En matemáticas , la holomorfia de dimensión infinita es una rama del análisis funcional . Se ocupa de generalizaciones del concepto de función holomórfica a funciones definidas y que toman valores en espacios de Banach complejos (o espacios de Fréchet en general), típicamente de dimensión infinita. Es un aspecto del análisis funcional no lineal .
Funciones holomórficas con valores vectoriales definidas en el plano complejo
Un primer paso para extender la teoría de las funciones holomórficas más allá de una dimensión compleja es considerar las llamadas funciones holomórficas con valores vectoriales , que todavía están definidas en el plano complejo C , pero toman valores en un espacio de Banach. Estas funciones son importantes, por ejemplo, en la construcción del cálculo funcional holomórfico para operadores lineales acotados .
Definición. Una función f : U → X , donde U ⊂ C es un subconjunto abierto y X es un espacio de Banach complejo se llama holomorfo si es complejo-diferenciable; es decir, para cada punto z ∈ U existe el siguiente límite :
Se puede definir la integral de línea de una función holomórfica con valores vectoriales f : U → X a lo largo de una curva rectificable γ: [ a , b ] → U de la misma manera que para las funciones holomórficas con valores complejos, como el límite de sumas de formulario
donde a = t 0 < t 1 <... < t n = b es una subdivisión del intervalo [ a , b ], cuando las longitudes de los intervalos de subdivisión se acercan a cero.
Es una comprobación rápida de que el teorema de la integral de Cauchy también es válido para funciones holomórficas con valores vectoriales. De hecho, si f : U → X es una función de este tipo y T : X → C una funcional lineal acotada, se puede demostrar que
Además, la composición T o f : T → C es una función holomorfa de valor complejo. Por lo tanto, para γ una curva cerrada simple cuyo interior está contenido en U , la integral de la derecha es cero, según el teorema de la integral de Cauchy clásico. Entonces, dado que T es arbitrario, del teorema de Hahn-Banach se sigue que
que prueba el teorema de la integral de Cauchy en el caso de valores vectoriales.
Usando esta poderosa herramienta, uno puede probar la fórmula integral de Cauchy y, al igual que en el caso clásico, que cualquier función holomórfica con valores vectoriales es analítica .
Un criterio útil para una función f : T → X sea holomorphic es que T o f : T → C es una función de valor complejo holomorphic para cada funcional lineal continua T : X → C . Tal f es débilmente holomórfica. Se puede demostrar que una función definida en un subconjunto abierto del plano complejo con valores en un espacio de Fréchet es holomórfica si, y solo si, es débilmente holomórfica.
Funciones holomorfas entre espacios de Banach
Más en general, dados dos complejos espacios de Banach X y Y y un conjunto abierto U ⊂ X , f : T → Y se llama holomorphic si el derivado Fréchet de f existe en cada punto en U . Se puede demostrar que, en este contexto más general, sigue siendo cierto que una función holomórfica es analítica, es decir, puede expandirse localmente en una serie de potencias. Sin embargo, ya no es cierto que si una función está definida y es holomórfica en una pelota, su serie de potencia alrededor del centro de la pelota es convergente en toda la pelota; por ejemplo, existen funciones holomorfas definidas en todo el espacio que tienen un radio finito de convergencia. [1]
Funciones holomórficas entre espacios vectoriales topológicos
En general, dado dos complejos espacios topológicos vector X y Y y un conjunto abierto U ⊂ X , hay varias maneras de definir holomorfía de una función f : T → Y . A diferencia de la configuración de dimensión finita, cuando X e Y son de dimensión infinita, las propiedades de las funciones holomórficas pueden depender de la definición que se elija. Para restringir el número de posibilidades que debemos considerar, solo discutiremos la holomorfia en el caso en que X e Y sean localmente convexos .
Esta sección presenta una lista de definiciones, desde la noción más débil hasta la noción más fuerte. Concluye con una discusión de algunos teoremas que relacionan estas definiciones cuando los espacios X e Y satisfacen algunas restricciones adicionales.
Holomorfia de tarta
La holomorfia gateaux es la generalización directa de la holomorfia débil al entorno dimensional completamente infinito.
Sean X e Y espacios vectoriales topológicos localmente convexos y U ⊂ X un conjunto abierto. Una función f : U → Y se dice que es Gâteaux holomorphic si, para cada a ∈ U y b ∈ X , y cada funcional lineal continuo φ: Y → C , la función
es una función holomórfica de z en una vecindad del origen. La colección de funciones holomorfas de Gâteaux se denota por H G ( U , Y ).
En el análisis de Gateaux funciones holomorfas, cualquier propiedades de las funciones holomorfas de dimensión finita se aferran subespacios de dimensión finita de X . Sin embargo, como es habitual en el análisis funcional, es posible que estas propiedades no se unan de manera uniforme para producir las propiedades correspondientes de estas funciones en conjuntos abiertos completos.
Ejemplos de
- Si f ∈ U , entonces f tiene derivados Gateaux de todos los órdenes, ya que para x ∈ U y h 1 , ..., h k ∈ X , la k orden -ésimo Gateaux derivado D k f ( x ) { h 1 ,. .., h k } implica sólo derivadas direccionales iteradas en el intervalo de h i , que es un espacio de dimensión finita. En este caso, el itera derivados Gateaux son multilineal en el h i , pero será en general no logran ser continua cuando se le considera sobre todo el espacio X .
- Además, una versión del teorema de Taylor es válida:
- Aquí, es el polinomio homogéneo de grado n en y asociado al operador multilineal D n f ( x ). La convergencia de esta serie no es uniforme. Más precisamente, si V ⊂ X es un fijo subespacio de dimensión finita, entonces los serie converge uniformemente sobre suficientemente pequeños barrios compactas de 0 ∈ Y . Sin embargo, si se permite que varíe el subespacio V , la convergencia falla: en general, no será uniforme con respecto a esta variación. Tenga en cuenta que esto contrasta claramente con el caso de dimensión finita.
- El teorema de Hartog es válido para las funciones holomórficas de Gateaux en el siguiente sentido:
Si f : ( U ⊂ X 1 ) × ( V ⊂ X 2 ) → Y es una función que es Gateaux holomorphic por separado en cada uno de sus argumentos, entonces f es Gateaux holomorphic en el espacio del producto.
Hipoanaliticidad
Una función f : ( U ⊂ X ) → Y es hypoanalytic si f ∈ H G ( U , Y ) y, además, f es continua en relativamente compactos subconjuntos de U .
Holomorfia
Una función f ∈ H G (U, Y ) es holomórfica si, para cada x ∈ U , la expansión de la serie de Taylor
(que ya está garantizado para existir por holomorfía Gateaux) converge y es continua para y en un barrio de 0 ∈ X . Así, la holomorfia combina la noción de holomorfia débil con la convergencia de la expansión de la serie de potencias. La colección de funciones holomorfas se denota por H ( U , Y ).
Holomorfia delimitada localmente
Una función f : ( U ⊂ X ) → Y se dice que está delimitada localmente si cada punto de U tiene una zona cuya imagen bajo f está acotada en Y . Si, además, f es Gateaux holomorphic en U , entonces f es holomorphic localmente limitado . En este caso, escribimos f ∈ H LB ( U , Y ).
Referencias
- Richard V. Kadison , John R. Ringrose, Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores , vol. 1: Teoría elemental. Sociedad Americana de Matemáticas, 1997. ISBN 0-8218-0819-2 . (Ver sección 3.3.)
- Soo Bong Chae, Holomorfia y cálculo en espacios normativos , Marcel Dekker, 1985. ISBN 0-8247-7231-8 .
- ^ Lawrence A. Harris, Teoremas de punto fijo para funciones holomorfas de dimensión infinita (sin fecha).