Experimentos, eventos, espacios de probabilidad
Los procesos técnicos de un juego representan experimentos que generan eventos aleatorios . Aquí están algunos ejemplos:
- Lanzar los dados en los dados es un experimento que genera eventos como ocurrencias de ciertos números en los dados, obtener una cierta suma de los números mostrados y obtener números con ciertas propiedades (menor que un número específico, mayor que un número específico, incluso , desigual, etc.). El espacio muestral de dicho experimento es {1, 2, 3, 4, 5, 6} para lanzar un dado o {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 6), ( 2, 1), (2, 2), ..., (2, 6), ..., (6, 1), (6, 2), ..., (6, 6)} para sacar dos dado. Este último es un conjunto de pares ordenados y cuenta 6 x 6 = 36 elementos. Los eventos se pueden identificar con conjuntos, es decir, partes del espacio muestral. Por ejemplo, la ocurrencia del evento de un número par está representada por el siguiente conjunto en el experimento de lanzar un dado: {2, 4, 6}.
- Hacer girar la rueda de la ruleta es un experimento cuyos eventos generados podrían ser la ocurrencia de un cierto número, de un cierto color o de una determinada propiedad de los números (bajo, alto, par, desigual, de una determinada fila o columna, etc.) . El espacio muestral del experimento que implica girar la rueda de la ruleta es el conjunto de números que contiene la ruleta: {1, 2, 3, ..., 36, 0, 00} para la ruleta americana, o {1, 2, 3, ..., 36, 0} para el europeo. La ocurrencia del evento de un número rojo está representada por el conjunto {1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36}. Estos son los números inscritos en rojo en la rueda y la mesa de la ruleta.
- Repartir cartas en el blackjack es un experimento que genera eventos como la ocurrencia de una determinada carta o valor como la primera carta repartida, obteniendo un determinado total de puntos de las dos primeras cartas repartidas, superando los 21 puntos de las tres primeras cartas repartidas, y pronto. En los juegos de cartas encontramos muchos tipos de experimentos y categorías de eventos. Cada tipo de experimento tiene su propio espacio muestral. Por ejemplo, el experimento de repartir la primera carta al primer jugador tiene como espacio muestral el conjunto de las 52 cartas (o 104, si se juega con dos mazos). El experimento de repartir la segunda carta al primer jugador tiene como espacio muestral el conjunto de las 52 cartas (o 104), menos la primera carta repartida. El experimento de repartir las dos primeras cartas al primer jugador tiene como espacio muestral un conjunto de pares ordenados, es decir, todos los arreglos de dos tamaños de cartas del 52 (o 104). En un juego con un jugador, el evento al jugador se le reparte una carta de 10 puntos como la primera carta repartida está representado por el conjunto de cartas {10 ♠, 10 ♣, 10 ♥, 10 ♦, J ♠, J ♣, J ♥, J ♦, Q ♠, Q ♣, Q ♥, Q ♦, K ♠, K ♣, K ♥, K ♦}. El evento que el jugador recibe un total de cinco puntos de las dos primeras cartas repartidas está representado por el conjunto de combinaciones de 2 tamaños de valores de cartas {(A, 4), (2, 3)}, que de hecho cuenta 4 x 4 + 4 x 4 = 32 combinaciones de cartas (como valor y símbolo).
- En la lotería 6/49 , el experimento de sacar seis números de los 49 genera eventos como sacar seis números específicos, sacar cinco números de seis números específicos, sacar cuatro números de seis números específicos, sacar al menos un número de un cierto grupo de números, etc. El espacio muestral aquí es el conjunto de todas las combinaciones de números de 6 tamaños del 49.
- En el póquer de empate , el experimento de repartir las manos iniciales de cinco cartas genera eventos como repartir al menos una carta determinada a un jugador específico, repartir un par a al menos dos jugadores, repartir cuatro símbolos idénticos a al menos un jugador, etc. . El espacio muestral en este caso es el conjunto de todas las combinaciones de 5 cartas de las 52 (o el mazo utilizado).
- Repartir dos cartas a un jugador que ha descartado dos cartas es otro experimento cuyo espacio muestral es ahora el conjunto de todas las combinaciones de 2 cartas de las 52, menos las cartas vistas por el observador que resuelve el problema de probabilidad. Por ejemplo, si está en juego en la situación anterior y desea calcular algunas probabilidades con respecto a su mano, el espacio muestral que debe considerar es el conjunto de todas las combinaciones de 2 cartas de las 52, menos las tres cartas que tiene y menos las dos cartas que descartaste. Este espacio muestral cuenta las combinaciones de 2 tamaños de 47.
El modelo de probabilidad
Un modelo de probabilidad parte de un experimento y una estructura matemática adjunta a ese experimento, es decir, el espacio (campo) de eventos. El evento es la unidad principal en la que trabaja la teoría de la probabilidad. En los juegos de azar, hay muchas categorías de eventos, todos los cuales pueden predefinirse textualmente. En los ejemplos anteriores de experimentos de juego vimos algunos de los eventos que generan los experimentos. Son una parte diminuta de todos los eventos posibles, que de hecho es el conjunto de todas las partes del espacio muestral.
Para un juego específico, los distintos tipos de eventos pueden ser:
- Eventos relacionados con su propio juego o con el juego de los oponentes;
- Eventos relacionados con el juego de una persona o con el juego de varias personas;
- Eventos inmediatos o eventos a largo plazo.
Cada categoría se puede dividir en varias otras subcategorías, según el juego al que se hace referencia. Estos eventos pueden definirse literalmente, pero deben hacerse con mucho cuidado al plantear un problema de probabilidad. Desde un punto de vista matemático, los eventos no son más que subconjuntos y el espacio de eventos es un álgebra booleana . Entre estos eventos, encontramos eventos elementales y compuestos, eventos exclusivos y no exclusivos, eventos independientes y no independientes.
En el experimento de lanzar un dado:
- El evento {3, 5} (cuya definición literal es la aparición de 3 o 5 ) es compuesto porque {3, 5} = {3} U {5};
- Los eventos {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} son elementales;
- Los eventos {3, 5} y {4} son incompatibles o exclusivos porque su intersección está vacía; es decir, no pueden ocurrir simultáneamente;
- Los eventos {1, 2, 5} y {2, 5} no son exclusivos porque su intersección no está vacía;
- En el experimento de lanzar dos dados uno tras otro, los eventos que obtienen 3 en el primer dado y 5 en el segundo dado son independientes porque la ocurrencia del segundo evento no está influenciada por la ocurrencia del primero, y viceversa.
En el experimento de repartir cartas de mano en Texas Hold'em Poker:
- El evento de repartir (3 ♣, 3 ♦) a un jugador es un evento elemental;
- El evento de repartir dos 3 a un jugador es compuesto porque es la unión de eventos (3 ♣, 3 ♠), (3 ♣, 3 ♥), (3 ♣, 3 ♦), (3 ♠, 3 ♥), ( 3 ♠, 3 ♦) y (3 ♥, 3 ♦);
- Los eventos al jugador 1 se le reparten un par de reyes y al jugador 2 se le reparten un par de reyes no son exclusivos (ambos pueden ocurrir);
- Los eventos al jugador 1 se le reparten dos conectores de corazones más altos que J y al jugador 2 se le reparten dos conectores de corazones más altos que J son exclusivos (solo puede ocurrir uno);
- Los eventos que se reparten al jugador 1 (7, K) y al jugador 2 (4, Q) no son independientes (la ocurrencia del segundo depende de la ocurrencia del primero, mientras el mismo mazo está en uso).
Estos son algunos ejemplos de eventos de juego, cuyas propiedades de composición, exclusividad e independencia son fácilmente observables. Estas propiedades son muy importantes en el cálculo de probabilidades práctico.
El modelo matemático completo viene dado por el campo de probabilidad adjunto al experimento, que es el espacio muestral triple — campo de eventos — función de probabilidad . Para cualquier juego de azar, el modelo de probabilidad es del tipo más simple: el espacio muestral es finito, el espacio de eventos es el conjunto de partes del espacio muestral, implícitamente finito también, y la función de probabilidad viene dada por la definición de probabilidad en un espacio finito de eventos:
Combinaciones
Los juegos de azar también son buenos ejemplos de combinaciones , permutaciones y arreglos, que se cumplen en cada paso: combinaciones de cartas en la mano de un jugador, en la mesa o esperadas en cualquier juego de cartas; combinaciones de números al lanzar varios dados una vez; combinaciones de números en lotería y bingo; combinaciones de símbolos en las ranuras; permutaciones y arreglos en una carrera en la que apostar, y cosas por el estilo. El cálculo combinatorio es una parte importante de las aplicaciones de probabilidad de juegos de azar. En los juegos de azar, la mayor parte del cálculo de probabilidades de juego en el que usamos la definición clásica de probabilidad vuelve a contar combinaciones. Los eventos de juego se pueden identificar con conjuntos, que a menudo son conjuntos de combinaciones. Por tanto, podemos identificar un evento con una combinación.
Por ejemplo, en un juego de póquer de cinco empate, el evento , al menos, el jugador uno tiene un cuatro de una formación de tipo se pueden identificar con el conjunto de todas las combinaciones de tipo, (XXXXY) donde X y Y son valores distintos de tarjetas. Este conjunto tiene 13C (4,4) (52-4) = 624 combinaciones. Las combinaciones posibles son (3 ♠ 3 ♣ 3 ♥ 3 ♦ J ♣) o (7 ♠ 7 ♣ 7 ♥ 7 ♦ 2 ♣). Éstos se pueden identificar con los eventos elementales que componen el evento a medir.
Expectativa y estrategia
Los juegos de azar no son meras aplicaciones puras del cálculo de probabilidades y las situaciones de juego no son simplemente eventos aislados cuya probabilidad numérica está bien establecida mediante métodos matemáticos; también son juegos cuyo progreso está influenciado por la acción humana. En el juego, el elemento humano tiene un carácter sorprendente. El jugador no solo está interesado en la probabilidad matemática de los diversos eventos de juego, sino que también tiene expectativas de los juegos mientras exista una interacción importante. Para obtener resultados favorables de esta interacción, los jugadores tienen en cuenta toda la información posible, incluidas las estadísticas , para construir estrategias de juego. El sistema de apuestas más antiguo y común es la martingala, o el sistema de duplicación, en las apuestas de dinero par, en el que las apuestas se duplican progresivamente después de cada derrota hasta que se gana. Este sistema probablemente se remonta a la invención de la rueda de la ruleta. Otros dos sistemas bien conocidos, también basados en apuestas de dinero par, son el sistema d'Alembert (basado en teoremas del matemático francés Jean Le Rond d'Alembert), en el que el jugador aumenta sus apuestas en una unidad después de cada derrota. pero lo disminuye en una unidad después de cada victoria, y el sistema Labouchere (ideado por el político británico Henry Du Pré Labouchere, aunque la base fue inventada por la filósofa francesa del siglo XVIII Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marqués de Condorcet), en el que el jugador aumenta o disminuye sus apuestas según una determinada combinación de números elegidos de antemano. [1] [2] La ganancia o pérdida promedio predicha se llama expectativa o valor esperado y es la suma de la probabilidad de cada resultado posible del experimento multiplicada por su recompensa (valor). Por lo tanto, representa la cantidad promedio que uno espera ganar por apuesta si las apuestas con probabilidades idénticas se repiten muchas veces. Un juego o una situación en la que el valor esperado para el jugador es cero (sin ganancias ni pérdidas netas) se denomina juego limpio. El atributo justo se refiere no al proceso técnico del juego, sino al equilibrio de azar casa (banco) - jugador.
Aunque la aleatoriedad inherente a los juegos de azar parece asegurar su imparcialidad (al menos con respecto a los jugadores alrededor de una mesa, barajar un mazo o girar una ruleta no favorece a ningún jugador excepto si son fraudulentos), los jugadores siempre buscan y esperar irregularidades en esta aleatoriedad que les permita ganar. Se ha demostrado matemáticamente que, en condiciones ideales de aleatoriedad y con expectativas negativas, no es posible una ganancia regular a largo plazo para los jugadores de juegos de azar. La mayoría de los jugadores aceptan esta premisa, pero aún trabajan en estrategias para que ganen a corto o largo plazo.
Ventaja o ventaja de la casa
Los juegos de casino proporcionan una ventaja predecible a largo plazo para el casino, o "casa", al tiempo que ofrecen al jugador la posibilidad de un gran pago a corto plazo. Algunos juegos de casino tienen un elemento de habilidad, donde el jugador toma decisiones; tales juegos se denominan "aleatorios con un elemento táctico". Si bien es posible minimizar la ventaja de la casa mediante un juego hábil, es extremadamente raro que un jugador tenga la habilidad suficiente para eliminar por completo su desventaja inherente a largo plazo (la ventaja de la casa o el vigor de la casa ) en un juego de casino. La creencia común es que tal conjunto de habilidades implicaría años de entrenamiento, memoria extraordinaria y aritmética, y / o observación aguda visual o incluso auditiva, como en el caso del reloj de rueda en la ruleta. Para obtener más ejemplos, consulte el juego Advantage .
La desventaja del jugador es el resultado de que el casino no paga las apuestas ganadoras de acuerdo con las "probabilidades reales" del juego, que son los pagos que se esperarían considerando las probabilidades de que una apuesta gane o pierda. Por ejemplo, si se juega un juego apostando al número que resultaría del lanzamiento de un dado, las probabilidades reales serían 5 veces la cantidad apostada, ya que hay una probabilidad de 1/6 de que aparezca cualquier número. Sin embargo, el casino solo puede pagar 4 veces la cantidad apostada por una apuesta ganadora.
La ventaja de la casa (HE) o vigor se define como la ganancia del casino expresada como un porcentaje de la apuesta original del jugador. En juegos como Blackjack o Spanish 21 , la apuesta final puede ser varias veces la apuesta original, si el jugador dobla o divide.
Ejemplo: en la ruleta americana , hay dos ceros y 36 números distintos de cero (18 rojos y 18 negros). Si un jugador apuesta $ 1 al rojo, su probabilidad de ganar $ 1 es por lo tanto 18/38 y su probabilidad de perder $ 1 (o ganar - $ 1) es 20/38.
El valor esperado del jugador, EV = (18/38 x 1) + (20/38 x -1) = 18/38 - 20/38 = -2/38 = -5,26%. Por tanto, la ventaja de la casa es del 5,26%. Después de 10 rondas, juegue $ 1 por ronda, la ganancia promedio de la casa será 10 x $ 1 x 5.26% = $ 0.53. Por supuesto, el casino no puede ganar exactamente 53 centavos; esta cifra es la ganancia promedio del casino de cada jugador si tuviera millones de jugadores cada uno apostando 10 rondas a $ 1 por ronda.
La ventaja de la casa de los juegos de casino varía mucho con el juego. Keno puede tener ventajas de la casa de hasta un 25% y las máquinas tragamonedas pueden tener hasta un 15%, mientras que la mayoría de los juegos de pontones australianos tienen una ventaja de la casa de entre el 0,3% y el 0,4%.
El cálculo de la ventaja de la casa de la ruleta fue un ejercicio trivial; para otros juegos, este no suele ser el caso. El análisis combinatorio y / o simulación por computadora es necesario para completar la tarea.
En los juegos que tienen un elemento de habilidad, como Blackjack o Spanish 21 , la ventaja de la casa se define como la ventaja de la casa de un juego óptimo (sin el uso de técnicas avanzadas como el conteo de cartas o el seguimiento de barajado ), en la primera mano del zapato. (el contenedor que contiene las cartas). El conjunto de jugadas óptimas para todas las manos posibles se conoce como "estrategia básica" y depende en gran medida de las reglas específicas, e incluso del número de mazos utilizados. Los buenos juegos de Blackjack y Español 21 tienen que tener ventajas por debajo del 0,5%.
Los juegos de tragamonedas en línea a menudo tienen un porcentaje de retorno al jugador (RTP) publicado que determina la ventaja teórica de la casa. Algunos desarrolladores de software eligen publicar el RTP de sus juegos de tragamonedas, mientras que otros no. [3] A pesar del RTP teórico establecido, casi cualquier resultado es posible a corto plazo. [4]
Desviación Estándar
El factor suerte en un juego de casino se cuantifica mediante la desviación estándar (SD). La desviación estándar de un juego simple como la ruleta se puede calcular simplemente debido a la distribución binomial de éxitos (asumiendo un resultado de 1 unidad para una victoria y 0 unidades para una pérdida). Para la distribución binomial, SD es igual a, dónde es el número de rondas jugadas, es la probabilidad de ganar, y es la probabilidad de perder. Además, si apostamos a 10 unidades por ronda en lugar de 1 unidad, el rango de posibles resultados aumenta 10 veces. Por lo tanto, SD para la apuesta de dinero par en la ruleta es igual a, dónde es la apuesta plana por ronda, es el número de rondas, , y .
Después de un número suficientemente grande de rondas, la distribución teórica de la ganancia total converge a la distribución normal , lo que brinda una buena posibilidad de pronosticar la posible ganancia o pérdida. Por ejemplo, después de 100 rondas a $ 1 por ronda, la desviación estándar de la ganancia (igualmente de la pérdida) será. Después de 100 rondas, la pérdida esperada será.
El rango de 3 sigma es seis veces la desviación estándar: tres por encima de la media y tres por debajo. Por lo tanto, después de 100 rondas apostando $ 1 por ronda, el resultado probablemente estará en algún lugar entre y , es decir, entre - $ 34 y $ 24. Todavía hay un ca. De 1 a 400 posibilidades de que el resultado no se encuentre en este rango, es decir, la ganancia superará los $ 24 o la pérdida superará los $ 34.
La desviación estándar para la apuesta de la ruleta de dinero par es una de las más bajas de todos los juegos de casinos. La mayoría de los juegos, especialmente las tragamonedas, tienen desviaciones estándar extremadamente altas. A medida que aumenta el tamaño de los pagos potenciales, también lo hace la desviación estándar.
Desafortunadamente, las consideraciones anteriores para un pequeño número de rondas son incorrectas, porque la distribución está lejos de ser normal. Además, los resultados de los juegos más volátiles suelen converger a la distribución normal mucho más lentamente, por lo que se requiere una cantidad mucho mayor de rondas para eso.
A medida que aumenta el número de rondas, eventualmente, la pérdida esperada superará la desviación estándar, muchas veces. De la fórmula, podemos ver que la desviación estándar es proporcional a la raíz cuadrada del número de rondas jugadas, mientras que la pérdida esperada es proporcional al número de rondas jugadas. A medida que aumenta el número de rondas, la pérdida esperada aumenta a un ritmo mucho más rápido. Por eso es prácticamente imposible que un jugador gane a largo plazo (si no tiene ventaja). Es la alta relación entre la desviación estándar a corto plazo y la pérdida esperada lo que engaña a los jugadores haciéndoles pensar que pueden ganar.
El índice de volatilidad (VI) se define como la desviación estándar para una ronda, apostando una unidad. Por lo tanto, el VI para la apuesta de dinero par a la ruleta americana es.
La varianza se define como el cuadrado del VI. Por lo tanto, la variación de la apuesta de dinero par a la ruleta americana es aprox. 0.249, que es extremadamente bajo para un juego de casino. La variación para el Blackjack es de ca. 1.2, que sigue siendo bajo en comparación con las variaciones de las máquinas de juego electrónicas (EGM).
Además, se utiliza el término del índice de volatilidad basado en algunos intervalos de confianza. Por lo general, se basa en el intervalo de confianza del 90%. El índice de volatilidad para el intervalo de confianza del 90% es aprox. 1,645 veces el índice de volatilidad "habitual" que se relaciona con el ca. Intervalo de confianza del 68,27%.
Es importante que un casino conozca tanto la ventaja de la casa como el índice de volatilidad de todos sus juegos. La ventaja de la casa les dice qué tipo de beneficio obtendrán como porcentaje del volumen de negocios, y el índice de volatilidad les dice cuánto necesitan en forma de reservas de efectivo. Los matemáticos y programadores informáticos que realizan este tipo de trabajo se denominan matemáticos y analistas de juegos. Los casinos no tienen experiencia interna en este campo, por lo que subcontratan sus requisitos a expertos en el campo del análisis de juegos.
Probabilidad de bingo
La probabilidad de ganar un juego de Bingo (ignorando a los ganadores simultáneos, haciendo que las ganancias sean mutuamente excluyentes) se puede calcular como:
ya que ganar y perder son mutuamente excluyentes. La probabilidad de perder es la misma que la probabilidad de que otro jugador gane (por ahora, asumiendo que cada jugador tiene solo una tarjeta de Bingo). Con jugadores que participan: con jugadores y nuestro jugador siendo designado . Esto también se indica (para eventos mutuamente excluyentes) como.
Si la probabilidad de ganar para cada jugador es igual (como se esperaría en un juego de azar justo), entonces y por lo tanto y por lo tanto . Simplificando los rendimientos
En el caso de que se compre más de una tarjeta, cada tarjeta puede considerarse equivalente a los jugadores anteriores, con las mismas posibilidades de ganar. dónde es el número de cartas en el juego y es la tarjeta que nos interesa.
Un jugador () tenencia tarjetas, por lo tanto, será el ganador si alguna de estas tarjetas gana (aún ignorando las ganancias simultáneas):
Por lo tanto, una forma sencilla de que un jugador aumente sus probabilidades de ganar es comprar más cartas en un juego (aumentar ).
Pueden ocurrir ganancias simultáneas en ciertos tipos de juegos (como el bingo en línea , donde el ganador se determina automáticamente, en lugar de gritar "Bingo", por ejemplo), y las ganancias se dividen entre todos los ganadores simultáneos. La probabilidad de nuestra tarjeta,, ganar cuando hay uno o más ganadores simultáneos se expresa mediante:
dónde es la probabilidad de que haya ganador simultáneo (en función del tipo de juego y el número de jugadores) y siendo la probabilidad (justa) de que es una de las cartas ganadoras. El valor total esperado para el pago (1 representa el bote ganador completo) es por lo tanto:
Dado que, para un juego de bingo normal, que se juega hasta que hay un ganador, la probabilidad de que haya una tarjeta ganadora, ya sea o o o , y siendo estos mutuamente excluyentes , se puede afirmar que
y por lo tanto que
Por lo tanto, el resultado esperado del juego no cambia por los ganadores simultáneos, siempre que el bote se divida equitativamente entre todos los ganadores simultáneos. Esto se ha confirmado numéricamente. [5]
Para investigar si es mejor jugar múltiples cartas en un solo juego o jugar múltiples juegos, la probabilidad de ganar se calcula para cada escenario, donde se compran tarjetas.
donde n es el número de jugadores (asumiendo que cada jugador contrario solo juega una carta). La probabilidad de perder un solo juego, en el que se juega una sola carta, se expresa como:
La probabilidad de perder juegos se expresa como:
La probabilidad de ganar al menos un juego de juegos es la misma que la probabilidad de no perder todos juegos:
Cuándo , estos valores son iguales:
pero se ha demostrado [5] que por . La ventaja de crece tanto como crece y disminuye. Por lo tanto, siempre es mejor jugar múltiples juegos en lugar de múltiples cartas en un solo juego, aunque la ventaja disminuye cuando hay más jugadores en el juego.
Ver también
Referencias
- ^ "Ruleta" . britannica.
- ^ "Sistema de ruleta D'Alembert" .
- ^ "Explicación de las tragamonedas en línea Return to Player (RTP) - GamblersFever" .
- ^ "Regreso al jugador y frecuencia de aciertos - ¿Qué significan? - GetGamblingFacts" .
- ^ a b "Probabilidades de Bingo y probabilidad de ganar" .
Otras lecturas
- Las matemáticas del juego , por Edward Thorp, ISBN 0-89746-019-7
- La teoría del juego y la lógica estadística, edición revisada , por Richard Epstein, ISBN 0-12-240761-X
- The Mathematics of Games and Gambling , Second Edition, por Edward Packel, ISBN 0-88385-646-8
- Guía de probabilidad para los juegos de azar: las matemáticas de los dados, las tragamonedas, la ruleta, el bacará, el blackjack, el póquer, la lotería y las apuestas deportivas , por Catalin Barboianu, ISBN 973-87520-3-5 extractos
- Suerte, lógica y mentiras blancas: las matemáticas de los juegos , por Jörg Bewersdorff , ISBN 1-56881-210-8 introducción .
enlaces externos
- Discusión de matemáticas sobre probabilidades y juegos de azar del Mago de las probabilidades
- Aplicación de la teoría de la probabilidad en juegos de azar