En matemáticas, las tres medias pitagóricas clásicas son la media aritmética (AM), la media geométrica (GM) y la media armónica (HM). Estos medios fueron estudiados con proporciones por los pitagóricos y generaciones posteriores de matemáticos griegos [1] debido a su importancia en la geometría y la música.
Definición
Están definidos por:
Propiedades
Cada medio , tiene las siguientes propiedades:
- Primer orden homogeneidad
- Invarianza bajo intercambio
- para cualquier y .
- Monotonicidad
- Idempotencia
La monotonicidad y la idempotencia juntas implican que la media de un conjunto siempre se encuentra entre los extremos del conjunto.
Las medias armónica y aritmética son duales recíprocos entre sí para argumentos positivos:
mientras que la media geométrica es su propio dual recíproco:
Desigualdades entre medios
Hay un orden en estos medios (si todos los son positivos)
con igualdad si y solo si el son todos iguales.
Esta es una generalización de la desigualdad de medias aritméticas y geométricas y un caso especial de desigualdad para medias generalizadas . La demostración se sigue de la desigualdad media aritmético-geométrica ,, y dualidad recíproca ( y son también recíprocos duales entre sí).
El estudio de las medias pitagóricas está estrechamente relacionado con el estudio de las funciones de mayorización y Schur-convexas . Las medias armónica y geométrica son funciones simétricas cóncavas de sus argumentos y, por tanto, Schur-cóncavas, mientras que la media aritmética es una función lineal de sus argumentos, tanto cóncavas como convexas.
Historia
Casi todo lo que sabemos sobre los medios pitagóricos provino de manuales de aritmética escritos en el siglo I y II. Nicomaco de Gerasa dice que fueron "reconocidos por todos los antiguos, Pitágoras, Platón y Aristóteles". Su primer uso conocido es un fragmento del filósofo pitagórico Arquitas de Tarento :
“Hay tres medios en la música: uno es aritmético, el segundo es el geométrico, el tercero es subcontrario, lo que ellos llaman armónico. La media es aritmética cuando tres términos están en proporción tal que el exceso por el cual el primero excede al segundo es aquel en el que el segundo excede al tercero. En esta proporción resulta que el intervalo de los términos mayores es menor, pero el de los términos menores mayor. La media es la geométrica cuando son tales que así como la primera es para la segunda, la segunda es para la tercera. De estos términos, el mayor y el menor tienen el mismo intervalo entre ellos. Subcontrario, que llamamos armónico, es la media cuando son tales que, por cualquier parte de sí mismo, el primer término excede al segundo, por esa parte del tercero el término medio excede al tercero. Resulta que en esta proporción el intervalo entre los términos mayores es mayor y el intervalo entre los términos menores es menor ”. [3]
El nombre "medio armónico", según Iamblichus , fue acuñado por Archytas e Hippasus . Los medios de Pitágoras también aparecen en Platón 's Timeo . Otra evidencia de su uso temprano es un comentario de Pappus .
Era [ . . . ] Theaetetus que distinguió los poderes que son conmensurables en longitud de los que son inconmensurables, y que dividió las líneas irracionales más generalmente conocidas de acuerdo con los diferentes medios, asignando las líneas mediales a la geometría, el binomio a la aritmética y el apóstomo a la armonía, como lo afirma Eudemus , el peripatético. [4]
El término "media" (μεσότης, mesótēs en griego antiguo) aparece en los manuales de aritmética neopitagórica en relación con el término "proporción" (ἀναλογία, analogía en griego antiguo). [ cita requerida ]
Ver también
Referencias
- ^ Heath, Thomas. Historia de las matemáticas griegas antiguas .
- ^ Si AC = una y BC = b . OC = AM de una y b , y el radio r = QO = OG.
Usando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Usando el teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM .
Usando triángulos similares ,HC/GC = GC/jefe ∴ HC = GC²/jefe= HM . - ^ Huffman, Carl (2005). Arquitas de Tarento: rey pitagórico, filósofo y matemático . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 163. ISBN 1139444077.
- ^ Huffman, Carl (2014). Una historia del pitagorismo . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 168. ISBN 1139915983.
enlaces externos
- Cantrell, David W. "Medios pitagóricos" . MathWorld .