En el área matemática de la teoría de grupos , el grupo Grigorchuk o el primer grupo Grigorchuk es un grupo generado finitamente construido por Rostislav Grigorchuk que proporcionó el primer ejemplo de un grupo generado finitamente de crecimiento intermedio (es decir, más rápido que el polinomio pero más lento que exponencial). . El grupo fue construido originalmente por Grigorchuk en un artículo de 1980 [1] y luego demostró en un artículo de 1984 [2] que este grupo tiene un crecimiento intermedio, proporcionando así una respuesta a un importante problema abierto planteado por John Milnor.en 1968. El grupo Grigorchuk sigue siendo un objeto clave de estudio en la teoría de grupos geométricos , particularmente en el estudio de los llamados grupos ramificados y grupos de autómatas, y tiene importantes conexiones con la teoría de los grupos de monodromía iterados . [3]
Historia y significado
El crecimiento de un grupo generado finita mide las asintóticas, comodel tamaño de una n- bola en el gráfico de Cayley del grupo (es decir, el número de elementos de G que se pueden expresar como palabras de longitud como máximo n en el conjunto generador de G ). El estudio de las tasas de crecimiento de grupos generados finitamente se remonta a la década de 1950 y está motivado en parte por la noción de entropía de volumen (es decir, la tasa de crecimiento del volumen de bolas) en el espacio de cobertura universal de una variedad compacta de Riemann en diferencial. geometría . Es obvio que la tasa de crecimiento de un grupo generado de forma finita es como mucho exponencial y también se comprendió desde el principio que los grupos nilpotentes generados de forma finita tienen un crecimiento polinomial. En 1968 John Milnor planteó una pregunta [4] sobre la existencia de un grupo de crecimiento intermedio generado finitamente , es decir, más rápido que cualquier función polinomial y más lento que cualquier función exponencial. Un resultado importante en el tema es el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial , obtenido por Gromov en 1981, que muestra que un grupo generado finitamente tiene crecimiento polinomial si y solo si este grupo tiene un subgrupo nilpotente de índice finito . Antes del trabajo de Grigorchuk, hubo muchos resultados que establecían una dicotomía de crecimiento (es decir, que el crecimiento es siempre polinomial o exponencial) para varias clases de grupos generados finitamente, como grupos lineales , grupos solubles , [5] [6] etc.
El grupo G de Grigorchuk se construyó en un artículo de 1980 de Rostislav Grigorchuk , [1] donde demostró que este grupo es infinito, periódico y residualmente finito . En un artículo posterior de 1984 [2] Grigorchuk demostró que este grupo tiene un crecimiento intermedio (este resultado fue anunciado por Grigorchuk en 1983). [7] Más precisamente, demostró que G tiene un crecimiento b ( n ) que es más rápido que pero mas lento que dónde . El límite superior fue posteriormente mejorado por Laurent Bartholdi [8] para
Un límite inferior de fue probado por Yurii Leonov . [9] Aún se desconocen las asintóticas precisas del crecimiento de G. Se conjetura que el límite
existe, pero incluso esto siguió siendo un gran problema abierto. Este problema fue resuelto en 2020 por Erschler y Zheng. [10] Muestran que el límite es igual a.
El grupo de Grigorchuk también fue el primer ejemplo de un grupo que es dócil pero no elementalmente dócil , respondiendo así a un problema planteado por Mahlon Day en 1957. [11]
Originalmente, el grupo G de Grigorchuk se construyó como un grupo de transformaciones que preservan la medida de Lebesgue en el intervalo unitario, pero posteriormente se encontraron descripciones más simples de G y ahora generalmente se presenta como un grupo de automorfismos del árbol binario regular infinito con raíces . El estudio del grupo de Grigorchuk informó en gran parte el desarrollo de la teoría de grupos ramificados, grupos autómatas y grupos auto-similares en las décadas de 1990 y 2000 y el grupo de Grigorchuk sigue siendo un objeto central en esta teoría. Recientemente , en el trabajo de Volodymyr Nekrashevych se han descubierto conexiones importantes entre esta teoría y la dinámica compleja, en particular la noción de grupos de monodromía iterados . [12] y otros.
Después del artículo de 1984 de Grigorchuk, hubo muchas ampliaciones y generalizaciones posteriores. [13] [14] [15] [16]
Definición
Aunque inicialmente el grupo Grigorchuk se definió como un grupo de transformaciones de Lebesgue que preservan la medida del intervalo unitario, en la actualidad este grupo suele estar dado por su realización como un grupo de automorfismos del árbol infinito regular binario enraizado T 2 . El árbol T 2 se realiza como el conjunto de todas las cadenas finitas del alfabeto más la cadena vacía que es el vértice raíz de T 2 . Para un vértice x de T 2, la cadena x 0 es el hijo izquierdo de x y la cadena x 1 es el hijo derecho de x en T 2 . Por tanto, el grupo de todos los automorfismos Aut ( T 2 ) puede considerarse como el grupo de todas las permutaciones que conservan la longitud σ deque también respete la relación del segmento inicial , es decir, que siempre que una cadena x sea un segmento inicial de una cadena y, entonces σ ( x ) sea un segmento inicial de σ ( y ).
El grupo G de Grigorchuk se define entonces como el subgrupo de Aut ( T 2 ) generado por cuatro elementos específicos de Aut ( T 2 ):
donde los automorfismos a , b , c , d se definen de la siguiente manera (tenga en cuenta queestá fijado por todos los automorfismos del árbol):
Vemos que solo el elemento a se define explícitamente y los elementos b , c , d se definen de forma recursiva. Para tener una mejor idea de esta acción, observamos quetiene una gradación natural en niveles dada por la longitud de las cuerdas:
Ahora deja denotar la unión de todos los vértices con nivel Esto significa:
Dado que los automorfismos del árbol conservan la longitud, como un conjunto está fijado por para todos Con esto en mente escribimos:
Nosotros llamamos (resp. ) la rama izquierda (resp. derecha) y denotarla por (resp. ). Con esta notación vemos que:
Ahora también podemos escribir la acción de los elementos b , c y d en términos de la unión de la desunión de la siguiente manera:
Del mismo modo tenemos:
Propiedades
Las siguientes son propiedades algebraicas básicas del grupo de Grigorchuk (ver [17] para pruebas):
- El grupo G es infinito. [2]
- El grupo G es residualmente finito . [2] Dejasea el homomorfismo de restricción que envía cada elemento de G a su restricción al árbol finito T [ n ]. Los grupos Aut ( T [ n ]) son finitos y para cada g no trivial en G existe n tal que
- El grupo G es generada por una y dos cualquiera de los tres elementos b, c, d . Por ejemplo, podemos escribir
- Los elementos a , b , c , d son involuciones .
- Los elementos b , c , d conmutan por parejas y bc = cb = d , bd = db = c , dc = cd = b , de modo quees un grupo abeliano de orden 4 isomorfo al producto directo de dos grupos cíclicos de orden 2.
- Combinando las dos propiedades anteriores, vemos que cada elemento de G se puede escribir como una palabra (positiva) en a , b , c , d , de modo que esta palabra no contiene ninguna subpalabra de la forma aa , bb , cc , dd , cd , dc , bc , cb , bd , db . Tales palabras se llaman reducidas .
- El grupo G es un grupo 2 , es decir, cada elemento en G tiene un orden finito que es una potencia de 2. [1]
- El grupo G tiene un crecimiento intermedio. [2]
- El grupo G es dócil pero no elementalmente dócil . [2]
- El grupo G es simplemente infinito , es decir, G es infinito, pero cada grupo cociente adecuado de G es finito.
- El grupo G tiene la propiedad de subgrupo de congruencia : un subgrupo H tiene un índice finito en G si y solo si hay un entero positivo n tal que
- El grupo G tiene un problema de pertenencia a un subgrupo que se puede resolver , es decir, hay un algoritmo que, dadas palabras arbitrarias w , u 1 , ..., u n decide si w representa o no un elemento del subgrupo generado por u 1 , .. ., u n . [18]
- El grupo G es separable subgrupo , es decir, cada subgrupo generado finitamente está cerrado en la topología de pro-finito en G . [18]
- Cada subgrupo maximal de G tiene finito índice en G . [19]
- El grupo G se genera de manera finita pero no presentable de manera finita . [2] [20]
- El estabilizador del nivel uno tiene vértices enen G (el subgrupo de elementos que actúan como identidad en las cadenas 0 y 1), es generado por los siguientes elementos:
- es un subgrupo normal del índice 2 en G y
- Una palabra reducida representa un elemento de si y solo si esta palabra implica un número par de apariciones de a .
- Si w es una palabra reducida en G con un número par positivo de apariciones de a , entonces existen palabras u , v (no necesariamente reducidas) tales que:
- A esto a veces se le llama propiedad de contracción . Desempeña un papel clave en muchas pruebas con respecto a G, ya que permite usar argumentos inductivos sobre la longitud de una palabra.
- El grupo G tiene un problema verbal que se puede resolver y un problema de conjugación que se puede resolver (consecuencia de la propiedad de contracción).
Ver también
- Teoría de grupos geométricos
- Crecimiento de grupos generados finitamente
- Grupos susceptibles
- Grupo de monodromía iterada
- Criptografía no conmutativa
Referencias
- ^ a b c R. I. Grigorchuk. Sobre el problema de Burnside sobre grupos periódicos. (Ruso) Funktsionalyi Analiz i ego Prilozheniya, vol. 14 (1980), núm. 1, págs. 53–54.
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- ^ John Milnor, problema núm. 5603, American Mathematical Monthly , vol. 75 (1968), págs. 685–686.
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enlaces externos
- Rostislav Grigorchuk e Igor Pak, Grupos de crecimiento intermedio: una introducción para principiantes , preprint, 2006, arXiv