Gran antiprisma | |
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( Estructura alámbrica del diagrama de Schlegel ) | |
Tipo | Politopo uniforme 4 |
Índice uniforme | 47 |
Células | 100 + 200 ( 3.3.3 ) 20 ( 3.3.3.5 ) |
Caras | 20 {5} 700 {3} |
Bordes | 500 |
Vértices | 100 |
Figura de vértice | Sphenocorona |
Grupo de simetría | Grupo Coxeter disminuido iónico [[10,2 + , 10]] de orden 400 |
Símbolo de Schläfli | s {5} .s {5} (extendido) |
Propiedades | convexo |
Una red que muestra dos anillos separados de 10 antiprismas. 200 tetraedros (amarillos) están en contacto facial con los antiprismas y 100 tetraedros (rojos) contactan solo con otros tetraedros. |
En geometría , el gran antiprisma o antiprismoide doble pentagonal es un politopo 4 uniforme ( politopo uniforme 4 dimensional ) limitado por 320 células : 20 antiprismas pentagonales y 300 tetraedros . Es un 4-politopo uniforme anómalo, no Wythoffiano , descubierto en 1965 por Conway y Guy . [1] [2] Topológicamente, bajo su simetría más alta, los antiprismas pentagonales tienen simetría D 5d y hay dos tipos de tetraedros, uno con S 4simetría y uno con simetría C s .
Nombres Alternativos
- Antiprismoide doble pentagonal Norman W. Johnson
- Gap (Jonathan Bowers: gran antiprisma) [3]
Estructura
Se producen 20 antiprismas pentagonales apilados en dos anillos disjuntos de 10 antiprismas cada uno. Los antiprismas de cada anillo están unidos entre sí a través de sus caras pentagonales. Los dos anillos son mutuamente perpendiculares, en una estructura similar a un duoprisma .
Los 300 tetraedros unen los dos anillos entre sí y están dispuestos en una disposición bidimensional, topológicamente equivalente al 2-toro y la cresta del duocilindro . Estos se pueden dividir en tres conjuntos. 100 caras coincidentes con un anillo, 100 caras coincidentes con el otro anillo y 100 están centradas en el punto medio exacto del duocilindro y el borde coincide con ambos anillos. Este último conjunto forma un toro plano y se puede "desenrollar" en una matriz cuadrada plana de 10 × 10 de tetraedros que se encuentran sólo en sus bordes y vértices. Consulte la figura siguiente.
Además, los 300 tetraedros se pueden dividir en 10 hélices de Boerdijk-Coxeter separadas de 30 células cada una que se cierran entre sí. Los dos tubos de antiprisma pentagonal, más las hélices del 10 a. C., forman una fibración de Hopf discreta e irregular del gran antiprisma que Hopf asigna a las caras de un antiprisma pentagonal. Los dos tubos se asignan a las dos caras pentagonales y las hélices del 10 a. C. se asignan a las 10 caras triangulares.
La estructura del gran antiprisma es análoga a la de los antiprismas tridimensionales . Sin embargo, el gran antiprisma es el único análogo convexo uniforme del antiprisma en 4 dimensiones (aunque el de 16 celdas puede considerarse como un análogo regular del antiprisma digonal ). El único análogo antiprisma 4-dimensional uniforme no convexo utiliza antiprismas cruzados pentagrammicos en lugar de antiprismas pentagonales, y se denomina antiprismoide doble pentagrammico .
Figura de vértice
La figura del vértice del gran antiprisma es una esfenocorona o icosaedro regular disecado : un icosaedro regular con dos vértices adyacentes eliminados. En su lugar, 8 triángulos son reemplazados por un par de trapezoides, longitudes de borde φ, 1, 1, 1 (donde φ es la proporción áurea ), unidos a lo largo de su borde de longitud φ, para dar un tetradecaedro cuyas caras son los 2 trapecios. y los 12 triángulos equiláteros restantes .
12 ( 3.3.3 ) | 2 ( 3.3.3.5 ) | Iicosaedro regular disecado |
Construcción
El gran antiprisma se puede construir disminuyendo las 600 células : restando 20 pirámides cuyas bases son antiprismas pentagonales tridimensionales. Por el contrario, los dos anillos de antiprismas pentagonales en el gran antiprisma pueden estar triangulados por 10 tetraedros unidos a las caras triangulares de cada antiprisma, y un círculo de 5 tetraedros entre cada par de antiprismas, uniendo los 10 tetraedros de cada uno, produciendo 150 tetraedros por anillo. Estos, combinados con los 300 tetraedros que unen los dos anillos juntos, producen los 600 tetraedros de las 600 células.
Esta disminución se puede realizar eliminando dos anillos de 10 vértices de la celda de 600, cada uno de los cuales se encuentra en planos mutuamente ortogonales. Cada anillo de vértices eliminados crea una pila de antiprismas pentagonales en el casco convexo . Esta relación es análoga a cómo se puede construir un antiprisma pentagonal a partir de un icosaedro eliminando dos vértices opuestos, eliminando así 5 triángulos de los 'polos' opuestos del icosaedro, dejando los 10 triángulos ecuatoriales y dos pentágonos en la parte superior e inferior.
(El chaflán de 24 celdas también se puede construir mediante otra disminución de las 600 celdas, eliminando 24 pirámides icosaédricas. De manera equivalente, esto se puede realizar tomando el casco convexo de los vértices restantes después de 24 vértices, correspondientes a los de un 24 inscrito -celda , se eliminan de la celda 600).
Alternativamente, también se puede construir a partir del ditetragoltriado decagonal (el casco convexo de dos duoprismas 10-10 no uniformes perpendiculares donde la proporción de los dos decagones está en la proporción áurea ) mediante un proceso de alternancia . Los prismas decagonales se alternan en antiprismas pentagonales , los trapezoprismas rectangulares se alternan en tetraedros con dos nuevos tetraedros regulares (que representan una bipirámide triangular no coreálmica ) creados en los vértices eliminados. Ésta es la única solución uniforme para los antiprismoides dobles p-gonales junto con su conjugado, el antiprismoide doble pentagrammico del ditetragoltriado decagrammico.
600 celdas | Gran antiprisma |
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Avión de Coxeter H 4 | |
20-gonal | |
Plano de Coxeter H 3 (ligero desplazamiento) | |
Proyecciones
Estas son dos proyecciones en perspectiva, proyectando el politopo en una hiperesfera y aplicando una proyección estereográfica en el espacio tridimensional.
Estructura metálica, vista desde abajo de una de las columnas antiprisma pentagonales. | con caras triangulares transparentes |
Proyección ortográfica Centrada en el hiperplano de un antiprisma en uno de los dos anillos. | Proyección ortográfica 3D de 100 de 120 vértices de 600 celdas y 500 aristas {488 de 1/2 (3-Sqrt [5]) y 12 de 2 / (3 + Sqrt [5])}. |
Ver también
- 600 celdas
- Snub 24 celdas
- Politopo uniforme 4
- Duoprisma
- Duocilindro
Notas
- ^ JH Conway y MJT Guy : Politopos de Arquímedes en cuatro dimensiones , Actas del coloquio sobre convexidad en Copenhague, página 38 y 39, 1965. (Michael Guy es hijo de Richard K. Guy )
- ↑ Conway, 2008, p.402-403 The Grand Antiprism
- ^ Klitzing, Richard. "Gran antiprisma policora convexo 4D" .
Referencias
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] 2.8 El gran antiprisismo
- Policorón uniforme convexo anómalo - Modelo 47 , George Olshevsky.
- Klitzing, Richard. "Hueco de politopos (polychora) uniforme 4D" .
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26) El gran antiprisma
- Gran antiprisma y cuaterniones [1] Mehmet Koca, Mudhahir Al-Ajmi, Nazife Ozdes Koca (2009); Mehmet Koca y col. 2009 J. Phys. A: Matemáticas. Theor. 42 495201
enlaces externos
- In the Belly of the Grand Antiprism (sección central, que describe la analogía con el icosaedro y el antiprisma pentagonal)
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
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Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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