El lema de Goursat para grupos se puede enunciar de la siguiente manera.
- Dejar , ser grupos, y dejar ser un subgrupo de tal que las dos proyecciones y son sobreyectivos (es decir, es un producto subdirecto de y ). Dejar ser el núcleo de y el núcleo de . Uno puede identificar como un subgrupo normal de , y como un subgrupo normal de . Entonces la imagen de en es la gráfica de un isomorfismo.
Una consecuencia inmediata de esto es que el producto subdirecto de dos grupos puede describirse como un producto de fibra y viceversa.
Note que si es cualquier subgrupo de (las proyecciones y no necesita ser sobreyectiva), entonces las proyecciones de sobre y son sobreyectivos. Entonces uno puede aplicar el lema de Goursat a.
Para motivar la prueba, considere la rebanada en , por cualquier arbitrario . Por la sobrejetividad del mapa de proyección para, esto tiene una intersección no trivial con . Entonces, esencialmente, esta intersección representa exactamente una clase lateral particular de. De hecho, si tuviéramos elementos distintos con y , luego siendo un grupo, lo entendemos , y por lo tanto, . Pero esto es una contradicción, ya que pertenecen a distintas clases sociales de , y por lo tanto , y así el elemento no puede pertenecer al kernel del mapa de proyección de a . Así, la intersección de con cada corte "horizontal" isomorfo a es exactamente una clase lateral particular de en . Por un argumento idéntico, la intersección de con cada corte "vertical" isomorfo a es exactamente una clase lateral particular de en .
Todas las clases de están presentes en el grupo , y por el argumento anterior, existe una correspondencia exacta 1: 1 entre ellos. La siguiente prueba muestra además que el mapa es un isomorfismo.
Prueba
Antes de continuar con la prueba , y se muestran normales en y , respectivamente. Es en este sentido que y puede identificarse como normal en G y G ' , respectivamente.
Desde es un homomorfismo , su núcleo N es normal en H . Además, dado, existe , desde es sobreyectiva. Por lo tanto,es normal en G , a saber:
- .
Resulta que es normal en desde
- .
La prueba de que es normal en procede de manera similar.
Dada la identificación de con , podemos escribir y en vez de y , . Del mismo modo, podemos escribir y , .
A la prueba. Considere el mapa definido por . La imagen de debajo de este mapa está . Desdees sobreyectiva, esta relación es el gráfico de una función bien definida previsto para cada , esencialmente una aplicación de la prueba de la línea vertical .
Desde (Más propiamente, ), tenemos . Por lo tanto, de donde , es decir, .
Además, para cada tenemos . De ello se deduce que esta función es un homomorfismo de grupo.
Por simetría, es la gráfica de un homomorfismo bien definido . Estos dos homomorfismos son claramente inversos entre sí y, por tanto, son isomorfismos.