Problema de Minkowski

Constructing a strictly convex compact surface with specified Gaussian curvature

En geometría diferencial , el problema de Minkowski , llamado así por Hermann Minkowski , pide la construcción de una superficie compacta S estrictamente convexa cuya curvatura gaussiana está especificada. ^[1] Más precisamente, la entrada al problema es una función real estrictamente positiva ƒ definida en una esfera, y la superficie que se va a construir debe tener una curvatura gaussiana ƒ ( n ( x )) en el punto x , donde n ( x ) denota la normal a S en  x . Eugenio Calabi afirmó: "Desde el punto de vista geométrico, [el problema de Minkowski] es la Piedra de Rosetta , a partir de la cual se pueden resolver varios problemas relacionados". ^[2]

En total generalidad, el problema de Minkowski pide condiciones necesarias y suficientes en una medida de Borel no negativa en la esfera unitaria S ^n-1 para que sea la medida del área de superficie de un cuerpo convexo en . Aquí, la medida del área de superficie S _K de un cuerpo convexo K es el avance de la medida de Hausdorff (n-1) dimensional restringida al límite de K a través del mapa de Gauss . El problema de Minkowski fue resuelto por Hermann Minkowski , Aleksandr Danilovich Aleksandrov , Werner Fenchel y Børge Jessen :${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^[3] una medida de Borel μ en la esfera unitaria es la medida del área de superficie de un cuerpo convexo si y solo si μ tiene un centroide en el origen y no está concentrado en una gran subesfera. Entonces, el cuerpo convexo se determina de forma única por μ hasta las traslaciones.

El problema de Minkowski, a pesar de su claro origen geométrico, aparece en muchos lugares. El problema de la radiolocalización se reduce fácilmente al problema de Minkowski en el espacio tridimensional euclidiano : restauración de la forma convexa sobre la curvatura de la superficie de Gauss dada. El problema inverso de la difracción de onda corta se reduce al problema de Minkowski. El problema de Minkowski es la base de la teoría matemática de la difracción , así como de la teoría física de la difracción.

En 1953 Louis Nirenberg publicó las soluciones de dos problemas abiertos de larga data, el problema de Weyl y el problema de Minkowski en el espacio tridimensional euclidiano. La solución de L. Nirenberg del problema de Minkowski fue un hito en la geometría global. Ha sido seleccionado para ser el primer recipiente de la Medalla Chern (en 2010) por su papel en la formulación de la teoría moderna de ecuaciones diferenciales parciales elípticas no lineales, particularmente para resolver el problema de Weyl y los problemas de Minkowski en Euclidean 3- espacio. ^[4]

AV Pogorelov recibió el Premio Estatal de Ucrania (1973) por resolver el problema multidimensional de Minkowski en los espacios euclidianos. Pogorelov resolvió el problema de Weyl en el espacio riemanniano en 1969. ^[5]

El trabajo conjunto de Shing-Tung Yau con Shiu-Yuen Cheng da una prueba completa del problema de Minkowski de dimensiones superiores en los espacios euclidianos. Shing-Tung Yau recibió la Medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos en Varsovia en 1982 por su trabajo en geometría diferencial global y ecuaciones diferenciales parciales elípticas , particularmente por resolver problemas tan difíciles como la conjetura de Calabi de 1954 y un problema de Hermann Minkowski. en espacios euclidianos sobre el problema de Dirichlet para la ecuación real de Monge-Ampère . ^[6]

Referencias

1. Minkowski, H. (1903). "Volumen und Oberfläche" . Mathematische Annalen . 57 (4): 447–495. doi : 10.1007 / BF01445180 .
2. Calabi, Eugenio (1979), "Revisión del problema multidimensional de Minkowski , por Aleksey Vasil'yevich Pogorelov", Boletín de la American Mathematical Society , 1 : 636–639, doi : 10.1090 / S0273-0979-1979-14645-7 , MR 1567159 .
3. Schneider, Rolf (1993), Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski , Cambridge: Cambridge University Press
4. Nirenberg, L. (1953). "Los problemas de Weyl y Minkowski en geometría diferencial en las grandes". Comm. Pure Appl. Matemáticas . 6 (3): 337–394. doi : 10.1002 / cpa.3160060303 . Señor 0058265 . 
5. Pogorelov, AV (1979) El problema multidimensional de Minkowsky , Washington: Scripta, ISBN 0470-99358-8 MR 0478079 
6. Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung (1976). "Sobre la regularidad de la solución del problema de Minkowski n-dimensional". Comm. Pure Appl. Matemáticas. 29 (5): 495–516. doi : 10.1002 / cpa.3160290504 .

Otras lecturas

• Herbert Busemann (1959) Minkowski y problemas relacionados para superficies convexas con límites , Michigan Mathematical Journal 6: 259–66 MR 0108829 vía Proyecto Euclid