Parte fraccional

Exceso de un número real no negativo más allá de su parte entera

La parte fraccionaria o parte decimal ^[1] de un número real no negativo es el exceso más allá de la parte entera de ese número . Si este último se define como el número entero más grande no mayor de x , llamado suelo de x o , su parte fraccionaria se puede escribir como:${\displaystyle x}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor ,\;x>0}$.

Para un número positivo escrito en un sistema de numeración posicional convencional (como binario o decimal ), su parte fraccionaria corresponde a los dígitos que aparecen después del punto de base . El resultado es un número real en el intervalo semiabierto [0, 1).

Para números negativos

Sin embargo, en el caso de números negativos, hay varias formas conflictivas de extenderles la función de la parte fraccionaria: o se define de la misma manera que para los números positivos, es decir, por ( Graham, Knuth & Patashnik 1992 ), ^[2] o como la parte del número a la derecha del punto de base ( Daintith 2004 ), ^[3] o por la función impar : ^[4]${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=|x|-\lfloor |x|\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}}$

siendo el número entero más pequeño no menor que x , también llamado techo de x . En consecuencia, podemos obtener, por ejemplo, tres valores diferentes para la parte fraccionaria de una sola x : sea −1,3, su parte fraccionaria será 0,7 según la primera definición, 0,3 según la segunda definición y −0,3 según la tercera definición, cuyo resultado también puede obtenerse de forma sencilla mediante${\displaystyle \lceil x\rceil }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$.

Las definiciones de y "función impar" permiten una descomposición única de cualquier número real x a la suma de sus partes enteras y fraccionarias, donde "parte entera" se refiere a o respectivamente. Estas dos definiciones de función de parte fraccionaria también proporcionan idempotencia .${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$

La parte fraccionaria definida a través de la diferencia de ⌊ ⌋ generalmente se denota con llaves :

${\displaystyle \{x\}:=x-\lfloor x\rfloor .}$

Su rango es el intervalo semiabierto [0, 1) . Para números opuestos, las partes fraccionarias complementan como sigue:

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Relación con las fracciones continuas

Cada número real se puede representar esencialmente de forma única como una fracción continua , es decir, como la suma de su parte entera y el recíproco de su parte fraccionaria que se escribe como la suma de su parte entera y el recíproco de su parte fraccionaria, y así sucesivamente.

Ver también

• Secuencia equidistribuida
• Grupo de un parámetro
• Número de Pisot – Vijayaraghavan
• Significativo
• Grupo cociente

Referencias

1. "Parte decimal" . OxfordDictionaries.com . Consultado el 15 de febrero de 2018 .
2. Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Patashnik, Oren (1992), Matemáticas concretas: una base para la informática , Addison-Wesley, p. 70, ISBN 0-201-14236-8
3. Daintith, John (2004), Diccionario de informática , Oxford University Press
4. Weisstein, Eric W. "Parte fraccionaria". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram