 2001 )
Números de Fermat generalizados
Números del formulario con a , b cualesquiera enteros coprimos , a > b > 0, se denominan números de Fermat generalizados . Un primo impar p es un número de Fermat generalizado si y solo si p es congruente con 1 (mod 4) . (Aquí consideramos solo el caso n > 0, entonces 3 = no es un contraejemplo).
Un ejemplo de un número primo probable de esta forma es 124 65536 + 57 65536 (encontrado por Valeryi Kuryshev). [12]
Por analogía con los números de Fermat ordinarios, es común escribir números de Fermat generalizados de la forma como F n ( a ). En esta notación, por ejemplo, el número 100.000.001 se escribiría como F 3 (10). A continuación, nos limitaremos a los números primos de esta forma,, dichos números primos se denominan "primos de Fermat base a ". Por supuesto, estos números primos existen solo si a es par .
Si requerimos n > 0, entonces el cuarto problema de Landau pregunta si hay infinitos números primos de Fermat generalizados F n ( a ).
Primos de Fermat generalizados
Debido a la facilidad para probar su primalidad, los números primos de Fermat generalizados se han convertido en los últimos años en un tema de investigación dentro del campo de la teoría de números. Muchos de los números primos más grandes conocidos en la actualidad son números primos de Fermat generalizados.
Números de Fermat generalizadas pueden ser primer solamente para incluso una , porque si una es impar entonces cada número de Fermat generalizada será divisible por 2. El número primo más pequeño con es O 30 32 + 1. Además, podemos definir la "mitad generalizada números de Fermat" para una base impar, un medio generalizado número Fermat basar un (por extraño una ) es, y también es de esperar que sólo haya un número finito de números primos de Fermat medio generalizados para cada base impar.
(En la lista, los números de Fermat generalizados () a un par a son, por extraño a , son. Si a es una potencia perfecta con un exponente impar (secuencia A070265 en el OEIS ), entonces todos los números de Fermat generalizados se pueden factorizar algebraicos, por lo que no pueden ser primos)
(Para el número más pequeño tal que es primo, ver OEIS : A253242 )
números tal que es primordial | números tal que es primordial | números tal que es primordial | números tal que es primordial | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 0, 1, 2, 3, 4, ... | 18 | 0, ... | 34 | 2, ... | 50 | ... |
3 | 0, 1, 2, 4, 5, 6, ... | 19 | 1, ... | 35 | 1, 2, 6, ... | 51 | 1, 3, 6, ... |
4 | 0, 1, 2, 3, ... | 20 | 1, 2, ... | 36 | 0, 1, ... | 52 | 0, ... |
5 | 0, 1, 2, ... | 21 | 0, 2, 5, ... | 37 | 0, ... | 53 | 3, ... |
6 | 0, 1, 2, ... | 22 | 0, ... | 38 | ... | 54 | 1, 2, 5, ... |
7 | 2, ... | 23 | 2, ... | 39 | 1, 2, ... | 55 | ... |
8 | (ninguno) | 24 | 1, 2, ... | 40 | 0, 1, ... | 56 | 1, 2, ... |
9 | 0, 1, 3, 4, 5, ... | 25 | 0, 1, ... | 41 | 4, ... | 57 | 0, 2, ... |
10 | 0, 1, ... | 26 | 1, ... | 42 | 0, ... | 58 | 0, ... |
11 | 1, 2, ... | 27 | (ninguno) | 43 | 3, ... | 59 | 1, ... |
12 | 0, ... | 28 | 0, 2, ... | 44 | 4, ... | 60 | 0, ... |
13 | 0, 2, 3, ... | 29 | 1, 2, 4, ... | 45 | 0, 1, ... | 61 | 0, 1, 2, ... |
14 | 1, ... | 30 | 0, 5, ... | 46 | 0, 2, 9, ... | 62 | ... |
15 | 1, ... | 31 | ... | 47 | 3, ... | 63 | ... |
dieciséis | 0, 1, 2, ... | 32 | (ninguno) | 48 | 2, ... | 64 | (ninguno) |
17 | 2, ... | 33 | 0, 3, ... | 49 | 1, ... | sesenta y cinco | 1, 2, 5, ... |
B | base principal de Fermat generalizada conocida (mitad) b |
2 | 3, 5, 17, 257, 65537 |
3 | 2, 5, 41, 21523361, 926510094425921, 1716841910146256242328924544641 |
4 | 5, 17, 257, 65537 |
5 | 3, 13, 313 |
6 | 7, 37, 1297 |
7 | 1201 |
8 | (imposible) |
9 | 5, 41, 21523361, 926510094425921, 1716841910146256242328924544641 |
10 | 11, 101 |
11 | 61, 7321 |
12 | 13 |
13 | 7, 14281, 407865361 |
14 | 197 |
15 | 113 |
dieciséis | 17, 257, 65537 |
17 | 41761 |
18 | 19 |
19 | 181 |
20 | 401, 160001 |
21 | 11, 97241, 1023263388750334684164671319051311082339521 |
22 | 23 |
23 | 139921 |
24 | 577, 331777 |
25 | 13, 313 |
26 | 677 |
27 | (imposible) |
28 | 29, 614657 |
29 | 421, 353641, 125123236840173674393761 |
30 | 31, 185302018885184100000000000000000000000000000001 |
31 | |
32 | (imposible) |
33 | 17, 703204309121 |
34 | 1336337 |
35 | 613, 750313, 330616742651687834074918381127337110499579842147487712949050636668246738736343104392290115356445313 |
36 | 37, 1297 |
37 | 19 |
38 | |
39 | 761, 1156721 |
40 | 41, 1601 |
41 | 31879515457326527173216321 |
42 | 43 |
43 | 5844100138801 |
44 | 197352587024076973231046657 |
45 | 23, 1013 |
46 | 47, 4477457, 46 512 +1 (852 dígitos: 214787904487 ... 289480994817) |
47 | 11905643330881 |
48 | 5308417 |
49 | 1201 |
50 |
(Consulte [13] [14] para obtener más información (bases pares hasta 1000), también consulte [15] para bases impares)
(Para el número primo más pequeño de la forma (por extraño ), véase también OEIS : A111635 )
números tal que es primordial | ||
---|---|---|
2 | 1 | 0, 1, 2, 3, 4, ... |
3 | 1 | 0, 1, 2, 4, 5, 6, ... |
3 | 2 | 0, 1, 2, ... |
4 | 1 | 0, 1, 2, 3, ... |
4 | 3 | 0, 2, 4, ... |
5 | 1 | 0, 1, 2, ... |
5 | 2 | 0, 1, 2, ... |
5 | 3 | 1, 2, 3, ... |
5 | 4 | 1, 2, ... |
6 | 1 | 0, 1, 2, ... |
6 | 5 | 0, 1, 3, 4, ... |
7 | 1 | 2, ... |
7 | 2 | 1, 2, ... |
7 | 3 | 0, 1, 8, ... |
7 | 4 | 0, 2, ... |
7 | 5 | 1, 4, ... |
7 | 6 | 0, 2, 4, ... |
8 | 1 | (ninguno) |
8 | 3 | 0, 1, 2, ... |
8 | 5 | 0, 1, 2, ... |
8 | 7 | 1, 4, ... |
9 | 1 | 0, 1, 3, 4, 5, ... |
9 | 2 | 0, 2, ... |
9 | 4 | 0, 1, ... |
9 | 5 | 0, 1, 2, ... |
9 | 7 | 2, ... |
9 | 8 | 0, 2, 5, ... |
10 | 1 | 0, 1, ... |
10 | 3 | 0, 1, 3, ... |
10 | 7 | 0, 1, 2, ... |
10 | 9 | 0, 1, 2, ... |
11 | 1 | 1, 2, ... |
11 | 2 | 0, 2, ... |
11 | 3 | 0, 3, ... |
11 | 4 | 1, 2, ... |
11 | 5 | 1, ... |
11 | 6 | 0, 1, 2, ... |
11 | 7 | 2, 4, 5, ... |
11 | 8 | 0, 6, ... |
11 | 9 | 1, 2, ... |
11 | 10 | 5, ... |
12 | 1 | 0, ... |
12 | 5 | 0, 4, ... |
12 | 7 | 0, 1, 3, ... |
12 | 11 | 0, ... |
13 | 1 | 0, 2, 3, ... |
13 | 2 | 1, 3, 9, ... |
13 | 3 | 1, 2, ... |
13 | 4 | 0, 2, ... |
13 | 5 | 1, 2, 4, ... |
13 | 6 | 0, 6, ... |
13 | 7 | 1, ... |
13 | 8 | 1, 3, 4, ... |
13 | 9 | 0, 3, ... |
13 | 10 | 0, 1, 2, 4, ... |
13 | 11 | 2, ... |
13 | 12 | 1, 2, 5, ... |
14 | 1 | 1, ... |
14 | 3 | 0, 3, ... |
14 | 5 | 0, 2, 4, 8, ... |
14 | 9 | 0, 1, 8, ... |
14 | 11 | 1, ... |
14 | 13 | 2, ... |
15 | 1 | 1, ... |
15 | 2 | 0, 1, ... |
15 | 4 | 0, 1, ... |
15 | 7 | 0, 1, 2, ... |
15 | 8 | 0, 2, 3, ... |
15 | 11 | 0, 1, 2, ... |
15 | 13 | 1, 4, ... |
15 | 14 | 0, 1, 2, 4, ... |
dieciséis | 1 | 0, 1, 2, ... |
dieciséis | 3 | 0, 2, 8, ... |
dieciséis | 5 | 1, 2, ... |
dieciséis | 7 | 0, 6, ... |
dieciséis | 9 | 1, 3, ... |
dieciséis | 11 | 2, 4, ... |
dieciséis | 13 | 0, 3, ... |
dieciséis | 15 | 0, ... |
(Para el más pequeño incluso basar un tal quees primo, ver OEIS : A056993 )
basa un tal quees primo (solo considere incluso a ) | Secuencia OEIS | |
---|---|---|
0 | 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, ... | A006093 |
1 | 2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184, ... | A005574 |
2 | 2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, ... | A000068 |
3 | 2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, ... | A006314 |
4 | 2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, 396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, ... | A006313 |
5 | 30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 1198, 1306, 1540, 1568, ... | A006315 |
6 | 102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, 2238, 2336, 2388, .. . | A006316 |
7 | 120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 9108, 9356, 9582, .. . | A056994 |
8 | 278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332, ... | A056995 |
9 | 46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, 6682, 7388, 7992, ... | A057465 |
10 | 824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 17646, 17670, ... | A057002 |
11 | 150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 44174, 45654, ... | A088361 |
12 | 1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 101578, 109696, ... | A088362 |
13 | 30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 225174, 241600, ... | A226528 |
14 | 67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 498904, 506664, ... | A226529 |
15 | 70906, 167176, 204462, 249830, 321164, 330716, 332554, 429370, 499310, 524552, 553602, 743788, 825324, 831648, 855124, 999236, 1041870, ... | A226530 |
dieciséis | 48594, 108368, 141146, 189590, 255694, 291726, 292550, 357868, 440846, 544118, 549868, 671600, 843832, 857678, 1024390, 1057476, 1087540, ... | A251597 |
17 | 62722, 130816, 228188, 386892, 572186, 689186, 909548, 1063730, 1176694, 1361244, 1372930, 1560730, 1660830, 1717162, 1722230, 1766192, ... | A253854 |
18 | 24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, 1415198, 1488256, 1615588, 1828858, 2042774, 2514168, 2611294, 2676404, 3060772, ... | A244150 |
19 | 75898, 341112, 356926, 475856, 1880370, 2061748, 2312092, ... | A243959 |
20 | 919444, 1059094, ... | A321323 |
La base más pequeña b tal que b 2 n + 1 es primo son
- 2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, ... (secuencia A056993 en el OEIS )
Los k más pequeños tales que (2 n ) k + 1 es primo son
- 1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 4, 1, ... (Se desconoce el siguiente término) (secuencia A079706 en la OEIS ) (ver también OEIS : A228101 y OEIS : A084712 )
Se puede usar una teoría más elaborada para predecir el número de bases para las cuales será primordial para fijo . Se puede esperar que el número de números primos de Fermat generalizados se reduzca a la mitad a medida que aumenta en 1.
Los números primos de Fermat generalizados más grandes conocidos
La siguiente es una lista de los 5 números primos de Fermat generalizados más grandes conocidos. [16] Todos son megaprimes . Los participantes del proyecto PrimeGrid descubren todo el top-5 .
Rango | Primera fila [17] | número primo | Notación de Fermat generalizada | Número de dígitos | Fecha encontrada | árbitro. |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 14 | 1059094 1048576 + 1 | F 20 (1059094) | 6.317.602 | Noviembre de 2018 | [18] |
2 | 15 | 919444 1048576 + 1 | F 20 (919444) | 6.253.210 | Septiembre de 2017 | [19] |
3 | 31 | 3214654 524288 + 1 | F 19 (3214654) | 3.411.613 | Dic 2019 | [20] |
4 | 32 | 2985036 524288 + 1 | F 19 (2985036) | 3.394.739 | Sep. De 2019 | [21] |
5 | 33 | 2877652 524288 + 1 | F 19 (2877652) | 3,386,397 | Junio de 2019 | [22] |
En las Prime Pages se pueden encontrar los 100 principales números primos de Fermat generalizados actuales .
Ver también
- Polígono construible : qué polígonos regulares son construibles depende parcialmente de los números primos de Fermat.
- Función doble exponencial
- Teorema de lucas
- Mersenne prime
- Pierpont prime
- Prueba de primordialidad
- Teorema de Proth
- Pseudoprime
- Número de Sierpiński
- La secuencia de Sylvester
Notas
- ^ Křížek, Luca y Somer 2001 , p. 38, Observación 4.15
- ^ Chris Caldwell, "Prime Links ++: formularios especiales" Archivado el 24 de diciembre de 2013 en la Wayback Machine en The Prime Pages .
- ^ Ribenboim 1996 , p. 88.
- ^ a b c Keller, Wilfrid (18 de enero de 2021), "Prime Factors of Fermat Numbers" , ProthSearch.com , consultado el 19 de enero de 2021
- ^ Boklan, Kent D .; Conway, John H. (2017). "¡Espere como máximo una mil millonésima parte de un nuevo Fermat Prime!". 39 (1): 3-5. arXiv : 1605.01371 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Sandifer, Ed. "Cómo lo hizo Euler" (PDF) . MAA en línea . Asociación Matemática de América . Consultado el 13 de junio de 2020 .
- ^ ":: FERMATSEARCH. ORG :: Página de inicio" . www.fermatsearch.org . Consultado el 7 de abril de 2018 .
- ^ ":: FERMATSEARCH. ORG :: Noticias" . www.fermatsearch.org . Consultado el 7 de abril de 2018 .
- ^ Krizek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (14 de marzo de 2013). 17 Conferencias sobre los números de Fermat: de la teoría de los números a la geometría . Springer Science & Business Media. ISBN 9780387218502. Consultado el 7 de abril de 2018 , a través de Google Books.
- ^ Jeppe Stig Nielsen, "S (n) = n ^ n + 1" .
- ^ Weisstein, Eric W. "Número de Sierpiński del primer tipo" . MathWorld .
- ^ PRP Top Records, busque x ^ (2 ^ 16) + y ^ (2 ^ 16) , por Henri & Renaud Lifchitz.
- ^ "Primas Fermat generalizadas" . jeppesn.dk . Consultado el 7 de abril de 2018 .
- ^ "Primarios Fermat generalizados para bases hasta 1030" . noprimeleftbehind.net . Consultado el 7 de abril de 2018 .
- ^ "Primos de Fermat generalizados en bases impares" . fermatquotient.com . Consultado el 7 de abril de 2018 .
- ^ Caldwell, Chris K. "Los veinte primeros: Fermat generalizado" . Las Prime Pages . Consultado el 11 de julio de 2019 .
- ^ Caldwell, Chris K. "Salida de búsqueda de base de datos" . Las Prime Pages . Consultado el 11 de julio de 2019 .
- ^ 1059094 1048576 + 1
- ^ 919444 1048576 + 1
- ^ 3214654 524288 + 1
- ^ 2985036 524288 + 1
- ^ 2877652 524288 + 1
Referencias
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- Grytczuk, A .; Luca, F. & Wójtowicz, M. (2001), "Otra nota sobre los mayores factores primos de los números de Fermat", Boletín de Matemáticas del Sudeste Asiático , 25 (1): 111-115, doi : 10.1007 / s10012-001-0111 -4 , S2CID 122332537
- Guy, Richard K. (2004), Problemas no resueltos en teoría de números , Libros de problemas en matemáticas, 1 (3.a ed.), Nueva York: Springer Verlag , págs. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2
- Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2001), 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry , CMS books in math, 10 , Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8 - Este libro contiene una extensa lista de referencias.
- Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2002), "Sobre la convergencia de series de recíprocos de primos relacionados con los números de Fermat" (PDF) , Journal of Number Theory , 97 (1): 95-112, doi : 10.1006 / jnth .2002.2782
- Luca, Florian (2000), "The antisocial Fermat number" , American Mathematical Monthly , 107 (2): 171-173, doi : 10.2307 / 2589441 , JSTOR 2589441
- Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (3.a ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
- Robinson, Raphael M. (1954), "Mersenne and Fermat Numbers", Proceedings of the American Mathematical Society , 5 (5): 842–846, doi : 10.2307 / 2031878 , JSTOR 2031878
- Yabuta, M. (2001), "Una prueba simple del teorema de Carmichael sobre divisores primitivos" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 39 : 439–443
enlaces externos
- Chris Caldwell, The Prime Glossary: Número de Fermat en The Prime Pages .
- Luigi Morelli, Historia de los números de Fermat
- John Cosgrave, Unificación de los números de Mersenne y Fermat
- Wilfrid Keller, factores primos de los números de Fermat
- Weisstein, Eric W. "Número de Fermat" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Fermat Prime" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Fermat Pseudoprime" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Número de Fermat generalizado" . MathWorld .
- Yves Gallot, búsqueda generalizada de Fermat Prime
- Mark S. Manasse, Factorización completa del noveno número de Fermat (anuncio original)
- Peyton Hayslette, el mayor anuncio de Fermat Prime generalizado conocido