Objeto grupoide

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, un objeto grupoide en una categoría C que admite productos de fibra finitos es un par de objetos${\displaystyle R,U}$junto con cinco morfismos ${\displaystyle s,t:R\to U,\ e:U\to R,\ m:R\times _{U,t,s}R\to R,\ i:R\to R}$ satisfaciendo los siguientes axiomas grupoides

1. ${\displaystyle s\circ e=t\circ e=1_{U},\,s\circ m=s\circ p_{1},t\circ m=t\circ p_{2}}$ donde el ${\displaystyle p_{i}:R\times _{U,t,s}R\to R}$ son las dos proyecciones,
2. (asociatividad) ${\displaystyle m\circ (1_{R}\times m)=m\circ (m\times 1_{R}),}$
3. (unidad) ${\displaystyle m\circ (e\circ s,1_{R})=m\circ (1_{R},e\circ t)=1_{R},}$
4. (inverso) ${\displaystyle i\circ i=1_{R}}$, ${\displaystyle s\circ i=t,\,t\circ i=s}$, ${\displaystyle m\circ (1_{R},i)=e\circ s,\,m\circ (i,1_{R})=e\circ t}$. ^[1]

Un objeto de grupo es un caso especial de un objeto de grupoide .

Ejemplos

Ejemplo : un objeto grupoide en la categoría de conjuntos es precisamente un grupoide en el sentido habitual: una categoría en la que todo morfismo es un isomorfismo. De hecho, dada tal categoría C , tome U como el conjunto de todos los objetos en C , R el conjunto de todas las flechas en C , los cinco morfismos dados por${\displaystyle s(x\to y)=x,\,t(x\to y)=y}$, ${\displaystyle m(f,g)=g\circ f}$, ${\displaystyle e(x)=1_{x}}$ y ${\displaystyle i(f)=f^{-1}}$.

Por cierto, se puede considerar una noción de semigroupoide (semigrupo unital = una categoría con un solo objeto); pero, según este ejemplo, eso no es más que una categoría; por lo que un objeto groupoid es realmente un caso especial de un "objeto de categoría", más conocido como pila (o apilamiento previo ).

Un esquema S grupoide es un objeto grupoide en la categoría de esquemas sobre algún esquema S de base fija . Si${\displaystyle U=S}$, luego un esquema grupoide (donde ${\displaystyle s=t}$son necesariamente el mapa de estructura) es lo mismo que un esquema de grupo . Un esquema grupoide también se denomina grupoide algebraico , por ejemplo en ( Gillet 1984 ) , para transmitir la idea de que es una generalización de grupos algebraicos y sus acciones. Cuando el término "groupoid" puede referirse naturalmente a un objeto groupoid en alguna categoría particular en mente, el término conjunto groupoid se usa para referirse a un objeto groupoid en la categoría de conjuntos.error de harv: sin destino: CITEREFGillet1984 ( ayuda )

Ejemplo : Supongamos que un grupo algebraico G actúa desde la derecha en un esquema de U . Entonces toma${\displaystyle R=U\times G}$, es la proyección, t la acción dada. Esto determina un esquema grupoide.

Construcción

Dado un objeto grupoide ( R , U ), el ecualizador de${\displaystyle R{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}U}$, si lo hay, es un objeto de grupo llamado grupo de inercia del grupoide. El coequalizador del mismo diagrama, si lo hay, es el cociente del grupoide.

Cada objeto grupoide en una categoría C (si lo hay) puede considerarse como un funtor contravariante de C a la categoría de grupoides. De esta manera, cada objeto groupoid determina un apilamiento en grupoides. Este apilamiento no es una pila, pero puede apilarse para producir una pila.

El uso principal de la noción es que proporciona un atlas para una pila . Más específicamente, dejemos${\displaystyle [R\rightrightarrows U]}$ ser la categoría de ${\displaystyle (R\rightrightarrows U)}$-tortores . Entonces es una categoría con fibras en groupoids ; de hecho, (en un buen caso), una pila de Deligne-Mumford . Por el contrario, cualquier pila de DM tiene esta forma.

Ver también

• Esquema simple

Notas

1. Pilas algebraicas , Capítulo 3. § 1.error de harvnb: sin destino: CITEREFAlgebraic_stacks ( ayuda )

Referencias

• Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Pilas algebraicas , archivado desde el original el 5 de mayo de 2008 , consultado el 11 de febrero de 2014
• H. Gillet, Teoría de la intersección en pilas algebraicas y variedades Q , J. Pure Appl. Álgebra 34 (1984), 193-240, Actas de la conferencia Luminy sobre teoría K algebraica (Luminy, 1983).

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