Si p es un número real distinto de cero , yson números reales positivos, entonces la media generalizada o media de potencia con exponente p de estos números reales positivos es: [2]
(Ver p -norm ). Para p = 0 lo igualamos a la media geométrica (que es el límite de las medias con exponentes próximos a cero, como se demuestra a continuación):
Además, para una secuencia de pesos positivos w i con sumadefinimos la media de potencia ponderada como:
Las medias no ponderadas corresponden a establecer todo w i = 1 / n .
Casos especiales
Una descripción visual de algunos de los casos especificados para n = 2 con a = x 1 = M ∞ y b = x 2 = M −∞ :
media armónica, H = M −1 ( a , b ) ,
media geométrica, G = M 0 ( a , b )
media aritmética, A = M 1 ( a , b )
media cuadrática, Q = M 2 ( a , b )
Algunos valores particulares de producir casos especiales con sus propios nombres: [3]
En el límite p → 0, podemos aplicar la regla de L'Hôpital al argumento de la función exponencial. Diferenciando el numerador y el denominador con respecto ap , tenemos
Por la continuidad de la función exponencial, podemos sustituir nuevamente en la relación anterior para obtener
Suponga (posiblemente después de volver a etiquetar y combinar términos juntos) que . Luego
La fórmula para sigue desde
Propiedades
Dejar ser una secuencia de números reales positivos, entonces se cumplen las siguientes propiedades: [1]
.
Cada media generalizada siempre se encuentra entre el menor y el mayor de los valores de x .
, dónde es un operador de permutación.
Cada media generalizada es una función simétrica de sus argumentos; permutar los argumentos de una media generalizada no cambia su valor.
.
Como la mayoría de las medias , la media generalizada es una función homogénea de sus argumentos x 1 , ..., x n . Es decir, si b es un número real positivo, entonces la media generalizada con exponente p de los números es igual ab multiplicado por la media generalizada de los números x 1 ,…, x n .
.
Al igual que las medias cuasi aritméticas , el cálculo de la media se puede dividir en cálculos de subbloques de igual tamaño. Esto permite el uso de un algoritmo de divide y vencerás para calcular las medias, cuando sea conveniente.
Demostraremos potencia ponderada significa desigualdad, para el propósito de la prueba asumiremos lo siguiente sin pérdida de generalidad:
La prueba de las medias de potencia no ponderadas se obtiene fácilmente sustituyendo w i = 1 / n .
Equivalencia de desigualdades entre medias de signos opuestos
Supongamos un promedio entre medios de potencia con exponentes p y q se tiene:
aplicando esto, entonces:
Elevamos ambos lados a la potencia de -1 (función estrictamente decreciente en reales positivos):
Obtenemos la desigualdad para las medias con exponentes - py - q , y podemos usar el mismo razonamiento al revés, probando así que las desigualdades son equivalentes, lo que se usará en algunas de las demostraciones posteriores.
Significado geometrico
Para cualquier q > 0 y ponderaciones no negativas que sumen 1, se cumple la siguiente desigualdad:
Aplicando la función exponencial a ambos lados y observando que como función estrictamente creciente conserva el signo de la desigualdad, obtenemos
Tomando q -ésimas potencias de x i , terminamos para la desigualdad con q positivo ; el caso de los negativos es idéntico.
Desigualdad entre dos medios de poder
Debemos demostrar que para cualquier p < q se cumple la siguiente desigualdad:
si p es negativo y q es positivo, la desigualdad es equivalente a la que se demostró anteriormente:
La prueba para el positivo p y q es como sigue: Definir la siguiente función: f : R + → R +. f es una función de potencia, por lo que tiene una segunda derivada:
que es estrictamente positivo dentro del dominio de f , ya que q > p , entonces sabemos que f es convexa.
Usando esto, y la desigualdad de Jensen obtenemos:
después de elevar ambos lados a la potencia de 1 / q (una función creciente, ya que 1 / q es positivo) obtenemos la desigualdad que debía ser probada:
El uso de la equivalencia previamente demostrado que podemos probar la desigualdad para el negativo p y q reemplazándolos con - Q y - p , respectivamente.
Esto cubre la media geométrica sin usar un límite con f ( x ) = log ( x ). La potencia media se obtiene para f ( x ) = x p .
Aplicaciones
Procesamiento de la señal
Una media de potencia sirve una media móvil no lineal que se desplaza hacia valores de señal pequeños para py pequeño y enfatiza valores de señal grandes para p grande . Dada una implementación eficiente de una media aritmética móvil llamada, smoothse puede implementar una media de potencia móvil de acuerdo con el siguiente código de Haskell .
powerSmooth :: Flotante a => ([ a ] -> [ a ]) -> a -> [ a ] -> [ a ] powerSmooth suave p = mapa ( ** recip p ) . suave . mapa ( ** p )
Para p grande , puede servir como detector de envolvente en una señal rectificada .
Para p pequeño , puede servir como detector de línea de base en un espectro de masas .
Ver también
Media aritmética-geométrica
Promedio
Media heroniana
Desigualdad de medias aritméticas y geométricas.
Lehmer mean - también un medio relacionado con los poderes
Media cuadrática
Distancia de Minkowski
Notas
↑ a b Sýkora, Stanislav (2009). Medias y promedios matemáticos: propiedades básicas . 3 . Biblioteca de Stan: Castano Primo, Italia. doi : 10.3247 / SL3Math09.001 .
^ a b P. S. Bullen: Manual de medios y sus desigualdades . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer, 2003, págs. 175-177
^Weisstein, Eric W. "Poder medio" . MathWorld . (consultado el 17 de agosto de 2019)
^Thompson, Sylvanus P. (1965). Cálculo simplificado . Macmillan International Higher Education. pag. 185. ISBN 9781349004874. Consultado el 5 de julio de 2020 .
^Jones, Alan R. (2018). Probabilidad, estadística y otras cosas aterradoras . Routledge. pag. 48. ISBN 9781351661386. Consultado el 5 de julio de 2020 .
^ Si AC = una y BC = b . OC = AM de una y b , y el radio r = QO = OG. Usando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM . Usando el teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM . Usando triángulos similares ,HC/GC = GC/jefe ∴ HC = GC²/jefe= HM .
Referencias y lecturas adicionales
PS Bullen: Manual de medios y sus desigualdades . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer, 2003, capítulo III (The Power Means), págs. 175-265