En la topología general , una rama de las matemáticas , la topología de enteros espaciados uniformemente es la topología en el conjunto de enteros = {…, −2, −1, 0, 1, 2,… } generado por la familia de todas las progresiones aritméticas . [1] Es un caso especial de topología profinita en un grupo. Este espacio topológico particular fue introducido por Furstenberg (1955) donde se utilizó para probar la infinitud de los números primos .
Construcción
La progresión aritmética asociada a dos (posiblemente no distinta) números enteros una y k , donde, es el conjunto de enteros
Para regalar el conjunto una topología significa especificar qué subconjuntos deestán "abiertos" de una manera que satisfaga los siguientes axiomas : [2]
- Las uniones arbitrarias de conjuntos abiertos están abiertas.
- Las intersecciones finitas de conjuntos abiertos están abiertas.
- y el conjunto vacío ∅ están abiertos.
La familia de todas las progresiones aritméticas no satisface estos axiomas, por ejemplo, dado que la unión de progresiones aritméticas no necesita ser una progresión aritmética en sí misma; por ejemplo, {1, 5, 9,…} ∪ {2, 6, 10,…} = {1, 2, 5, 6, 9, 10,… } no es una progresión aritmética. Por lo tanto, la topología de enteros espaciados uniformemente se define como la topología generada por la familia de progresiones aritméticas. Esta es la topología más burda que incluye la familia de todas las progresiones aritméticas como subconjuntos abiertos: es decir, las progresiones aritméticas son una subbase de la topología. Dado que la intersección de cualquier colección finita de progresiones aritméticas es nuevamente una progresión aritmética, la familia de progresiones aritméticas es de hecho una base para la topología, lo que significa que cada conjunto abierto es una unión de progresiones aritméticas. [1]
Propiedades
Los números enteros de Furstenberg son separables y metrizables , pero incompletos. Según el teorema de metrización de Urysohn , son regulares y de Hausdorff . [3] [4]
Notas
- ↑ a b Steen y Seebach 1995 , págs. 80–81
- ^ Steen y Seebach 1995 , p. 3
- ^ Lovas, R .; Mező, I. (2015). "Algunas observaciones sobre el espacio topológico de Furstenberg". Elemente der Mathematik . 70 : 103-116.
- ^ Lovas, Resző László; Mező, István (4 de agosto de 2010). "Sobre una topología exótica de los enteros". arXiv : 1008.0713v1 [ math.GN ].
Referencias
- Furstenberg, Harry (1955), "Sobre la infinitud de los números primos", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 62 (5): 353, doi : 10.2307 / 2307043 , JSTOR 2307043 , MR 0068566.
- Steen, LA ; Seebach, JA (1995), Contraejemplos en topología , Dover, págs. 80–81, ISBN 0-486-68735-X.