En las matemáticas , en particular en la teoría de números , Hillel Furstenberg 's prueba de la infinitud de los números primos es un topológica prueba de que los números enteros contienen infinitamente muchos números primos . Cuando se examina de cerca, la demostración es menos un enunciado sobre topología que un enunciado sobre ciertas propiedades de las secuencias aritméticas . [1] A diferencia de la prueba clásica de Euclides, la prueba de Furstenberg es una prueba por contradicción . La prueba fue publicada en 1955 en el American Mathematical Monthly mientras Furstenberg todavía era unestudiante de pregrado en la Universidad Yeshiva .
Prueba de Furstenberg
Definir una topología en los enteros Z , denominada topología de enteros uniformemente espaciados , declarando que un subconjunto U ⊆ Z es un conjunto abierto si y solo si es una unión de secuencias aritméticas S ( a , b ) para a ≠ 0, o está vacío (que puede verse como una unión nulary (unión vacía) de secuencias aritméticas), donde
De manera equivalente, U es abierto si y sólo si cada x en U hay alguna que no sea cero número entero un tal que S ( un , x ) ⊆ U . Los axiomas de una topología se verifican fácilmente:
- ∅ es abierto por definición, y Z es solo la secuencia S (1, 0), por lo que también está abierto.
- Cualquier unión de conjuntos abiertos es abierta: para cualquier colección de conjuntos abiertos U i y x en su unión U , cualquiera de los números a i para los cuales S ( a i , x ) ⊆ U i también muestra que S ( a i , x ) ⊆ T .
- La intersección de dos (y por lo tanto, un número finito) de conjuntos abiertos es abierta: sean U 1 y U 2 conjuntos abiertos y sean x ∈ U 1 ∩ U 2 (con los números a 1 y a 2 que establecen la pertenencia). Establecer una para ser el mínimo común múltiplo de un 1 y un 2 . Entonces S ( a , x ) ⊆ S ( a i , x ) ⊆ U i .
Esta topología tiene dos propiedades notables:
- Dado que cualquier conjunto abierto no vacío contiene una secuencia infinita, un conjunto finito no puede ser abierto; dicho de otra manera, el complemento de un conjunto finito no puede ser un conjunto cerrado .
- Los conjuntos básicos S ( a , b ) son abiertos y cerrados : son abiertos por definición, y podemos escribir S ( a , b ) como el complemento de un conjunto abierto de la siguiente manera:
Los únicos enteros que no son múltiplos enteros de números primos son -1 y +1, es decir
Según la primera propiedad, el conjunto del lado izquierdo no se puede cerrar. Por otro lado, por la segunda propiedad, los conjuntos S ( p , 0) están cerrados. Entonces, si solo hubiera un número finito de números primos, entonces el conjunto del lado derecho sería una unión finita de conjuntos cerrados y, por lo tanto, cerrado. Esto sería una contradicción , por lo que debe haber infinitos números primos.
Notas
- ^ Mercer, Idris D. (2009). "En la prueba de Furstenberg de la infinidad de primos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 116 (4): 355–356. CiteSeerX 10.1.1.559.9528 . doi : 10.4169 / 193009709X470218 .
Referencias
- Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M. (1998). "Pruebas del libro" . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - Furstenberg, Harry (1955). "Sobre la infinitud de los números primos". American Mathematical Monthly . 62 (5): 353. doi : 10.2307 / 2307043 . JSTOR 2307043 . Señor 0068566 .
- Mercer, Idris D. (2009). "En la prueba de Furstenberg de la infinidad de primos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 116 (4): 355–356. CiteSeerX 10.1.1.559.9528 . doi : 10.4169 / 193009709X470218 .
- Lovas, R .; Mező, I. (2015). "Algunas observaciones sobre el espacio topológico de Furstenberg" . Elemente der Mathematik . 70 (3): 103-116. doi : 10.4171 / EM / 283 .
enlaces externos
- Prueba de Furstenberg de que hay infinitos números primos en Everything2
- Prueba de Fürstenberg de la infinitud de primos en PlanetMath .