En matemáticas , los espacios uniformemente convexos (o espacios uniformemente redondeados ) son ejemplos comunes de espacios reflexivos de Banach . El concepto de convexidad uniforme fue introducido por primera vez por James A. Clarkson en 1936.
Definición
Un espacio uniformemente convexo es un espacio vectorial normalizado tal que, para cada hay algunos tal que para dos vectores cualesquiera con y la condición
implica que:
Intuitivamente, el centro de un segmento de línea dentro de la bola unitaria debe estar profundamente dentro de la bola unitaria a menos que el segmento sea corto.
Propiedades
- La esfera unitaria se puede reemplazar con la esfera unitaria cerrada en la definición. Es decir, un espacio vectorial normado es uniformemente convexa si y solo si para cada hay algunos de modo que, para dos vectores cualesquiera y en la bola de la unidad cerrada (es decir y ) con , uno tiene (tenga en cuenta que, dado , el valor correspondiente de podría ser más pequeño que el proporcionado por la definición original más débil).
Prueba |
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La parte del "si" es trivial. Por el contrario, suponga ahora que es uniformemente convexo y que son como en la declaración, para algunos fijos . Dejar ser el valor de correspondiente a en la definición de convexidad uniforme. Te mostraremos que, con . Si luego y se prueba la afirmación. Un argumento similar se aplica al caso, entonces podemos asumir que . En este caso, desde, ambos vectores son distintos de cero, por lo que podemos dejar y . Tenemos y de manera similar , entonces y pertenecen a la esfera unitaria y tienen distancia . Por lo tanto, por nuestra elección de, tenemos . Resulta que y se prueba la afirmación. |
- El teorema de Milman-Pettis establece que todo espacio de Banach uniformemente convexo es reflexivo , mientras que lo contrario no es cierto.
- Todo espacio de Banach uniformemente convexo es un espacio de Radon-Riesz, es decir, si es una secuencia en un espacio de Banach uniformemente convexo que converge débilmente a y satisface luego converge fuertemente a , es decir, .
- Un espacio de Banach es uniformemente convexa si y solo si su doble es uniformemente suave .
- Todo espacio uniformemente convexo es estrictamente convexo . Intuitivamente, la convexidad estricta significa una desigualdad triangular más fuerte cuando sea son linealmente independientes, mientras que la convexidad uniforme requiere que esta desigualdad sea verdadera de manera uniforme.
Ejemplos de
- Cada espacio de Hilbert es uniformemente convexo.
- Cada subespacio cerrado de un espacio de Banach uniformemente convexo es uniformemente convexo.
- Las desigualdades de Hanner implican que L p espacios son uniformemente convexas.
- En cambio, no es uniformemente convexo.
Ver también
Referencias
- Clarkson, JA (1936). "Espacios uniformemente convexos" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . Sociedad Matemática Estadounidense. 40 (3): 396–414. doi : 10.2307 / 1989630 . JSTOR 1989630 ..
- Hanner, O. (1956). "Sobre la convexidad uniforme de y " . Ark. Mat . 3 : 239–244. Doi : 10.1007 / BF02589410 ..
- Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introducción a los espacios de Banach y su geometría (Segunda edición revisada). Holanda Septentrional. ISBN 0-444-86416-4.
- Por Enflo (1972). "Espacios de Banach a los que se les puede dar una norma equivalente uniformemente convexa". Revista de Matemáticas de Israel . 13 (3–4): 281–288. doi : 10.1007 / BF02762802 .
- Lindenstrauss, Joram y Benyamini, Yoav. Publicaciones del Coloquio de análisis funcional geométrico no lineal , 48. American Mathematical Society.