En matemáticas , el teorema de Gabriel-Popescu es un teorema de incrustación para ciertas categorías abelianas , introducido por Pierre Gabriel y Nicolae Popescu ( 1964 ). Caracteriza ciertas categorías abelianas (las categorías de Grothendieck ) como cocientes de categorías de módulos .
Existen varias generalizaciones y variaciones del teorema de Gabriel-Popescu, dadas por Kuhn (1994) (para una categoría AB5 con un conjunto de generadores ), Lowen (2004) , Porta (2010) (para categorías trianguladas ).
Teorema
Sea A una categoría de Grothendieck (una categoría AB5 con un generador), G un generador de A y R el anillo de endomorfismos de G ; también, sea S el funtor de A a Mod- R (la categoría de módulos R derechos) definido por S ( X ) = Hom ( G , X ). Entonces, el teorema de Gabriel-Popescu establece que S es completo y fiel y tiene un adjunto izquierdo exacto .
Esto implica que A es equivalente a la categoría Serre cociente de Mod- R por un cierto de localización subcategoría C . (Una subcategoría de localización de Mod- R es una subcategoría completa C de Mod- R , cerrada bajo sumas directas arbitrarias , de modo que para cualquier secuencia corta y exacta de módulos, Tenemos M 2 en C si y sólo si M 1 y M 3 están en C . El cociente de Serre Mod- R por cualquier subcategoría de localización es una categoría de Grothendieck.) Podemos tomar C a ser el núcleo del adjunto izquierdo del funtor S .
Tenga en cuenta que la incrustación S de A en Mod- R es exacta a la izquierda pero no necesariamente exacta a la derecha: los cokernels de morfismos en A no corresponden en general a los cokernels de los morfismos correspondientes en Mod- R.
Referencias
- Castaño Iglesias, Florencio; Enache, P .; Năstăsescu, Constantin; Torrecillas, Blas (2004), "Un analogue du théorème de Gabriel-Popescu et applications", Bulletin des Sciences Mathématiques , 128 (4): 323–332, doi : 10.1016 / j.bulsci.2003.12.004 , ISSN 0007-4497 , MR 2052174
- Gabriel, Pierre; Popesco, Nicolae (1964), "Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives exactes", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences , 258 : 4188–4190, MR 0166241 [Comentario: "Popesco" es muy probablemente un error ortográfico en ese documento.]
- Kuhn, Nicholas J. (1994), "Representaciones genéricas de los grupos lineales generales finitos y el álgebra de Steenrod. I", American Journal of Mathematics , 116 (2): 327–360, doi : 10.2307 / 2374932 , ISSN 0002-9327 , MR 1269607
- Lowen, Wendy (2004), "Una generalización del teorema de Gabriel-Popescu", Journal of Pure and Applied Algebra , 190 (1): 197-211, doi : 10.1016 / j.jpaa.2003.11.016 , ISSN 0022-4049 , MR 2043328
- Mitchell, Barry (1981), "Una prueba rápida del teorema de Gabriel-Popesco", Journal of Pure and Applied Algebra , 20 (3): 313–315, doi : 10.1016 / 0022-4049 (81) 90065-7 , ISSN 0022-4049 , MR 0604322
- Porta, Marco (2010), "El teorema de Popescu-Gabriel para categorías trianguladas", Advances in Mathematics , 225 (3): 1669-1715, arXiv : 0706.4458 , doi : 10.1016 / j.aim.2010.04.002 , ISSN 0001- 8708 , MR 2673743
enlaces externos
- Lurie (2008), Un teorema de Gabriel-Kuhn-Popesco (PDF)