En matemáticas , más específicamente en topología general , compacidad es una propiedad que generaliza la noción de un subconjunto de espacio euclidiano siendo cerrado (es decir, que contiene todos sus puntos límite ) y delimitado (es decir, que tiene todos sus puntos están dentro de una distancia fija de cada otro). [1] [2] Los ejemplos incluyen un intervalo cerrado , un rectángulo o un conjunto finito de puntos. Esta noción se define para espacios topológicos más generales que el espacio euclidiano de varias maneras.
Una de esas generalizaciones es que un espacio topológico es secuencialmente compacto si cada secuencia infinita de puntos muestreados del espacio tiene una subsecuencia infinita que converge a algún punto del espacio. [3] El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que un subconjunto del espacio euclidiano es compacto en este sentido secuencial si y solo si está cerrado y acotado. Por lo tanto, si uno elige un número infinito de puntos en el intervalo unitario cerrado [0, 1] , algunos de esos puntos se acercarán arbitrariamente a algún número real en ese espacio. Por ejemplo, algunos de los números en la secuencia 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7,… se acumulan en 0 (mientras que otros se acumulan en 1). El mismo conjunto de puntos no se acumularía en ningún punto del intervalo unitario abierto (0, 1) ; por lo que el intervalo de la unidad abierta no es compacto. El espacio euclidiano en sí mismo no es compacto ya que no está acotado. En particular, la secuencia de puntos 0, 1, 2, 3,… , que no está acotada, no tiene subsecuencia que converja a ningún número real.
El concepto de espacio compacto fue introducido formalmente por Maurice Fréchet en 1906 para generalizar el teorema de Bolzano-Weierstrass a espacios de funciones , en lugar de puntos geométricos. Las aplicaciones de la compacidad al análisis clásico, como el teorema de Arzelà-Ascoli y el teorema de existencia de Peano, son de este tipo. Tras la introducción inicial del concepto, se desarrollaron varias nociones equivalentes de compacidad, incluida la compacidad secuencial y la compacidad del punto límite , en espacios métricos generales . [4] En los espacios topológicos generales, sin embargo, las diferentes nociones de compacidad no son necesariamente equivalentes. La noción más útil, que es la definición estándar del término no calificado compacidad , se expresa en términos de la existencia de familias finitas de conjuntos abiertos que " cubren " el espacio en el sentido de que cada punto del espacio se encuentra en algún conjunto contenido en la familia. Esta noción más sutil, introducida por Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn en 1929, exhibe espacios compactos como generalizaciones de conjuntos finitos . En espacios que son compactos en este sentido, a menudo es posible unir información que se mantiene localmente —es decir, en una vecindad de cada punto— en declaraciones correspondientes que se mantienen en todo el espacio, y muchos teoremas son de este carácter.
El término conjunto compacto se utiliza a veces como sinónimo de espacio compacto, pero a menudo también se refiere a un subespacio compacto de un espacio topológico.
Desarrollo historico
En el siglo XIX, se entendieron varias propiedades matemáticas dispares que luego serían vistas como consecuencias de la compacidad. Por un lado, Bernard Bolzano ( 1817 ) había sido consciente de que cualquier secuencia acotada de puntos (en la línea o en el plano, por ejemplo) tiene una subsecuencia que eventualmente debe acercarse arbitrariamente a algún otro punto, llamado punto límite . La demostración de Bolzano se basó en el método de la bisección : la secuencia se colocó en un intervalo que luego se dividió en dos partes iguales, y se seleccionó una parte que contenía infinitos términos de la secuencia. Luego, el proceso podría repetirse dividiendo el intervalo más pequeño resultante en partes cada vez más pequeñas, hasta que se cierre en el punto límite deseado. El significado total del teorema de Bolzano y su método de demostración no emergería hasta casi 50 años después, cuando fue redescubierto por Karl Weierstrass . [5]
En la década de 1880, quedó claro que los resultados similares al teorema de Bolzano-Weierstrass podían formularse para espacios de funciones en lugar de solo números o puntos geométricos. La idea de considerar las funciones como puntos de un espacio generalizado se remonta a las investigaciones de Giulio Ascoli y Cesare Arzelà . [6] La culminación de sus investigaciones, el teorema de Arzelà-Ascoli , fue una generalización del teorema de Bolzano-Weierstrass a familias de funciones continuas , cuya conclusión precisa fue que era posible extraer una secuencia uniformemente convergente de funciones de un adecuada familia de funciones. El límite uniforme de esta secuencia jugó entonces precisamente el mismo papel que el "punto límite" de Bolzano. Hacia principios del siglo XX, se empezaron a acumular resultados similares a los de Arzelà y Ascoli en el ámbito de las ecuaciones integrales , como investigaron David Hilbert y Erhard Schmidt . Para una cierta clase de funciones de Green provenientes de soluciones de ecuaciones integrales, Schmidt había demostrado que una propiedad análoga al teorema de Arzelà-Ascoli se mantenía en el sentido de convergencia media, o convergencia en lo que más tarde se denominaría un espacio de Hilbert . En última instancia, esto condujo a la noción de operador compacto como consecuencia de la noción general de espacio compacto. Fue Maurice Fréchet quien, en 1906 , había destilado la esencia de la propiedad de Bolzano-Weierstrass y acuñado el término compacidad para referirse a este fenómeno general (ya utilizó el término en su artículo de 1904 [7] que llevó a la famosa tesis de 1906 ).
Sin embargo, a finales del siglo XIX, a partir del estudio del continuo , había surgido lentamente una noción completamente diferente de compacidad , que se consideraba fundamental para la formulación rigurosa del análisis. En 1870, Eduard Heine demostró que una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado era de hecho uniformemente continua . En el transcurso de la demostración, hizo uso de un lema que de cualquier cobertura contable del intervalo por intervalos abiertos más pequeños, era posible seleccionar un número finito de estos que también lo cubrían. Émile Borel ( 1895 ) reconoció la importancia de este lema , y Pierre Cousin (1895) y Henri Lebesgue ( 1904 ) lo generalizaron a colecciones arbitrarias de intervalos . El teorema de Heine-Borel , como ahora se conoce el resultado, es otra propiedad especial que poseen los conjuntos cerrados y acotados de números reales.
Esta propiedad era significativa porque permitía el paso de información local sobre un conjunto (como la continuidad de una función) a información global sobre el conjunto (como la continuidad uniforme de una función). Este sentimiento fue expresado por Lebesgue (1904) , quien también lo explotó en el desarrollo de la integral que ahora lleva su nombre . En última instancia, la escuela rusa de topología de conjuntos de puntos , bajo la dirección de Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn , formuló la compacidad de Heine-Borel de una manera que podría aplicarse a la noción moderna de un espacio topológico . Alexandrov y Urysohn (1929) mostraron que la versión anterior de compacidad debida a Fréchet, ahora llamada compacidad secuencial (relativa) , en condiciones apropiadas, seguía de la versión de compacidad que se formuló en términos de la existencia de subcubiertas finitas. Fue esta noción de compacidad la que se convirtió en la dominante, porque no solo era una propiedad más fuerte, sino que podía formularse en un entorno más general con un mínimo de maquinaria técnica adicional, ya que se basaba solo en la estructura de los conjuntos abiertos. en un espacio.
Ejemplos básicos
Cualquier espacio finito es trivialmente compacto. Un ejemplo no trivial de un espacio compacto es el intervalo unitario (cerrado) [0,1] de números reales . Si uno elige un número infinito de puntos distintos en el intervalo unitario, entonces debe haber algún punto de acumulación en ese intervalo. Por ejemplo, los términos impares de la secuencia 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... se acercan arbitrariamente a 0, mientras que los pares se acercan arbitrariamente a 1. La secuencia de ejemplo dada muestra la importancia de incluir los puntos límite del intervalo, ya que los puntos límite deben estar en el espacio mismo: un intervalo abierto (o semiabierto) del intervalo. los números reales no son compactos. También es crucial que el intervalo esté acotado , ya que en el intervalo [0, ∞) , uno podría elegir la secuencia de puntos 0, 1, 2, 3, ... , de los cuales ninguna subsecuencia finalmente se acerca arbitrariamente a cualquier número real dado.
En dos dimensiones, los discos cerrados son compactos, ya que para cualquier número infinito de puntos muestreados de un disco, algún subconjunto de esos puntos debe acercarse arbitrariamente a un punto dentro del disco oa un punto en el límite. Sin embargo, un disco abierto no es compacto, porque una secuencia de puntos puede tender al límite, sin acercarse arbitrariamente a ningún punto del interior. Del mismo modo, las esferas son compactas, pero una esfera a la que le falta un punto no lo es, ya que una secuencia de puntos aún puede tender al punto perdido, por lo que no se acerca arbitrariamente a ningún punto dentro del espacio. Las líneas y los planos no son compactos, ya que se puede tomar un conjunto de puntos igualmente espaciados en cualquier dirección dada sin acercarse a ningún punto.
Definiciones
Pueden aplicarse varias definiciones de compacidad, dependiendo del nivel de generalidad. Un subconjunto del espacio euclidiano en particular se llama compacto si está cerrado y acotado . Esto implica, según el teorema de Bolzano-Weierstrass , que cualquier secuencia infinita del conjunto tiene una subsecuencia que converge en un punto del conjunto. Varias nociones equivalentes de compacidad, tales como compacidad secuencial y compacidad de punto límite , se pueden desarrollar en espacios métricos generales . [4]
En contraste, las diferentes nociones de compacidad no son equivalentes en los espacios topológicos generales , y la noción más útil de compacidad — originalmente llamada bicompactancia — se define usando cubiertas que consisten en conjuntos abiertos (ver definición de cubierta abierta más abajo). Que esta forma de compacidad es válida para subconjuntos cerrados y acotados del espacio euclidiano se conoce como el teorema de Heine-Borel . La compacidad, cuando se define de esta manera, a menudo permite tomar información que se conoce localmente —en una vecindad de cada punto del espacio— y extenderla a información que se mantiene globalmente en todo el espacio. Un ejemplo de este fenómeno es el teorema de Dirichlet, al que Heine aplicó originalmente, que una función continua en un intervalo compacto es uniformemente continua ; aquí, la continuidad es una propiedad local de la función y la continuidad uniforme la propiedad global correspondiente.
Definición de cubierta abierta
Formalmente, un espacio topológico X se llama compacto si cada una de sus cubiertas abiertas tiene una subcubierta finita . [8] Es decir, X es compacto si para cada colección C de subconjuntos abiertos de X tal que
- ,
hay un subconjunto finito F de C tal que
Algunas ramas de las matemáticas como la geometría algebraica , típicamente influenciadas por la escuela francesa de Bourbaki , usan el término cuasi-compacto para la noción general y reservan el término compacto para espacios topológicos que son tanto de Hausdorff como cuasi-compactos . Un conjunto compacto a veces se denomina compactum , plural compacta .
Compacidad de subconjuntos
Se dice que un subconjunto K de un espacio topológico X es compacto si es compacto como subespacio (en la topología del subespacio ). Es decir, K es compacto si para cada colección arbitraria C de subconjuntos abiertos de X tal que
- ,
there is a finite subset F of C such that
- .
Compactness is a "topological" property. That is, if , with subset Z equipped with the subspace topology, then K is compact in Z if and only if K is compact in Y.
Equivalent definitions
If X is a topological space then the following are equivalent:
- X is compact.
- Every open cover of X has a finite subcover.
- X has a sub-base such that every cover of the space, by members of the sub-base, has a finite subcover (Alexander's sub-base theorem)
- X is Lindelöf and countably compact[9]
- Any collection of closed subsets of X with the finite intersection property has nonempty intersection.
- Every net on X has a convergent subnet (see the article on nets for a proof).
- Every filter on X has a convergent refinement.
- Every net on X has a cluster point.
- Every filter on X has a cluster point.
- Every ultrafilter on X converges to at least one point.
- Every infinite subset of X has a complete accumulation point.[10]
Euclidean space
For any subset A of Euclidean space, A is compact if and only if it is closed and bounded; this is the Heine–Borel theorem.
As a Euclidean space is a metric space, the conditions in the next subsection also apply to all of its subsets. Of all of the equivalent conditions, it is in practice easiest to verify that a subset is closed and bounded, for example, for a closed interval or closed n-ball.
Metric spaces
For any metric space (X, d), the following are equivalent (assuming countable choice):
- (X, d) is compact.
- (X, d) is complete and totally bounded (this is also equivalent to compactness for uniform spaces).[11]
- (X, d) is sequentially compact; that is, every sequence in X has a convergent subsequence whose limit is in X (this is also equivalent to compactness for first-countable uniform spaces).
- (X, d) is limit point compact (also called countably compact); that is, every infinite subset of X has at least one limit point in X.
- (X, d) is an image of a continuous function from the Cantor set.[12]
A compact metric space (X, d) also satisfies the following properties:
- Lebesgue's number lemma: For every open cover of X, there exists a number δ > 0 such that every subset of X of diameter < δ is contained in some member of the cover.
- (X, d) is second-countable, separable and Lindelöf – these three conditions are equivalent for metric spaces. The converse is not true; e.g., a countable discrete space satisfies these three conditions, but is not compact.
- X is closed and bounded (as a subset of any metric space whose restricted metric is d). The converse may fail for a non-Euclidean space; e.g. the real line equipped with the discrete metric is closed and bounded but not compact, as the collection of all singletons of the space is an open cover which admits no finite subcover. It is complete but not totally bounded.
Characterization by continuous functions
Let X be a topological space and C(X) the ring of real continuous functions on X. For each p ∈ X, the evaluation map given by evp(f)=f(p) is a ring homomorphism. The kernel of evp is a maximal ideal, since the residue field C(X)/ker evp is the field of real numbers, by the first isomorphism theorem. A topological space X is pseudocompact if and only if every maximal ideal in C(X) has residue field the real numbers. For completely regular spaces, this is equivalent to every maximal ideal being the kernel of an evaluation homomorphism.[13] There are pseudocompact spaces that are not compact, though.
In general, for non-pseudocompact spaces there are always maximal ideals m in C(X) such that the residue field C(X)/m is a (non-Archimedean) hyperreal field. The framework of non-standard analysis allows for the following alternative characterization of compactness:[14] a topological space X is compact if and only if every point x of the natural extension *X is infinitely close to a point x0 of X (more precisely, x is contained in the monad of x0).
Hyperreal definition
A space X is compact if its hyperreal extension *X (constructed, for example, by the ultrapower construction) has the property that every point of *X is infinitely close to some point of X⊂*X. For example, an open real interval X = (0, 1) is not compact because its hyperreal extension *(0,1) contains infinitesimals, which are infinitely close to 0, which is not a point of X.
Condiciones suficientes
- A closed subset of a compact space is compact.[15]
- A finite union of compact sets is compact.
- A continuous image of a compact space is compact.[16]
- The intersection of any collection of compact subsets of a Hausdorff space is compact (and closed);
- If X is not Hausdorff then the intersection of two compact subsets may fail to be compact (see footnote for example).[note 1]
- The product of any collection of compact spaces is compact. (This is Tychonoff's theorem, which is equivalent to the axiom of choice.)
- In a metrizable space, a subset is compact if and only if it is sequentially compact (assuming countable choice)
- A finite set endowed with any topology is compact.
Propiedades de los espacios compactos
- A compact subset of a Hausdorff space X is closed.
- If X is not Hausdorff then a compact subset of X may fail to be a closed subset of X (see footnote for example).[note 2]
- If X is not Hausdorff then the closure of a compact set may fail to be compact (see footnote for example).[note 3]
- In any topological vector space (TVS), a compact subset is complete. However, every non-Hausdorff TVS contains compact (and thus complete) subsets that are not closed.
- If A and B are disjoint compact subsets of a Hausdorff space X, then there exist disjoint open set U and V in X such that A ⊆ U and B ⊆ V.
- A continuous bijection from a compact space into a Hausdorff space is a homeomorphism.
- A compact Hausdorff space is normal and regular.
- If a space X is compact and Hausdorff, then no finer topology on X is compact and no coarser topology on X is Hausdorff.
- If a subset of a metric space (X, d) is compact then it is d-bounded.
Functions and compact spaces
Since a continuous image of a compact space is compact, the extreme value theorem: a continuous real-valued function on a nonempty compact space is bounded above and attains its supremum.[17] (Slightly more generally, this is true for an upper semicontinuous function.) As a sort of converse to the above statements, the pre-image of a compact space under a proper map is compact.
Compactifications
Every topological space X is an open dense subspace of a compact space having at most one point more than X, by the Alexandroff one-point compactification. By the same construction, every locally compact Hausdorff space X is an open dense subspace of a compact Hausdorff space having at most one point more than X.
Ordered compact spaces
A nonempty compact subset of the real numbers has a greatest element and a least element.
Let X be a simply ordered set endowed with the order topology. Then X is compact if and only if X is a complete lattice (i.e. all subsets have suprema and infima).[18]
Ejemplos de
- Any finite topological space, including the empty set, is compact. More generally, any space with a finite topology (only finitely many open sets) is compact; this includes in particular the trivial topology.
- Any space carrying the cofinite topology is compact.
- Any locally compact Hausdorff space can be turned into a compact space by adding a single point to it, by means of Alexandroff one-point compactification. The one-point compactification of ℝ is homeomorphic to the circle S1; the one-point compactification of ℝ2 is homeomorphic to the sphere S2. Using the one-point compactification, one can also easily construct compact spaces which are not Hausdorff, by starting with a non-Hausdorff space.
- The right order topology or left order topology on any bounded totally ordered set is compact. In particular, Sierpiński space is compact.
- No discrete space with an infinite number of points is compact. The collection of all singletons of the space is an open cover which admits no finite subcover. Finite discrete spaces are compact.
- In ℝ carrying the lower limit topology, no uncountable set is compact.
- In the cocountable topology on an uncountable set, no infinite set is compact. Like the previous example, the space as a whole is not locally compact but is still Lindelöf.
- The closed unit interval [0,1] is compact. This follows from the Heine–Borel theorem. The open interval (0,1) is not compact: the open cover for n = 3, 4, … does not have a finite subcover. Similarly, the set of rational numbers in the closed interval [0,1] is not compact: the sets of rational numbers in the intervals cover all the rationals in [0, 1] for n = 4, 5, ... but this cover does not have a finite subcover. Here, the sets are open in the subspace topology even though they are not open as subsets of ℝ.
- The set ℝ of all real numbers is not compact as there is a cover of open intervals that does not have a finite subcover. For example, intervals (n−1, n+1) , where n takes all integer values in Z, cover ℝ but there is no finite subcover.
- On the other hand, the extended real number line carrying the analogous topology is compact; note that the cover described above would never reach the points at infinity. In fact, the set has the homeomorphism to [-1,1] of mapping each infinity to its corresponding unit and every real number to its sign multiplied by the unique number in the positive part of interval that results in its absolute value when divided by one minus itself, and since homeomorphisms preserve covers, the Heine-Borel property can be inferred.
- For every natural number n, the n-sphere is compact. Again from the Heine–Borel theorem, the closed unit ball of any finite-dimensional normed vector space is compact. This is not true for infinite dimensions; in fact, a normed vector space is finite-dimensional if and only if its closed unit ball is compact.
- On the other hand, the closed unit ball of the dual of a normed space is compact for the weak-* topology. (Alaoglu's theorem)
- The Cantor set is compact. In fact, every compact metric space is a continuous image of the Cantor set.
- Consider the set K of all functions f : ℝ → [0,1] from the real number line to the closed unit interval, and define a topology on K so that a sequence in K converges towards f ∈ K if and only if converges towards f(x) for all real numbers x. There is only one such topology; it is called the topology of pointwise convergence or the product topology. Then K is a compact topological space; this follows from the Tychonoff theorem.
- Consider the set K of all functions f : [0,1] → [0,1] satisfying the Lipschitz condition |f(x) − f(y)| ≤ |x − y| for all x, y ∈ [0,1]. Consider on K the metric induced by the uniform distance Then by Arzelà–Ascoli theorem the space K is compact.
- The spectrum of any bounded linear operator on a Banach space is a nonempty compact subset of the complex numbers ℂ. Conversely, any compact subset of ℂ arises in this manner, as the spectrum of some bounded linear operator. For instance, a diagonal operator on the Hilbert space ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} may have any compact nonempty subset of ℂ as spectrum.
Algebraic examples
- Compact groups such as an orthogonal group are compact, while groups such as a general linear group are not.
- Since the p-adic integers are homeomorphic to the Cantor set, they form a compact set.
- The spectrum of any commutative ring with the Zariski topology (that is, the set of all prime ideals) is compact, but never Hausdorff (except in trivial cases). In algebraic geometry, such topological spaces are examples of quasi-compact schemes, "quasi" referring to the non-Hausdorff nature of the topology.
- The spectrum of a Boolean algebra is compact, a fact which is part of the Stone representation theorem. Stone spaces, compact totally disconnected Hausdorff spaces, form the abstract framework in which these spectra are studied. Such spaces are also useful in the study of profinite groups.
- The structure space of a commutative unital Banach algebra is a compact Hausdorff space.
- The Hilbert cube is compact, again a consequence of Tychonoff's theorem.
- A profinite group (e.g. Galois group) is compact.
Ver también
- Compactly generated space
- Compactness theorem
- Eberlein compactum
- Exhaustion by compact sets
- Lindelöf space
- Metacompact space
- Noetherian topological space
- Orthocompact space
- Paracompact space
- Precompact set - also called totally bounded
- Relatively compact subspace
- Totally bounded
Notas
- ^ Let X = { a, b } ∪ ℕ, U = { a } ∪ ℕ, and V = { b } ∪ ℕ. Endow X with the topology generated by the following basic open sets: every subset of ℕ is open; the only open sets containing a are X and U; and the only open sets containing b are X and V. Then U and V are both compact subsets but their intersection, which is ℕ, is not compact. Note that both U and V are compact open subsets, neither one of which is closed.
- ^ Let X = { a, b} and endow X with the topology { X, ∅, { a }}. Then { a } is a compact set but it is not closed.
- ^ Let X be the set of non-negative integers. We endow X with the particular point topology by defining a subset U ⊆ X to be open if and only if 0 ∈ U. Then S := { 0 } is compact, the closure of S is all of X, but X is not compact since the collection of open subsets { { 0, x } : x ∈ X } does not have a finite subcover.
Referencias
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- ^ Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990, Theorem 5.2.2; See also Compactness is preserved under a continuous map at PlanetMath.
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Bibliografía
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enlaces externos
- Countably compact at PlanetMath.
- Sundström, Manya Raman (2010). "A pedagogical history of compactness". arXiv:1006.4131v1 [math.HO].
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