Giro CCW y CW |
Los bordes se pueden colorear en 6 grupos, 3 hélices principales (cian), con los bordes cóncavos formando una hélice de avance lento (magenta) y dos hélice hacia atrás (amarillo y naranja) |
La hélice de Boerdijk-Coxeter , llamada así por HSM Coxeter y AH Boerdijk , es un apilamiento lineal de tetraedros regulares , dispuestos de manera que los bordes del complejo que pertenecen a un solo tetraedro forman tres hélices entrelazadas . Hay dos formas quirales , con devanados en sentido horario o antihorario. A diferencia de cualquier otro apilamiento de sólidos platónicos, la hélice de Boerdijk-Coxeter no es repetitiva en rotación en el espacio tridimensional. Incluso en una cadena infinita de tetraedros apilados, no habrá dos tetraedros que tengan la misma orientación, porque el paso helicoidal por celda no es una fracción racional del círculo. Sin embargo, se han encontrado formas modificadas de esta hélice que son rotacionalmente repetitivas, [1] y en el espacio de 4 dimensiones esta hélice se repite en anillos de exactamente 30 células tetraédricas que teselan la superficie de 3 esferas de las 600 células , una de las seis policoras convexas regulares .
Buckminster Fuller lo nombró tetrahélice y los consideró con elementos tetraédricos regulares e irregulares. [2]
Geometría
Las coordenadas de los vértices de la hélice de Boerdijk-Coxeter compuesta de tetraedros con longitud de arista unitaria se pueden escribir en la forma
dónde , , y es un entero arbitrario. Los dos valores diferentes decorresponden a dos formas quirales. Todos los vértices están ubicados en el cilindro con radioa lo largo del eje z. Dado cómo se alternan los tetraedros, esto da un aparente giro decada dos tetraedros. Hay otro cilindro inscrito con radiodentro de la hélice. [3]
Arquitectura
El arte de la torre de Mito se basa en una hélice Boerdijk-Coxeter.
Geometría de mayor dimensión
Las 600 células se dividen en 20 anillos de 30 tetraedros , cada uno de los cuales es una hélice de Boerdijk-Coxeter . Cuando se superpone a la curvatura de 3 esferas, se vuelve periódica, con un período de diez vértices, que abarca las 30 celdas. El colectivo de tales hélices en las 600 celdas representa una discreta fibración de Hopf . Mientras que en 3 dimensiones los bordes son hélices, en la topología de 3 esferas impuesta son geodésicas y no tienen torsión . Se enrollan en espiral entre sí de forma natural debido a la fibración de Hopf. El colectivo de aristas forma otra fibración de Hopf discreta de 12 anillos con 10 vértices cada uno. Estos corresponden a anillos de 10 dodecaedros en el doble de 120 celdas.
Además, las 16 celdas se dividen en dos anillos de 8 tetraedros, cuatro bordes de largo, y las 5 celdas se dividen en un solo anillo degenerado de 5 tetraedros.
4-politopo | Anillos | Tetraedro / anillo | Longitudes de ciclo | Neto | Proyección |
---|---|---|---|---|---|
600 celdas | 20 | 30 | 30, 10 3 , 15 2 | ||
16 celdas | 2 | 8 | 8, 8, 4 2 | ||
5 celdas | 1 | 5 | (5, 5), 5 |
Hélices poliédricas relacionadas
Las pirámides cuadradas equiláteras también se pueden encadenar juntas como una hélice, con dos configuraciones de vértice , 3.4.3.4 y 3.3.4.3.3.4. Esta hélice existe como un anillo finito de 30 pirámides en un politopo de 4 dimensiones .
Y las pirámides pentagonales equiláteras se pueden encadenar con 3 configuraciones de vértice, 3.3.5, 3.5.3.5 y 3.3.3.5.3.3.5:
Ver también
Notas
Referencias
- Coxeter, HSM (1974). Politopos complejos regulares . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 052120125X.
- Boerdijk, AH (1952). "Algunas observaciones sobre el empaquetamiento compacto de esferas iguales". Philips Res. Rep . 7 : 303–313.
- Fuller, R. Buckminster (1975). Applewhite, EJ (ed.). Sinergética . Macmillan.
- Pugh, Anthony (1976). "5. Unión de poliedros §5.36 Tetrahelix". Poliedros: un enfoque visual . Prensa de la Universidad de California. pag. 53. ISBN 978-0-520-03056-5.
- Sadler, Garrett; Fang, Fang; Kovacs, Julio; Klee, Irwin (2013). "Modificación periódica de la hélice de Boerdijk-Coxeter (tetrahélice)". arXiv : 1302.1174v1 [ math.MG ].
- Señor, EA; Ranganathan, S. (2004). "La estructura de latón γ y la hélice de Boerdijk-Coxeter" (PDF) . Revista de sólidos no cristalinos . 334–335: 123–5. Código Bibliográfico : 2004JNCS..334..121L . doi : 10.1016 / j.jnoncrysol.2003.11.069 .
- Zhu, Yihan; Él, Jiating; Shang, Cheng; Miao, Xiaohe; Huang, Jianfeng; Liu, Zhipan; Chen, Hongyu; Han, Yu (2014). "Nanocables de oro quiral con estructura de Boerdijk-Coxeter-Bernal" . Mermelada. Chem. Soc . 136 (36): 12746–52. doi : 10.1021 / ja506554j . PMID 25126894 .
- Señor, Eric A .; Mackay, Alan L .; Ranganathan, S. (2006). "§4.5 La hélice de Boerdijk-Coxeter" . Nuevas geometrías para nuevos materiales . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 64. ISBN 978-0-521-86104-5.
- Sadoc, JF; Rivier, N. (1999). "Hélice de Boerdijk-Coxeter y hélices biológicas". El Diario Europea de Física B . 12 (2): 309–318. Código Bibliográfico : 1999EPJB ... 12..309S . doi : 10.1007 / s100510051009 . S2CID 92684626 .
enlaces externos
- Animación de la hélice de Boerdijk-Coxeter
- http://www.rwgrayprojects.com/rbfnotes/helix/helix01.html