Gerhard Huisken (nacido el 20 de mayo de 1958) es un matemático alemán cuya investigación se centra en la geometría diferencial y las ecuaciones diferenciales parciales . Es conocido por sus contribuciones fundamentales a la teoría del flujo de curvatura media , incluida la fórmula de monotonicidad de Huisken , que lleva su nombre. Con Tom Ilmanen, demostró una versión de la desigualdad de Penrose de Riemann , que es un caso especial de la conjetura de Penrose más general en la relatividad general .
Gerhard Huisken | |
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![]() Gerhard Huisken en 2017 | |
Nació | |
Nacionalidad | alemán |
alma mater | Universidad de Heidelberg |
Carrera científica | |
Campos | Matemáticas |
Instituciones | Universidad de Tübingen |
Asesor de doctorado | Claus Gerhardt |
Estudiantes de doctorado | Ben Andrews Simon Brendle |
La vida
Después de terminar la escuela secundaria en 1977, Huisken tomó estudios de matemáticas en la Universidad de Heidelberg . En 1982, un año después de graduarse, completó su doctorado en la Universidad de Heidelberg, bajo la dirección de Claus Gerhardt. El tema de su disertación fueron las ecuaciones diferenciales parciales no lineales ( Reguläre Kapillarflächen in negativen Gravitationsfeldern ).
De 1983 a 1984, Huisken fue investigador en el Centro de Análisis Matemático de la Universidad Nacional de Australia (ANU) en Canberra. Allí, se centró en la geometría diferencial , en particular los problemas de los flujos de curvatura media y las aplicaciones en la relatividad general . En 1985, regresó a la Universidad de Heidelberg, obteniendo su habilitación en 1986. Después de algún tiempo como profesor invitado en la Universidad de California, San Diego , regresó a ANU de 1986 a 1992, primero como profesor, luego como profesor. Lector. En 1991, fue profesor invitado en la Universidad de Stanford . De 1992 a 2002, Huisken fue profesor titular en la Universidad de Tübingen , y fue decano de la facultad de matemáticas de 1996 a 1998. De 1999 a 2000, fue profesor invitado en la Universidad de Princeton .
En 2002, Huisken se convirtió en director del Instituto Max Planck de Física Gravitacional (Instituto Albert Einstein) en Potsdam y, al mismo tiempo, en profesor honorario de la Universidad Libre de Berlín . En abril de 2013, asumió el cargo de director en el Instituto de Investigación Matemática de Oberwolfach , junto con una cátedra en la Universidad de Tübingen. Sigue siendo un miembro científico externo del Instituto Max Planck de Física Gravitacional.
Los estudiantes de doctorado de Huisken incluyen a Ben Andrews y Simon Brendle , entre otros veinticinco.
Trabaja
El trabajo de Huisken trata de ecuaciones diferenciales parciales , geometría diferencial y sus aplicaciones en física . Numerosos fenómenos de la física matemática y la geometría están relacionados con superficies y subvariedades . Un tema dominante del trabajo de Huisken ha sido el estudio de la deformación de tales superficies, en situaciones donde las reglas de deformación están determinadas por la geometría de esas superficies. Estos procesos se rigen por ecuaciones diferenciales parciales.
Las contribuciones de Huisken al flujo de curvatura media son particularmente fundamentales. A través de su trabajo, se comprende en gran medida el flujo de curvatura media de las hipersuperficies en varios entornos convexos . Su descubrimiento de la fórmula de la monotonicidad de Huisken , válida para los flujos de curvatura media general, es una herramienta particularmente importante.
En el estudio matemático de la relatividad general , Huisken y Tom Ilmanen ( ETH Zurich ) pudieron probar un caso especial significativo de la desigualdad de Penrose de Riemann . Su método de prueba también hizo una contribución decisiva al flujo de curvatura media inversa . Hubert Bray más tarde demostró una versión más general de su resultado con métodos alternativos. La versión general de la conjetura, que trata sobre agujeros negros u horizontes aparentes en la geometría de Lorentz , sigue siendo un problema abierto (a partir de 2020).
Flujo de curvatura media
Huisken es ampliamente conocido por su trabajo fundamental sobre el flujo de curvatura media de las hipersuperficies . En 1984, adaptó el trabajo de Richard Hamilton sobre el flujo de Ricci a la configuración del flujo de curvatura media, demostrando que una normalización del flujo que conserva el área de la superficie deformará cualquier hipersuperficie convexa cerrada lisa del espacio euclidiano en una esfera redonda. [1] [H84] La principal diferencia entre su trabajo y el de Hamilton es que, a diferencia del trabajo de Hamilton, la ecuación relevante en la prueba de la "estimación de pellizco" no se ajusta al principio máximo . En cambio, Huisken hizo uso de métodos integrales iterativos, siguiendo el trabajo anterior de los analistas Ennio De Giorgi y Guido Stampacchia . En 1987, Huisken adaptó sus métodos para considerar un flujo alternativo impulsado por una "curvatura media" para hiperesuperficies cerradas en el espacio euclidiano, en el que el volumen encerrado por la superficie se mantiene constante; el resultado es directamente análogo. [H87] De manera similar al resultado de Hamilton, los resultados de Huisken pueden verse como pruebas de que cualquier hipersuperficie convexa cerrada lisa del espacio euclidiano es difeomórfica a una esfera, y es el límite de una región que es difeomórfica a una bola. Sin embargo, ambos resultados pueden probarse por medios más elementales utilizando el mapa de Gauss .
En 1986, Huisken amplió los cálculos de su demostración para considerar las hipersuperficies en las variedades riemannianas generales . [H86] Su resultado dice que si la hipersuperficie es suficientemente convexa en relación con la geometría de la variedad de Riemann, entonces el flujo de curvatura media la contraerá hasta un punto, y que una normalización del área de la superficie en coordenadas geodésicas normales dará una deformación suave. a una esfera en el espacio euclidiano (representado por las coordenadas). Esto muestra que tales hipersuperficies son difeomórficas a la esfera, y que son el límite de una región en la variedad de Riemann que es difeomórfica a una bola. En esta generalidad, no hay una prueba simple usando el mapa de Gauss.
Siguiendo el trabajo de Yoshikazu Giga y Robert Kohn que hizo un uso extensivo de la energía de Dirichlet ponderada por exponenciales, Huisken demostró en 1990 una identidad integral, conocida como fórmula de monotonicidad de Huisken , que muestra que, bajo el flujo de curvatura media, la integral de la " al revés "El núcleo de calor euclidiano sobre la hipersuperficie en evolución siempre no aumenta. [2] [3] [H90] Posteriormente amplió su fórmula para permitir la codimensión general y soluciones positivas generales de la ecuación de calor "al revés" ; la monotonicidad en esta generalidad utiliza de manera crucial la estimación de la matriz Li-Yau de Richard Hamilton . [H93] [4] Hamilton también dio una extensión al entorno riemanniano. [5] Las ideas de Huisken y Hamilton fueron posteriormente adaptadas por Grigori Perelman a la configuración de la ecuación de calor "al revés" para las formas de volumen a lo largo del flujo de Ricci . [6]
Huisken y Klaus Ecker hicieron uso repetido del resultado de la monotonicidad para mostrar que, para una cierta clase de hipersuperficies gráficas no compactas en el espacio euclidiano, el flujo de curvatura media existe para todo el tiempo positivo y deforma cualquier superficie de la clase a una solución autoexpansible de el flujo de curvatura media. [EH89] Una solución de este tipo se mueve únicamente mediante constantes recalculaciones de una única hipersuperficie. Haciendo uso de técnicas de principio máximo , también pudieron obtener estimaciones derivadas puramente locales, aproximadamente en paralelo con las obtenidas anteriormente por Wan-Xiong Shi para el flujo de Ricci. [7] [EH91]
Dada una singularidad de tiempo finito del flujo de curvatura media, hay varias formas de realizar recalificaciones microscópicas para analizar la geometría local en regiones cercanas a puntos de gran curvatura . Basado en su fórmula de monotonicidad, Huisken demostró que muchas de estas regiones, específicamente las conocidas como singularidades de tipo I , se modelan de manera precisa mediante soluciones auto-retráctiles del flujo de curvatura media. [H90]
Ahora existe una comprensión razonablemente completa del proceso de cambio de escala en el contexto de los flujos de curvatura media que solo involucran hipersuperficies cuya curvatura media es estrictamente positiva. Siguiendo el trabajo provisional de Huisken, Tobias Colding y William Minicozzi han demostrado que (con algunas condiciones técnicas) las únicas soluciones autorretráctiles de flujo de curvatura media que tienen una curvatura media no negativa son los cilindros redondos, lo que da una imagen local completa del tipo I singularidades en la configuración "media-convexa". [H90] [H93] [8] En el caso de otras regiones singulares, conocidas como singularidades de tipo II , Richard Hamilton desarrolló métodos de cambio de escala en el entorno del flujo de Ricci que se pueden trasplantar al flujo de curvatura media. [9] Modificando los métodos integrales que desarrolló en 1984, Huisken y Carlo Sinestrari llevaron a cabo un elaborado argumento inductivo sobre los polinomios simétricos elementales de la segunda forma fundamental para mostrar que cualquier modelo de singularidad resultante de tales recalificaciones debe ser un flujo de curvatura media que se mueve trasladando una única hipersuperficie convexa en alguna dirección. [HSS99a] [HS99b] Este paso de la convexidad media a la convexidad total es comparable con la estimación mucho más fácil de Hamilton-Ivey para el flujo de Ricci, que dice que cualquier modelo de singularidad de un flujo de Ricci en un colector cerrado de 3 debe tener una curvatura seccional no negativa .
Flujo de curvatura media inversa
En la década de 1970, los físicos Robert Geroch , Pong-Soo Jang y Robert Wald desarrollaron ideas que conectaban el comportamiento asintótico del flujo de curvatura media inversa con la validez de la conjetura de Penrose, que relaciona la energía de un espacio-tiempo asintóticamente plano con el tamaño del agujeros negros que contiene. [10] [11] Esto puede verse como una agudización o cuantificación del teorema de la energía positiva , que proporciona la afirmación más débil de que la energía no es negativa.
En la década de 1990, Yun Gang Chen, Yoshikazu Giga y Shun'ichi Goto, e independientemente Lawrence Evans y Joel Spruck , desarrollaron una teoría de soluciones débiles para el flujo de curvatura media considerando conjuntos de niveles de soluciones de una determinada ecuación diferencial parcial elíptica . [12] [13] Tom Ilmanen avanzó en la comprensión de la teoría de tales ecuaciones elípticas, mediante aproximaciones mediante ecuaciones elípticas de carácter más estándar. [14] Huisken e Ilmanen fueron capaces de adaptar estos métodos al flujo de curvatura media inversa, haciendo así la metodología de Geroch, Jang y Wald matemáticamente precisa. Su resultado trata con variedades riemannianas tridimensionales no compactas con límite de curvatura escalar no negativa cuyo límite es mínimo , relacionando la geometría cercana al infinito con el área de superficie del componente límite más grande. [HI01] Hubert Bray , al hacer uso del teorema de masa positiva en lugar del flujo de curvatura media inversa, pudo mejorar la desigualdad de Huisken e Ilmanen para involucrar el área de superficie total del límite. [15]
Honores y premios
Huisken es un miembro de la Academia de Ciencias de Heidelberg y Humanidades , de la Academia de Berlín-Brandeburgo de Ciencias y Humanidades , de la Academia de Ciencias Leopoldina , y la Sociedad Americana de Matemáticas . [dieciséis]
- 1991: Medalla de la Sociedad Matemática Australiana
- 1998: ponente invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos [17]
- 2002: Conferencia Gauss de la Sociedad Matemática Alemana
- 2003: Premio Gottfried Wilhelm Leibniz
Publicaciones importantes
H84. | Gerhard Huisken. Flujo por curvatura media de superficies convexas en esferas. J. Geom diferencial. 20 (1984), núm. 1, 237–266. doi: 10.4310 / jdg / 1214438998 |
H86. | Gerhard Huisken. Contracción de hipersuperficies convexas en variedades de Riemann por su curvatura media. Inventar. Matemáticas. 84 (1986), núm. 3, 463–480. doi: 10.1007 / BF01388742 |
H87. | Gerhard Huisken. El volumen que conserva el flujo de curvatura media. J. Reine Angew. Matemáticas. 382 (1987), 35–48. doi: 10.1515 / crll.1987.382.35 |
EH89. | Klaus Ecker y Gerhard Huisken. Evolución de la curvatura media de gráficos completos. Ana. de Matemáticas. (2) 130 (1989), núm. 3, 453–471. doi: 10.2307 / 1971452 |
H90. | Gerhard Huisken. Comportamiento asintótico para singularidades del flujo de curvatura media. J. Geom diferencial. 31 (1990), núm. 1, 285-299. doi: 10.4310 / jdg / 1214444099 |
EH91. | Klaus Ecker y Gerhard Huisken. Estimaciones interiores para hipersuperficies que se mueven por curvatura media. Inventar. Matemáticas. 105 (1991), núm. 3, 547–569. doi: 10.1007 / BF01232278 |
H93. | Gerhard Huisken. Comportamiento local y global de hipersuperficies que se mueven por curvatura media. Proc. Simpos. Pure Math., 54, Part 1 (1993), págs. 175-191. Geometría diferencial: ecuaciones diferenciales parciales en colectores (Actas del Instituto de Investigación de Verano AMS sobre Geometría Diferencial, celebrado en la Universidad de California, Los Ángeles, California, del 8 al 28 de julio de 1990). Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI. Editado por Robert Greene y ST Yau. doi: 10.1090 / pspum / 054.1 |
HS99a. | Gerhard Huisken y Carlo Sinestrari. Singularidades de flujo de curvatura media para superficies convexas medias. Calc. Var. Ecuaciones diferenciales parciales 8 (1999), no. 1, 1-14. doi: 10.1007 / s005260050113 |
HS99b. | Gerhard Huisken y Carlo Sinestrari. Estimaciones de convexidad para el flujo de curvatura media y singularidades de superficies convexas medias. Acta Math. 183 (1999), núm. 1, 45–70. doi: 10.1007 / BF02392946 |
HI01. | Gerhard Huisken y Tom Ilmanen. El flujo de curvatura media inversa y la desigualdad de Riemannian Penrose. J. Geom diferencial. 59 (2001), núm. 3, 353–437. doi: 10.4310 / jdg / 1090349447 |
Referencias
- ^ Richard S. Hamilton. Tres variedades con curvatura de Ricci positiva. J. Diferencial Geometry 17 (1982), no. 2, 255-306.
- ^ Yoshikazu Giga y Robert V. Kohn. Ampliación asintóticamente auto-similar de ecuaciones de calor semilineales. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 38 (1985), núm. 3, 297–319.
- ^ Yoshikazu Giga y Robert V. Kohn. Caracterización de la explosión mediante variables de similitud. Indiana Univ. Matemáticas. J. 36 (1987), núm. 1, 1–40.
- ^ Richard S. Hamilton. Una estimación de la matriz de Harnack para la ecuación de calor. Comm. Anal. Geom. 1 (1993), núm. 1, 113–126.
- ^ Richard S. Hamilton. Fórmulas de monotonicidad para flujos parabólicos en colectores. Comm. Anal. Geom. 1 (1993), núm. 1, 127-137.
- ^ Grisha Perelman. La fórmula de la entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas. arXiv : matemáticas / 0211159
- ^ Wan-Xiong Shi. Deformación de la métrica en variedades riemannianas completas. J. Geom diferencial. 30 (1989), núm. 1, 223-301.
- ^ Tobias H. Colding y William P. Minicozzi, II. Flujo de curvatura media genérico I: singularidades genéricas. Ana. de Matemáticas. (2) 175 (2012), núm. 2, 755–833.
- ^ Richard S. Hamilton. La formación de singularidades en el flujo de Ricci. Encuestas en geometría diferencial, Vol. II (Cambridge, MA, 1993), págs. 7–136. En t. Prensa, Cambridge, MA, 1995.
- ^ Robert Geroch. Extracción de energía. Ana. Nueva York Acad. Sci. 224 (1973), 108-117.
- ^ Pong Soo Jang y Robert M. Wald. La conjetura de la energía positiva y la hipótesis del censor cósmico. J. Phys. Matemática. 18 (1977), núm. 1, 41–44.
- ^ Yun Gang Chen, Yoshikazu Giga y Shun'ichi Goto. Singularidad y existencia de soluciones de viscosidad de ecuaciones de flujo de curvatura media generalizada. J. Geom diferencial. 33 (1991), núm. 3, 749–786.
- ^ LC Evans y J. Spruck. Movimiento de conjuntos de nivel por curvatura media. Geom diferencial IJ. 33 (1991), núm. 3, 635–681.
- ^ Tom Ilmanen. Regularización elíptica y regularidad parcial del movimiento por curvatura media. Mem. Amer. Matemáticas. Soc. 108 (1994), núm. 520, x + 90 págs.
- ^ Hubert L. Bray. Demostración de la desigualdad de Riemannian Penrose mediante el teorema de masa positiva. J. Geom diferencial. 59 (2001), núm. 2, 177-267.
- ^ Lista de miembros de la American Mathematical Society , consultado el 7 de julio de 2013.
- ^ Huisken, Gerhard (1998). "Evolución de hipersuperficies por su curvatura en variedades riemannianas" . Doc. Matemáticas. (Bielefeld) Extra Vol. ICM Berlín, 1998, vol. II . págs. 349–360.
enlaces externos
- Literatura de Gerhard Huisken y sobre ella en el catálogo de la Biblioteca Nacional de Alemania
- Premio Laudatio para Leibniz
- Página de Huisken en el MPI de Física Gravitacional , Golm Potsdam (Englisch)
Medios relacionados con Gerhard Huisken (matemático) en Wikimedia Commons