Lema de Gauss (polinomios)
En álgebra , el lema de Gauss , [1] llamado así por Carl Friedrich Gauss , es un enunciado sobre polinomios sobre los números enteros o, más generalmente, sobre un dominio de factorización único (es decir, un anillo que tiene una propiedad de factorización única similar a la fundamental teorema de la aritmética ). El lema de Gauss subyace a toda la teoría de la factorización y los máximos comunes divisores de tales polinomios .
El lema de Gauss afirma que el producto de dos polinomios primitivos es primitivo (un polinomio con coeficientes enteros es primitivo si tiene 1 como máximo común divisor de sus coeficientes).
Un corolario del lema de Gauss, a veces también llamado lema de Gauss , es que un polinomio primitivo es irreducible sobre los números enteros si y solo si es irreducible sobre los números racionales . Más generalmente, un polinomio primitivo tiene la misma factorización completa sobre los números enteros y sobre los números racionales. En el caso de coeficientes en un único dominio de factorización R , "números racionales" debe ser reemplazado por " campo de fracciones de R ". Esto implica que, si R es un campo , el anillo de enteros o un dominio de factorización único, entonces todo anillo de polinomios(en uno o varios indeterminados) sobre R es un dominio de factorización único. Otra consecuencia es que la factorización y el cálculo del máximo común divisor de polinomios con números enteros o coeficientes racionales pueden reducirse a cálculos similares con números enteros y polinomios primitivos. Esto se usa sistemáticamente (explícita o implícitamente) en todos los algoritmos implementados (ver Polinomio máximo común divisor y Factorización de polinomios ).
El lema de Gauss y todas sus consecuencias que no involucran la existencia de una factorización completa siguen siendo válidos en cualquier dominio GCD (un dominio integral sobre el cual existen los máximos comunes divisores). En particular, un anillo polinomial sobre un dominio GCD también es un dominio GCD. Si uno llama primitivo a un polinomio tal que los coeficientes generan la unidad ideal , el lema de Gauss se cumple en todos los anillos conmutativos . [2] Sin embargo, se debe tener cuidado al usar esta definición de primitivo , ya que, sobre un dominio de factorización único que no es un dominio ideal principal, hay polinomios que son primitivos en el sentido anterior y no primitivos en este nuevo sentido.
Si es un polinomio con coeficientes enteros, entonces se llama primitivo si el máximo común divisor de todos los coeficientes es 1; en otras palabras, ningún número primo divide todos los coeficientes.
Lema de Gauss (primitividad) : si P ( X ) y Q ( X ) son polinomios primitivos sobre los números enteros, entonces el producto P ( X ) Q ( X ) también es primitivo.