Teorema de Frobenius (topología diferencial)

Sobre la búsqueda de un conjunto máximo de soluciones de un sistema de PDE lineales homogéneas de primer orden

En matemáticas , el teorema de Frobenius da las condiciones necesarias y suficientes para encontrar un conjunto máximo de soluciones independientes de un sistema indeterminado de ecuaciones diferenciales parciales lineales homogéneas de primer orden . En términos geométricos modernos , dada una familia de campos vectoriales , el teorema da las condiciones de integrabilidad necesarias y suficientes para la existencia de una foliación por variedades integrales máximas cuyos haces tangentes se extienden por los campos vectoriales dados. El teorema generaliza el teorema de existencia.para ecuaciones diferenciales ordinarias, lo que garantiza que un solo campo vectorial siempre da lugar a curvas integrales ; Frobenius proporciona condiciones de compatibilidad bajo las cuales las curvas integrales de r campos vectoriales se entrelazan en cuadrículas de coordenadas en variedades integrales r- dimensionales. El teorema es fundamental en topología diferencial y cálculo de variedades .

Introducción

En su forma más elemental, el teorema aborda el problema de encontrar un conjunto máximo de soluciones independientes de un sistema regular de ecuaciones diferenciales parciales homogéneas lineales de primer orden . Dejar

${\displaystyle \left\{f_{k}^{i}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} \ :\ 1\leq i\leq n,1\leq k\leq r\right\}}$

ser una colección de funciones C ¹ , con r < n , y tal que la matriz (  f^yo
_k ) tiene rango r . Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales parciales para una función C ² u  : R ⁿ → R :

${\displaystyle (1)\quad {\begin{cases}L_{1}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{1}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0\\L_{2}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{2}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0\\\qquad \cdots \\L_{r}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{r}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0\end{cases}}}$

Se buscan condiciones sobre la existencia de una colección de soluciones u ₁ , ..., u _{n - r} tales que los gradientes ∇ u ₁ , ..., ∇ u _{n - r} sean linealmente independientes .

El teorema de Frobenius afirma que este problema admite una solución localmente ^[1] si, y solo si, los operadores L _k satisfacen una cierta condición de integrabilidad conocida como involutividad . Específicamente, deben satisfacer relaciones de la forma

${\displaystyle L_{i}L_{j}u(x)-L_{j}L_{i}u(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}(x)L_{k}u(x)}$

para 1 ≤ i , j ≤ r , y todas las funciones C ² u , y para algunos coeficientes c ^k _ij ( x ) que pueden depender de x . En otras palabras, los conmutadores [ L _i , L _j ] deben estar en el tramo lineal de L _k en cada punto. La condición de involutividad es una generalización de la conmutatividad de las derivadas parciales. De hecho, la estrategia de demostración del teorema de Frobenius es formar combinaciones lineales entre los operadoresL _i para que los operadores resultantes conmuten, y luego para mostrar que existe un sistema de coordenadas y _i para el cual estas son precisamente las derivadas parciales con respecto ay ₁ , ..., y _r .

Del análisis a la geometría

Las soluciones para sistemas de ecuaciones indeterminados rara vez son únicas. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones diferenciales

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0\\{\frac {\partial f}{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}=0\end{cases}}}$

permite claramente múltiples soluciones. Sin embargo, estas soluciones todavía tienen suficiente estructura como para que puedan describirse completamente. La primera observación es que, incluso si f ₁ y f ₂ son dos soluciones diferentes, las superficies de nivel de f ₁ y f ₂ deben superponerse. De hecho, las superficies de nivel para este sistema son todos planos en R ³ de la forma x - y + z = C , para Cuna constante. La segunda observación es que, una vez que se conocen las superficies de nivel, todas las soluciones se pueden dar en términos de una función arbitraria. Dado que el valor de una solución f en una superficie plana es constante por definición, defina una función C ( t ) por:

${\displaystyle f(x,y,z)=C(t){\text{ whenever }}x-y+z=t.}$

Por el contrario, si se da una función C ( t ) , entonces cada función f dada por esta expresión es una solución de la ecuación original. Por tanto, debido a la existencia de una familia de superficies de nivel, las soluciones de la ecuación original están en correspondencia biunívoca con funciones arbitrarias de una variable.

El teorema de Frobenius permite establecer una correspondencia similar para el caso más general de soluciones de (1). Suponga que u ₁ , ..., u _{n − r} son soluciones del problema (1) que satisfacen la condición de independencia en los gradientes. Considere los conjuntos de niveles ^[2] de ( u ₁ , ..., u _{n − r} ) como funciones con valores en R ^{n − r} . Si v ₁ , ..., v _{n − r} es otra colección de soluciones, se puede mostrar (usando algo de álgebra lineal y el teorema del valor medio) que tiene la misma familia de conjuntos de niveles pero con una elección posiblemente diferente de constantes para cada conjunto. Por lo tanto, aunque las soluciones independientes de (1) no son únicas, la ecuación (1) determina una familia única de conjuntos de niveles. Al igual que en el caso del ejemplo, las soluciones generales u de (1) están en correspondencia biunívoca con funciones (continuamente diferenciables) de la familia de conjuntos de niveles. ^[3]

Los conjuntos de niveles correspondientes a los conjuntos de soluciones independientes máximas de (1) se denominan variedades integrales porque las funciones sobre la colección de todas las variedades integrales corresponden en algún sentido a constantes de integración . Una vez que se conoce una de estas constantes de integración, también se conoce la solución correspondiente.

Teorema de Frobenius en lenguaje moderno

El teorema de Frobenius se puede reformular de manera más económica en el lenguaje moderno. La versión original del teorema de Frobenius se expresó en términos de sistemas de Pfaffian , que hoy pueden traducirse al lenguaje de las formas diferenciales . Una formulación alternativa, algo más intuitiva, utiliza campos vectoriales .

Formulación usando campos vectoriales

En la formulación del campo vectorial, el teorema establece que un subconjunto del haz tangente de una variedad es integrable (o involutivo) si y solo si surge de una foliación regular . En este contexto, el teorema de Frobenius relaciona la integrabilidad con la foliación; para enunciar el teorema, ambos conceptos deben estar claramente definidos.

Uno comienza observando que un campo vectorial arbitrario suave en una variedad define una familia de curvas , sus curvas integrales (para intervalos ). Éstas son las soluciones de , que es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden , cuya solubilidad está garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf . Si el campo vectorial no es cero en ninguna parte, define un subconjunto unidimensional del haz tangente de , y las curvas integrales forman una foliación regular de . Por tanto, los subconjuntos unidimensionales siempre son integrables.${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u:I\to M}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\dot {u}}(t)=X_{u(t)}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Si el subconjunto tiene una dimensión mayor que uno, se debe imponer una condición. Se dice que un subpaquete del paquete tangente es integrable (o involutivo ), si, para dos campos vectoriales cualesquiera y tomando valores , el corchete de Lie también toma valores . Esta noción de integrabilidad solo necesita definirse localmente; es decir, la existencia de los campos de vectores y y sólo su necesidad integrabilidad ser definido en subconjuntos de .${\displaystyle E\subset TM}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M}$

Existen varias definiciones de foliación . Aquí usamos lo siguiente:

Definición. Una foliación p -dimensional, clase C ^r de una variedad n- dimensional M es una descomposición de M en una unión de subvariedades conectadas disjuntas { L _α } _{α∈ A} , llamadas hojas de la foliación, con la siguiente propiedad: Cada punto en M tiene una vecindad U y un sistema de coordenadas locales de clase C ^r x = ( x ¹ , ⋅⋅⋅, x ⁿ ): U →R ⁿ tal que para cada hoja L _α , los componentes de U ∩ L _α se describen mediante las ecuaciones x ^{p +1} = constante, ⋅⋅⋅, x ⁿ = constante. A foliación se denota por = { L _alpha } _{α∈ A} . ^[4]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Trivialmente, cualquier foliación de define un subconjunto integrable, ya que si y es la hoja de la foliación que la atraviesa, entonces es integrable. El teorema de Frobenius establece que lo contrario también es cierto:${\displaystyle M}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E_{p}=T_{p}N}$

Dadas las definiciones anteriores, el teorema de Frobenius establece que un subconjunto es integrable si y solo si el subconjunto surge de una foliación regular de .${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$

Formulación de formas diferenciales

Sea U un conjunto abierto en una variedad M , Ω ¹ ( U ) sea ​​el espacio de formas 1 suaves y diferenciables en U , y F sea ​​un submódulo de Ω ¹ ( U ) de rango r , siendo el rango constante en valor más de U . El teorema de Frobenius establece que F es integrable si y solo si para cada p en U el tallo F _p es generado por r formas diferenciales exactas .

Geométricamente, el teorema establece que un módulo integrable de 1- formas de rango r es lo mismo que una foliación codimensión-r . La correspondencia con la definición en términos de campos vectoriales dada en la introducción se deriva de la estrecha relación entre las formas diferenciales y las derivadas de Lie . El teorema de Frobenius es una de las herramientas básicas para el estudio de campos vectoriales y foliaciones.

Por tanto, hay dos formas del teorema: una que opera con distribuciones , es decir, subconjuntos suaves D del haz tangente TM ; y el otro que funciona con subhaces del anillo graduado Ω ( M ) de todas las formas en M . Estas dos formas están relacionadas por dualidad. Si D es una distribución tangente suave en M , entonces el aniquilador de D , I ( D ) consta de todas las formas (para cualquiera ) tales que${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$${\displaystyle k\in \{1,\dots ,\operatorname {dim} M\}}$

${\displaystyle \alpha (v_{1},\dots ,v_{k})=0}$

para todos . El conjunto I ( D ) forma un subanillo y, de hecho, un ideal en Ω ( M ) . Además, usando la definición de la derivada exterior , se puede demostrar que I ( D ) es cerrado bajo diferenciación exterior (es un ideal diferencial ) si y solo si D es involutivo. En consecuencia, el teorema de Frobenius toma la forma equivalente de que I ( D ) es cerrado bajo diferenciación exterior si y solo si D es integrable.${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}\in D}$

Generalizaciones

El teorema se puede generalizar de diversas formas.

Dimensiones infinitas

Una generalización de dimensión infinita es la siguiente. ^[5] Let X y Y ser espacios de Banach , y A ⊂ X , B ⊂ Y un par de conjuntos abiertos . Dejar

${\displaystyle F:A\times B\to L(X,Y)}$

ser una función continuamente diferenciable del producto cartesiano (que hereda una estructura diferenciable de su inclusión en X × Y ) en el espacio L ( X , Y ) de las transformaciones lineales continuas de X en Y . Un mapeo diferenciable u  : A → B es una solución de la ecuación diferencial

${\displaystyle (1)\quad y'=F(x,y)}$

Si

${\displaystyle \forall x\in A:\quad u'(x)=F(x,u(x)).}$

La ecuación (1) es completamente integrable si para cada uno , hay una vecindad U de x ₀ tal que (1) tiene una solución única u ( x ) definida en U tal que u ( x ₀ ) = y ₀ .${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in A\times B}$

Las condiciones de la Frobenius teorema dependen de si el subyacente campo es R o C . Si es R , entonces suponga que F es continuamente diferenciable. Si es C , entonces suponga que F es dos veces diferenciable de forma continua. Entonces (1) es completamente integrable en cada punto de A × B si y solo si

${\displaystyle D_{1}F(x,y)\cdot (s_{1},s_{2})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{1},s_{2})=D_{1}F(x,y)\cdot (s_{2},s_{1})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{2},s_{1})}$

para todos s ₁ , s ₂ ∈ X . Aquí D ₁ (resp. D ₂ ) denota la derivada parcial con respecto a la primera (resp. Segunda) variable; el producto escalar denota la acción del operador lineal F ( x , y ) ∈ L ( X , Y ) , así como las acciones de los operadores D ₁ F ( x , y ) ∈ L ( X , L ( X , Y)) y D ₂ F ( x , y ) ∈ L ( Y , L ( X , Y )) .

Colectores Banach

La versión de dimensión infinita del teorema de Frobenius también se aplica a las variedades de Banach . ^[6] La declaración es esencialmente la misma que la versión de dimensión finita.

Sea M una variedad de Banach de clase al menos C ² . Deje que E sea un subfibrado del paquete de la tangente de M . El paquete E es involutivo si, para cada punto p ∈ M y par de secciones X e Y de E definidas en una vecindad de p , el soporte de Lie de X e Y evaluado en p , se encuentra en E _p :

${\displaystyle [X,Y]_{p}\in E_{p}}$

Por otro lado, E es integrable si, para cada p ∈ M , hay una Inmerso subvariedad φ  : N → M cuya imagen contiene p , tal que el diferencial de φ es un isomorfismo de TN con φ ^-1 E .

El teorema de Frobenius establece que un subconjunto E es integrable si y solo si es involutivo.

Formas holomorfas

El enunciado del teorema sigue siendo válido para las formas 1 holomórficas en variedades complejas : variedades sobre C con funciones de transición biholomórficas . ^[7]

Específicamente, si son r formas 1 holomórficas linealmente independientes en un conjunto abierto en C ⁿ tales que${\displaystyle \omega ^{1},\dots ,\omega ^{r}}$

${\displaystyle d\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}\psi _{i}^{j}\wedge \omega ^{i}}$

para algún sistema de 1-formas holomórficas ψ^j
_yo, 1 ≤ i , j ≤ r , entonces existen funciones holomorfas f _i ^j y g ⁱ tales que, en un dominio posiblemente más pequeño,

${\displaystyle \omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}f_{i}^{j}dg^{i}.}$

Este resultado se mantiene localmente en el mismo sentido que las otras versiones del teorema de Frobenius. En particular, el hecho de que se haya indicado para dominios en C ⁿ no es restrictivo.

Formularios de grado superior

La declaración no generalizar a formas de grado superior, aunque hay una serie de resultados parciales, como el teorema de Darboux y el teorema de Cartan-Kähler .

Historia

A pesar de ser nombrado por Ferdinand Georg Frobenius , el teorema fue probado por primera vez por Alfred Clebsch y Feodor Deahna . Deahna fue el primero en establecer las condiciones suficientes para el teorema y Clebsch desarrolló las condiciones necesarias . Frobenius es responsable de aplicar el teorema a los sistemas de Pfaffian , allanando así el camino para su uso en topología diferencial.

Aplicaciones

• En la mecánica clásica , la integrabilidad de ecuaciones de restricción de un sistema determina si el sistema es holonómico o no holonómica .

Ver también

• Condiciones de integrabilidad para sistemas diferenciales
• Teorema de enderezamiento de dominio
• Teorema de Newlander-Nirenberg

Notas

1. Aquí localmente significa dentro de subconjuntos abiertos suficientemente pequeños de R ⁿ . En adelante, cuando hablamos de solución, nos referimos a una solución local.
2. Un conjunto de niveles es un subconjunto de R ⁿ correspondiente al lugar geométrico de:

   ( u ₁ , ..., u _{norte - r} ) = ( do ₁ , ..., do _{norte - r} ) ,

   para algunas constantes c _i .
3. La noción de una función continuamente diferenciable en una familia de conjuntos de niveles puede hacerse rigurosa mediante el teorema de la función implícita .
4. Lawson, H. Blaine (1974), "Foliations", Boletín de la American Mathematical Society , 80 (3): 369–418, ISSN  0040-9383
5. Dieudonné, J (1969). Fundamentos del análisis moderno . Prensa académica. Capítulo 10.9.
6. Lang, S. (1995). Variedades diferenciales y de Riemann . Springer-Verlag. Capítulo VI: El teorema de Frobenius. ISBN 978-0-387-94338-1.
7. Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 2 . Wiley Interscience . Apéndice 8.

Referencias

• HB Lawson , The Qualitative Theory of Foliations , (1977) American Mathematical Society CBMS Series volumen 27 , AMS, Providence RI.
• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de la mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN 0-8053-0102-X Véase el teorema 2.2.26 . 
• Clebsch, A. "Ueber die simultane Integration linearer partieller Differentialgleichungen", J. Reine. Angew. Matemáticas. (Crelle) 65 (1866) 257-268.
• Deahna, F. "Über die Bedingungen der Integrabilitat ....", J. Reine Angew. Matemáticas. 20 (1840) 340-350.
• Frobenius, G. "Problema Über das Pfaffsche", J. für Reine und Agnew. Matemáticas. , 82 (1877) 230-315.