dominio GCD
En matemáticas , un dominio GCD es un dominio integral R con la propiedad de que dos elementos cualesquiera tienen un máximo común divisor (MCD); es decir, existe un único ideal principal mínimo que contiene el ideal generado por dos elementos dados. De manera equivalente, dos elementos cualesquiera de R tienen un mínimo común múltiplo (LCM). [1]
Un dominio GCD generaliza un dominio de factorización única (UFD) a un entorno no noetheriano en el siguiente sentido: un dominio integral es un UFD si y solo si es un dominio GCD que satisface la condición de cadena ascendente en los ideales principales (y en particular si es noetheriano ).
Todo elemento irreducible de un dominio GCD es primo . Un dominio GCD es integralmente cerrado , y cada elemento distinto de cero es primario . [2] En otras palabras, cada dominio GCD es un dominio Schreier .
Para cada par de elementos x , y de un dominio GCD R , se puede elegir un GCD d de x e y y un MCM m de x e y tal que dm = xy , o dicho de otra manera, si x e y son elementos distintos de cero y d es cualquier MCD d de x e y , entonces xy / d es un MCM de x e y , y viceversa. sigue _que las operaciones de MCD y LCM convierten el cociente R /~ en un retículo distributivo , donde "~" denota la relación de equivalencia de ser elementos asociados . La equivalencia entre la existencia de GCD y la existencia de LCM no es un corolario del resultado similar en redes completas , ya que el cociente R /~ no necesita ser una red completa para un dominio R de GCD . [ cita requerida ]
R es un dominio GCD si y solo si las intersecciones finitas de sus ideales principales son principales. En particular, , donde es el MCM de y .
Para un polinomio en X sobre un dominio GCD, se puede definir su contenido como el MCD de todos sus coeficientes. Entonces el contenido de un producto de polinomios es el producto de sus contenidos, como lo expresa el lema de Gauss , que es válido sobre dominios GCD.