En matemáticas , varios teoremas de punto fijo en espacios de dimensión infinita generalizan el teorema de punto fijo de Brouwer . Tienen aplicaciones, por ejemplo, a los teoremas de prueba de existencia para ecuaciones diferenciales parciales .
El primer resultado en el campo fue el teorema de punto fijo de Schauder , probado en 1930 por Juliusz Schauder (un resultado anterior en una línea diferente, el teorema de punto fijo de Banach para mapeos de contracción en espacios métricos completos se demostró en 1922). Siguieron una serie de resultados adicionales. Una forma en que los teoremas de punto fijo de este tipo han tenido una mayor influencia en las matemáticas en su conjunto ha sido que un enfoque consiste en tratar de trasladar los métodos de topología algebraica , demostrados primero para complejos simpliciales finitos , a espacios de dimensión infinita. Por ejemplo, la investigación de Jean Leray, quien fundó la teoría de la gavilla surgió de los esfuerzos por ampliar el trabajo de Schauder.
Schauder de punto fijo teorema : Let C sea un no vacío cerrado convexa subconjunto de un espacio de Banach V . Si f : C → C es continua con unaimagen compacta , entonces f tiene un punto fijo.
Teorema del punto fijo de Tikhonov (Tychonoff): Sea V un espacio vectorial topológico localmente convexo . Para cualquier conjunto convexo compacto no vacío X en V , cualquier función continua f : X → X tiene un punto fijo.
Teorema del punto fijo de Browder: Sea K un conjunto convexo cerrado acotado no vacío en un espacio de Banach uniformemente convexo . Entonces, cualquier función no expansiva f : K → K tiene un punto fijo. (Una función se llama no expansivo si para cada y .)
Otros resultados incluyen el teorema de punto fijo de Markov-Kakutani (1936-1938) y el teorema de punto fijo de Ryll-Nardzewski (1967) para automapeos afines continuos de conjuntos convexos compactos, así como el teorema de punto fijo de Earle-Hamilton (1968) para automapeos holomórficos de dominios abiertos.
Teorema de punto fijo de Kakutani : toda correspondencia que mapea un subconjunto convexo compacto de un espacio convexo local en sí mismo con un gráfico cerrado e imágenes convexas no vacías tiene un punto fijo.
Ver también
Referencias
- Vasile I. Istratescu, Teoría del punto fijo, Introducción , D. Reidel, Holanda (1981). ISBN 90-277-1224-7 .
- Andrzej Granas y James Dugundji , Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-00173-5 .
- William A. Kirk y Brailey Sims, Manual de teoría del punto fijo métrico (2001), Kluwer Academic, Londres ISBN 0-7923-7073-2 .