En matemáticas, un haz de módulos O o simplemente un módulo O sobre un espacio anillado ( X , O ) es un haz F tal que, para cualquier subconjunto abierto U de X , F ( U ) es un O ( U ) - módulo y los mapas de restricción F ( U ) → F ( V ) son compatibles con los mapas de restricción O ( U ) → O ( V ): la restricción defs es la restricción de f veces la de s para cualquier f en O ( U ) y s en F ( U ).
El caso estándar es cuando X es un esquema y O su estructura es un haz. Si O es la gavilla constante , entonces un haz de módulos O es lo mismo que un haz de grupos abelianos (es decir, un haz abeliano ).
Si X es el espectro principal de un anillo R , entonces cualquier módulo R define un módulo O X (llamado haz asociado ) de forma natural. Del mismo modo, si R es un anillo graduado y X es el Proj de R , entonces módulo cualquier graduada define un O X -módulo de una manera natural. Los módulos O que surgen de esta manera son ejemplos de poleas cuasi coherentes y, de hecho, en esquemas afines o proyectivos, todas las poleas cuasi coherentes se obtienen de esta manera.
Los haces de módulos sobre un espacio anillado forman una categoría abeliana . [1] Además, esta categoría tiene suficientes inyecciones , [2] y, en consecuencia, se puede definir y define la cohomología de la gavilla. como el i -ésimo functor derivado a la derecha del functor de sección global . [3]
Ejemplos de
- Dado un espacio anillado ( X , O ), si F es un O -submódulo de O , entonces se llama haz de ideales o haz ideal de O , ya que para cada subconjunto abierto U de X , F ( U ) es un ideal del anillo O ( U ).
- Sea X una variedad uniforme de dimensión n . Entonces la gavilla tangente de X es el dual de la gavilla cotangente y la gavilla canónica es el n -ésimo poder exterior ( determinante ) de.
- Un haz de álgebras es un haz de módulo que también es un haz de anillos.
Operaciones
Sea ( X , O ) un espacio anillado. Si F y G son módulos O , entonces su producto tensorial, denotado por
- o ,
es el módulo O que es la gavilla asociada a la presheaf (Para ver que no se puede evitar la gavilla, calcule las secciones globales de donde O (1) es la gavilla retorcida de Serre en un espacio proyectivo.)
De manera similar, si F y G son módulos O , entonces
denota el módulo O que es la gavilla. [4] En particular, el módulo O
se llama el módulo dual de F y se denota por. Nota: para cualquier módulo O E , F , hay un homomorfismo canónico
- ,
que es un isomorfismo si E es un haz localmente libre de rango finito. En particular, si L está localmente libre de rango uno (tal L se llama haz invertible o haz de líneas ), [5] entonces esto dice:
lo que implica que las clases de isomorfismo de poleas invertibles forman un grupo. Este grupo se denomina grupo Picard de X y se identifica canónicamente con el primer grupo de cohomología.(por el argumento estándar con cohomología Čech ).
Si E es un haz localmente libre de rango finito, entonces hay un mapa lineal Odado por el emparejamiento; se llama la aplicación traza de E .
Para cualquier O -módulo F , el álgebra tensor , álgebra exterior y álgebra simétrica de F se definen de la misma manera. Por ejemplo, el k -ésimo poder exterior
es la gavilla asociada a la presheaf . Si F está localmente libre del rango n , entoncesse llama el haz de líneas determinantes (aunque técnicamente un haz invertible ) de F , denotado por det ( F ). Hay un maridaje perfecto natural:
Sea f : ( X , O ) → ( X ' , O ' ) un morfismo de espacios anillados. Si F es un módulo O , entonces el haz de imágenes directas es un módulo O 'a través del mapa natural O ' → f * O (tal mapa natural es parte de los datos de un morfismo de espacios anillados).
Si G es un módulo O ' , entonces la imagen inversa del módulode G es el módulo O dado como el producto tensorial de los módulos:
dónde es la imagen inversa del haz de G y se obtiene de por adyuvante .
Existe una relación adjunta entre y : para cualquier O -módulo F y O ' -módulo G ,
como grupo abeliano. También existe la fórmula de proyección : para un módulo O F y un módulo O ' E localmente libre de rango finito,
Propiedades
Sea ( X , O ) un espacio anillado. Se dice que un módulo O- F es generado por secciones globales si hay una sobreyección de módulos O :
- .
Explícitamente, esto significa que hay secciones globales s i de F tales que las imágenes de s i en cada tallo F x genera F x como módulo O x .
Un ejemplo de tal haz es el asociado en geometría algebraica a un módulo R M , siendo R cualquier anillo conmutativo , en el espectro de un anillo Spec ( R ). Otro ejemplo: según el teorema A de Cartan , cualquier haz coherente en una variedad de Stein está dividida en secciones globales. (Véase el teorema A de Serre más adelante.) En la teoría de esquemas , una noción relacionada es un conjunto de líneas amplio . (Por ejemplo, si L es un paquete de líneas amplio, parte de su poder es generado por secciones globales).
Un módulo O inyectivo es intermitente (es decir, todos los mapas de restricciones F ( U ) → F ( V ) son sobreyectivos.) [6] Dado que una gavilla intermitente es acíclica en la categoría de gavillas abelianas, esto implica que la i -ésima parte derecha functor derivado del functor de sección globalen la categoría de los módulos O coincide con la cohomología habitual de la i -ésima gavilla en la categoría de las gavillas abelianas. [7]
Gavilla asociada a un módulo
Dejar ser un módulo sobre un anillo . Poner y escribe . Por cada par, por la propiedad universal de la localización, hay un mapa natural
tener la propiedad que . Luego
es un funtor contravariante de la categoría cuyos objetos son los conjuntos D ( f ) y morfismos las inclusiones de conjuntos a la categoría de grupos abelianos . Se puede demostrar [8] que de hecho es una gavilla B (es decir, satisface el axioma de encolado) y, por lo tanto, define la gavillaen X llamado la gavilla asociada a M .
El ejemplo más básico es la estructura de gavilla en X ; es decir,. Es más, tiene la estructura de -módulo y así se obtiene el functor exacto de Mod A , la categoría de módulos sobre A a la categoría de módulos sobre. Define una equivalencia de Mod A a la categoría de poleas cuasi coherentes en X , con la inversa, el functor de sección global . Cuando X es noetheriano , el funtor es una equivalencia de la categoría de generación finita A -modules a la categoría de haces coherentes sobre X .
La construcción tiene las siguientes propiedades: para cualquier módulo A , M , N ,
- . [9]
- Para cualquier ideal primo p de A ,como O p = A p -module.
- . [10]
- Si M se presenta de forma finita ,. [10]
- , Ya que la equivalencia entre Mod A y la categoría de haces cuasi-coherentes sobre X .
- ; [11] en particular, tomando una suma directa y ~ viaje diario.
Gavilla asociada a un módulo graduado
Hay un análogo graduado de la construcción y equivalencia en la sección anterior. Sea R un anillo graduado generado por elementos de grado uno como R 0 -algebra ( R 0 significa la pieza de grado cero) y M un módulo R graduado . Sea X el Proj de R (entonces X es un esquema proyectivo si R es Noetheriano). Luego hay un módulo Otal que para cualquier elemento homogéneo f de grado positivo de R , existe un isomorfismo natural
como haces de módulos en el esquema afín ; [12] de hecho, esto define pegando.
Ejemplo : Sea R (1) el módulo R graduado dado por R (1) n = R n +1 . Luegose llama haz de torsión de Serre , que es el dual del haz de líneas tautológicas si R se genera finitamente en grado uno.
Si F es un módulo O en X , entonces, escribiendo, hay un homomorfismo canónico:
- ,
que es un isomorfismo si y solo si F es cuasi-coherente.
Computación de la cohomología de la gavilla
La cohomología de la gavilla tiene fama de ser difícil de calcular. Debido a esto, el siguiente hecho general es fundamental para cualquier cálculo práctico:
Teorema - Sea X un espacio topológico, F una gavilla abeliana sobre él yuna tapa abierta de X tal quepara cualquier i , p y'pecado . Entonces para cualquier yo ,
donde el lado derecho es la i -ésima cohomología Čech .
El teorema A de Serre establece que si X es una variedad proyectiva y F una gavilla coherente sobre ella, entonces, para n suficientemente grande , F ( n ) se genera mediante un número finito de secciones globales. Es más,
- (a) Para cada i , H i ( X , F ) se genera finitamente sobre R 0 , y
- (b) ( Teorema B de Serre ) Hay un número entero n 0 , dependiendo de F , tal que
- .
Extensión de la gavilla
Sea ( X , O ) un espacio anillado, y dejar que F , H sea gavillas de O -modules en X . Una extensión de H por F es una breve secuencia exacta de módulos O
Al igual que con las extensiones de grupo, si fijamos F y H , entonces todas las clases de equivalencia de extensiones de H por F forman un grupo abeliano (cf. Suma de Baer ), que es isomorfo al grupo Ext , donde el elemento de identidad en corresponde a la extensión trivial.
En el caso de que H sea O , tenemos: para cualquier i ≥ 0,
ya que ambos lados son los functores derivados correctos del mismo functor
Nota : Algunos autores, en particular Hartshorne, bajan el subíndice O .
Suponga que X es un esquema proyectivo sobre un anillo noetheriano. Let F , G sea gavillas coherentes sobre X y i un número entero. Entonces existe n 0 tal que
- . [13]
Resoluciones localmente libres
se puede calcular fácilmente para cualquier gavilla coherente utilizando una resolución libre local: [14] dado un complejo
luego
por eso
Ejemplos de
Hiperesuperficie
Considere una hipersuperficie suave de grado . Entonces, podemos calcular una resolución
y encontrar eso
Unión de intersecciones completas lisas
Considere el esquema
dónde es una intersección completa suave y , . Tenemos un complejo
resolviendo que podemos usar para calcular .
Ver también
- Módulo D (en lugar de O , también se puede considerar D , el conjunto de operadores diferenciales).
- ideal fraccional
- paquete de vectores holomórficos
- libertad genérica
Notas
- ^ Vakil, Math 216: Fundamentos de la geometría algebraica , 2.5.
- ^ Hartshorne , cap. III, Proposición 2.2.
- ^ Este funtor de cohomología coincide con el funtor derivado derecho del funtor de sección global en la categoría de gavillas abelianas; cf. Hartshorne , cap. III, Proposición 2.6.
- ^ Hay un homomorfismo canónico:
- ^ Para poleas coherentes, tener un tensor inverso es lo mismo que estar localmente libre de rango uno; de hecho, existe el siguiente hecho: siy si F es coherente, entonces F , G están localmente libres de rango uno. (cf. EGA, Capítulo 0, 5.4.3.)
- ↑ Hartshorne , Ch III, Lema 2.4.
- ^ ver también: https://math.stackexchange.com/q/447234
- ^ Hartshorne , cap. II, Proposición 5.1.
- ^ EGA I , cap. I, Proposición 1.3.6.
- ^ a b EGA I , cap. Yo, Corollaire 1.3.12.
- ^ EGA I , cap. Yo, Corollaire 1.3.9.
- ^ Hartshorne , cap. II, Proposición 5.11.
- ^ Hartshorne , cap. III, Proposición 6.9.
- ^ Hartshorne, Robin. Geometría algebraica . págs. 233-235.
Referencias
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor 0217083 .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157