En álgebra abstracta , una serie de composición proporciona una forma de dividir una estructura algebraica , como un grupo o un módulo , en piezas simples. La necesidad de considerar series de composición en el contexto de módulos surge del hecho de que muchos módulos que ocurren naturalmente no son semisimple , por lo tanto, no se pueden descomponer en una suma directa de módulos simples . Una serie de composición de un módulo M es una filtración creciente finita de M por submódulos de manera que los cocientes sucesivos son simplesy sirve como reemplazo de la descomposición de suma directa de M en sus constituyentes simples.
Es posible que una serie de composición no exista y, cuando lo haga, no es necesario que sea única. Sin embargo, un grupo de resultados conocido bajo el nombre general de teorema de Jordan-Hölder afirma que siempre que existen series de composición, las clases de isomorfismo de piezas simples (aunque, quizás, no su ubicación en la serie de composición en cuestión) y sus multiplicidades están determinadas unívocamente. Por tanto, las series de composición se pueden utilizar para definir invariantes de grupos finitos y módulos artinianos .
Un concepto relacionado pero distinto es una serie principal : una serie de composición es una serie subnormal máxima , mientras que una serie principal es una serie normal máxima .
Para grupos
Si un grupo G tiene un subgrupo normal N , entonces el grupo de factor de G / N puede estar formado, y algunos aspectos del estudio de la estructura de G puede ser degradado por el estudio de los grupos "pequeños" G / N y N . Si G no tiene un subgrupo normal que sea diferente de G y del grupo trivial, entonces G es un grupo simple . De lo contrario, naturalmente surge la pregunta de si G se puede reducir a simples "piezas" y, de ser así, ¿existen características únicas de la forma en que esto se puede hacer?
Más formalmente, una serie de composición de un grupo G es una serie subnormal de longitud finita
con inclusiones estrictas, de modo que cada H i es un subgrupo normal estricto máximo de H i +1 . De manera equivalente, una serie de composición es una serie subnormal tal que cada grupo de factores H i +1 / H i es simple . Los grupos de factores se denominan factores de composición .
Una serie subnormal es una serie de composición si y solo si tiene una longitud máxima. Es decir, no hay subgrupos adicionales que puedan "insertarse" en una serie de composición. La longitud n de la serie se llama longitud de composición .
Si existe una serie de composición para un grupo G , entonces cualquier serie subnormal de G puede refinarse a una serie de composición, informalmente, insertando subgrupos en la serie hasta la máxima. Todo grupo finito tiene una serie de composición, pero no todo grupo infinito tiene una. Por ejemplo, no tiene series de composición.
Unicidad: teorema de Jordan-Hölder
Un grupo puede tener más de una serie de composición. Sin embargo, el teorema de Jordan-Hölder (llamado así por Camille Jordan y Otto Hölder ) establece que cualesquiera dos series de composición de un grupo dado son equivalentes. Es decir, tienen la misma longitud de composición y los mismos factores de composición, hasta permutación e isomorfismo . Este teorema se puede demostrar utilizando el teorema de refinamiento de Schreier . El teorema de Jordan-Hölder también es válido para series transfinitas de composición ascendente , pero no para series transfinitas de composición descendente ( Birkhoff 1934 ). Baumslag (2006) ofrece una breve prueba del teorema de Jordan-Hölder al cruzar los términos de una serie subnormal con los de la otra serie.
Ejemplo
Para un grupo cíclico de orden n , las series de composición corresponden a factorizaciones primas ordenadas de n , y de hecho da una demostración del teorema fundamental de la aritmética .
Por ejemplo, el grupo cíclico posee y como tres series de composición diferente. Las secuencias de factores de composición obtenidas en los respectivos casos son y
Para módulos
La definición de series de composición para módulos restringe toda la atención a los submódulos, ignorando todos los subgrupos aditivos que no son submódulos. Dado un anillo R y un R -módulo M , una serie de composición para M es una serie de submódulos
donde todas las inclusiones son estrictas y J k es un submódulo máximo de J k +1 para cada k . En cuanto a los grupos, si M tiene una serie de composición, entonces cualquier serie finita estrictamente creciente de submódulos de M puede refinarse a una serie de composición, y dos series de composición cualesquiera para M son equivalentes. En ese caso, los módulos de cociente (simple) J k +1 / J k se conocen como los factores de composición de M, y se cumple el teorema de Jordan-Hölder, lo que garantiza que el número de ocurrencias de cada tipo de isomorfismo del módulo R simple sea un factor de composición no depende de la elección de la serie de composición.
Es bien sabido [1] que un módulo tiene una serie de composición finita si y solo si es tanto un módulo artiniano como un módulo noetheriano . Si R es un anillo artiniano , entonces cada módulo R finitamente generado es artiniano y noetheriano, y por lo tanto tiene una serie de composición finita. En particular, para cualquier campo K , cualquier módulo de dimensión finita para un álgebra de dimensión finita sobre K tiene una serie de composición, única hasta la equivalencia.
Generalización
Los grupos con un conjunto de operadores generalizan las acciones de grupo y las acciones de llamada en un grupo. Se puede seguir un enfoque unificado tanto para los grupos como para los módulos, como en ( Isaacs 1994 , Cap. 10), simplificando parte de la exposición. Se considera que el grupo G está siendo actuado por elementos (operadores) de un conjunto Ω . La atención se limita por completo a los subgrupos invariantes bajo la acción de elementos de Ω , llamados Ω -subgrupos. Por lo tanto, las series de composición Ω deben usar solo subgrupos Ω , y los factores de composición Ω solo deben ser Ω simples. Los resultados estándar anteriores, como el teorema de Jordan-Hölder, se establecen con demostraciones casi idénticas.
Los casos especiales recuperados incluyen cuando Ω = G de modo que G actúa sobre sí mismo. Un ejemplo importante de esto es cuando los elementos de G actúan por conjugación, de modo que el conjunto de operadores consiste en los automorfismos internos . Una serie de composición bajo esta acción es exactamente una serie principal . Las estructuras de los módulos son un caso de acciones Ω donde Ω es un anillo y se satisfacen algunos axiomas adicionales.
Para objetos en una categoría abeliana
Una serie de composición de un objeto A en una categoría abeliana es una secuencia de subobjetos
tal que cada objeto cociente X i / X i + 1 es simple (para 0 ≤ i < n ). Si A tiene una serie de composición, el número entero n sólo depende de A y es llamado el longitud de A . [2]
Ver también
- Teoría de Krohn-Rhodes , un análogo de semigrupo
- Teorema de refinamiento de Schreier , cualesquiera dos series subnormales equivalentes tienen refinamientos de series de composición equivalente
- Lema de Zassenhaus , utilizado para demostrar el teorema de refinamiento de Schreier
Notas
- ^ Isaacs 1994 , p.146.
- ^ Kashiwara y Schapira , 2006 , ejercicio 8.20
Referencias
- Birkhoff, Garrett (1934), "Transfinite subgroup series" , Bulletin of the American Mathematical Society , 40 (12): 847–850, doi : 10.1090 / S0002-9904-1934-05982-2
- Baumslag, Benjamin (2006), "Una forma sencilla de demostrar el teorema de Jordan-Hölder-Schreier", American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi : 10.2307 / 27642092
- Isaacs, I. Martin (1994), Álgebra: Un curso de posgrado , Brooks / Cole, ISBN 978-0-534-19002-6
- Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Categorías y poleas