Teorema del punto fijo de Schauder

El teorema del punto fijo de Schauder es una extensión del teorema del punto fijo de Brouwer a los espacios vectoriales topológicos , que pueden ser de dimensión infinita. Afirma que si${\displaystyle K}$es un subconjunto cerrado convexo no vacío de un espacio vectorial topológico de Hausdorff${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle T}$ es un mapeo continuo de ${\displaystyle K}$ en sí mismo de tal manera que ${\displaystyle T(K)}$está contenido en un subconjunto compacto de${\displaystyle K}$, luego ${\displaystyle T}$tiene un punto fijo .

Una consecuencia, llamada teorema del punto fijo de Schaefer , es particularmente útil para demostrar la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales no lineales . El teorema de Schaefer es de hecho un caso especial del teorema de Leray-Schauder de gran alcance que fue probado anteriormente por Juliusz Schauder y Jean Leray . La declaración es la siguiente:

Dejar ${\displaystyle T}$ ser un mapeo continuo y compacto de un espacio de Banach ${\displaystyle X}$ en sí mismo, de modo que el conjunto

${\displaystyle \{x\in X:x=\lambda Tx{\mbox{ for some }}0\leq \lambda \leq 1\}}$

está ligado. Luego${\displaystyle T}$ tiene un punto fijo.

Historia

El teorema fue conjeturado y probado para casos especiales, como los espacios de Banach, por Juliusz Schauder en 1930. Su conjetura para el caso general fue publicada en el libro escocés . En 1934, Tychonoff demostró el teorema para el caso en que K es un subconjunto convexo compacto de un espacio convexo local . Esta versión se conoce como el teorema de punto fijo de Schauder-Tychonoff . BV Singbal demostró el teorema para el caso más general donde K puede ser no compacto; la prueba se puede encontrar en el apéndice del libro de Bonsall (ver referencias).

Ver también

• Teoremas del punto fijo
• Teorema del punto fijo de Banach
• Teorema del punto fijo de Kakutani

Referencias

• J. Schauder, Der Fixpunktsatz en Funktionalräumen , Studia Math. 2 (1930), 171–180
• A. Tychonoff, Ein Fixpunktsatz , Mathematische Annalen 111 (1935), 767–776
• FF Bonsall, Conferencias sobre algunos teoremas de análisis funcional del punto fijo , Bombay 1962
• D. Gilbarg, N. Trudinger , Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . ISBN  3-540-41160-7 .
• E. Zeidler, Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones, I - Teoremas de punto fijo

Enlaces externos

• "Teorema de Schauder" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Teorema del punto fijo de Schauder" . PlanetMath . con prueba adjunta (para el caso del espacio Banach).