En el tema matemático de la teoría de grupos , el teorema de Grushko o el teorema de Grushko-Neumann es un teorema que establece que el rango (es decir, la cardinalidad más pequeña de un conjunto generador ) de un producto libre de dos grupos es igual a la suma de los rangos de los dos factores libres. El teorema se obtuvo por primera vez en un artículo de Grushko de 1940 [1] y luego, de forma independiente, en un artículo de Neumann de 1943 . [2]
Declaración del teorema
Permiten una y B sean grupos finitamente generados y dejar un * B sea el producto libre de A y B . Luego
- rango ( A ∗ B ) = rango ( A ) + rango ( B ).
Es obvio que rango ( A ∗ B ) ≤ rango ( A ) + rango ( B ) ya que si X es un conjunto generador finito de A e Y es un conjunto generador finito de B, entonces X ∪ Y es un conjunto generador para A ∗ B y que | X ∪ Y | ≤ | X | + | Y |. La desigualdad opuesta, rango ( A ∗ B ) ≥ rango ( A ) + rango ( B ), requiere prueba.
Grushko, pero no Neumann, demostró una versión más precisa del teorema de Grushko en términos de equivalencia de Nielsen . Establece que si M = ( g 1 , g 2 , ..., g n ) es una n -tupla de elementos de G = A ∗ B tal que M genera G , < g 1 , g 2 , ..., g n > = G , entonces M es equivalente de Nielsen en G a una n- tupla de la forma
- M ' = ( a 1 , ..., a k , b 1 , ..., b n - k ) donde { a 1 , ..., a k } ⊆ A es un conjunto generador para A y donde { b 1 , ..., b n - k } ⊆ B es un conjunto de generación para B . En particular, rango ( A ) ≤ k , rango ( B ) ≤ n - k y rango ( A ) + rango ( B ) ≤ k + ( n - k ) = n . Si se toma M como la tupla generadora mínima para G , es decir, con n = rango ( G ), esto implica que rango ( A ) + rango ( B ) ≤ rango ( G ). Dado que la desigualdad opuesta, rango ( G ) ≤ rango ( A ) + rango ( B ), es obvio, se sigue que rango ( G ) = rango ( A ) + rango ( B ), según se requiera.
Historia y generalizaciones
Después de las demostraciones originales de Grushko (1940) y Neumann (1943), hubo muchas demostraciones alternativas posteriores, simplificaciones y generalizaciones del teorema de Grushko. Una versión cercana de la prueba original de Grushko se da en el libro de Kurosh de 1955 . [3]
Como las demostraciones originales, la demostración de Lyndon (1965) [4] se basó en consideraciones de funciones de longitud pero con simplificaciones sustanciales. Un artículo de 1965 de Stallings [5] dio una demostración topológica muy simplificada del teorema de Grushko.
Un artículo de 1970 de Zieschang [6] dio una versión de equivalencia de Nielsen del teorema de Grushko (mencionado anteriormente) y proporcionó algunas generalizaciones del teorema de Grushko para productos libres amalgamados . Scott (1974) dio otra prueba topológica del teorema de Grushko, inspirada en los métodos de topología de tres variedades [7] Imrich (1984) [8] dio una versión del teorema de Grushko para productos libres con infinitos factores.
Un artículo de 1976 de Chiswell [9] dio una demostración relativamente sencilla del teorema de Grushko, modelado en la demostración de Stallings de 1965, que usaba las técnicas de la teoría de Bass-Serre . El argumento inspiró directamente la maquinaria de plegamientos para acciones grupales en árboles y para gráficos de grupos y la demostración aún más sencilla de Dicks del teorema de Grushko (ver, por ejemplo, [10] [11] [12] ).
El teorema de Grushko es, en cierto sentido, un punto de partida en la teoría de accesibilidad de Dunwoody para grupos finitamente generados y finitamente presentados . Dado que los rangos de los factores libres son más pequeños que el rango de un producto libre, el teorema de Grushko implica que el proceso de división iterada de un grupo G generado finitamente como un producto libre debe terminar en un número finito de pasos (más precisamente, en la mayoría de los pasos de rango ( G )). Existe una pregunta similar natural para iterar divisiones de grupos generados finitamente sobre subgrupos finitos. Dunwoody demostró que tal proceso siempre debe terminar si un grupo G se presenta de manera finita [13] pero puede continuar para siempre si G se genera de manera finita pero no se presenta de manera finita. [14]
Higgins (1966) dio una prueba algebraica de una generalización sustancial del teorema de Grushko usando la maquinaria de los grupos . [15] El teorema de Higgins comienza con los grupos G y B con descomposiciones libres G = ∗ i G i , B = ∗ i B i y f : G → B un morfismo tal que f ( G i ) = B i para todo i . Deje H un subgrupo de G tal que f ( H ) = B . Entonces H tiene una descomposición H = ∗ i H i tal que f ( H i ) = B i para todo i . Los detalles completos de la prueba y las aplicaciones también se pueden encontrar en. [10] [16]
Teorema de descomposición de Grushko
Una consecuencia útil del teorema de Grushko original es el llamado teorema de descomposición de Grushko. Afirma que cualquier grupo G no trivial generado finitamente puede descomponerse como un producto libre
- G = UNA 1 ∗ UNA 2 ∗ ... ∗ A r ∗ F s , donde s ≥ 0, r ≥ 0,
donde cada uno de los grupos A i es no trivial, libremente indecomponible (es decir, no se puede descomponer como un producto libre) y no cíclico infinito, y donde F s es un grupo libre de rango s ; además, para un G dado , los grupos A 1 , ..., A r son únicos hasta una permutación de sus clases de conjugación en G (y, en particular, la secuencia de tipos de isomorfismo de estos grupos es única hasta una permutación ) y los números de s y r son únicos también.
Más precisamente, si G = B 1 ∗ ... ∗ B k ∗ F t es otra descomposición de este tipo, entonces k = r , s = t , y existe una permutación σ∈ S r tal que para cada i = 1, .. ., r los subgrupos a i y B σ ( i ) son conjugado en G .
La existencia de la descomposición anterior, llamada descomposición de G de Grushko , es un corolario inmediato del teorema de Grushko original, mientras que la declaración de unicidad requiere argumentos adicionales (ver, por ejemplo, [17] ).
Calcular algorítmicamente la descomposición de Grushko para clases específicas de grupos es un problema difícil que requiere principalmente poder determinar si un grupo dado se puede descomponer libremente. Los resultados positivos están disponibles para algunas clases de grupos, como los grupos hiperbólicos de palabras sin torsión , ciertas clases de grupos relativamente hiperbólicos , [18] grupos fundamentales de gráficos finitos de grupos libres generados finitamente [19] y otros.
El teorema de descomposición de Grushko es un análogo de la teoría de grupos del teorema de descomposición prima de Kneser para 3 variedades que dice que una 3 variedad cerrada se puede descomponer de forma única como una suma conectada de 3 variedades irreducibles. [20]
Bosquejo de la prueba usando la teoría de Bass-Serre
El siguiente es un bosquejo de la demostración del teorema de Grushko basado en el uso de técnicas de plegamiento para grupos que actúan sobre árboles (ver [10] [11] [12] para demostraciones completas usando este argumento).
Sea S = { g 1 , ...., g n } un conjunto generador finito para G = A ∗ B de tamaño | S | = n = rango ( G ). Tenga en cuenta que G es el grupo fundamental de un gráfico de grupos Y, que es un solo borde sin bucle con los grupos de vértices A y B y con el grupo de bordes trivial. Dejarser el árbol de cubierta Bass-Serre para Y . Sea F = F ( x 1 , ...., x n ) el grupo libre con base libre x 1 , ...., x ny sea φ 0 : F → G el homomorfismo tal que φ 0 ( x i ) = g i para i = 1, ..., n . Realice F como el grupo fundamental de un gráfico Z 0 que es la cuña de n círculos que corresponden a los elementos x 1 , ...., x n . También pensamos en Z 0 como un gráfico de grupos con el gráfico subyacente Z 0 y los grupos de vértices y aristas triviales. Entonces la funda universalde Z 0 y el árbol de cobertura de Bass-Serre para Z 0 coinciden. Considere un mapa φ 0 -equivariantepara que envíe vértices a vértices y bordes a caminos de borde. Este mapa no es inyectivo y, dado que tanto la fuente como el destino del mapa son árboles, este mapa "pliega" algunos pares de bordes en la fuente. El gráfico de grupos Z 0 sirve como una aproximación inicial para Y .
Ahora comenzamos a realizar una secuencia de "movimientos de plegado" en Z 0 (y en su árbol de cobertura Bass-Serre) para construir una secuencia de gráficos de los grupos Z 0 , Z 1 , Z 2 , ...., que se forman mejor y mejores aproximaciones para Y . Cada una de las gráficas de los grupos Z j tiene grupos de aristas triviales y viene con la siguiente estructura adicional: para cada grupo de vértices no triviales se asigna un conjunto generador finito de ese grupo de vértices. La complejidad c ( Z j ) de Z j es la suma de los tamaños de los conjuntos generadores de sus grupos de vértices y el rango del grupo libre π 1 ( Z j ). Para el gráfico de aproximación inicial tenemos c ( Z 0 ) = n .
Los movimientos de plegado que llevan de Z j a Z j +1 pueden ser de dos tipos:
- pliegues que identifican dos bordes del gráfico subyacente con un vértice inicial común pero vértices finales distintos en un solo borde; cuando se realiza tal plegado, los conjuntos generadores de los grupos de vértices y los bordes terminales se "unen" juntos en un conjunto generador del nuevo grupo de vértices; el rango del grupo fundamental del gráfico subyacente no cambia bajo tal movimiento.
- pliegues que identifican dos aristas, que ya tenían vértices iniciales comunes y vértices terminales comunes, en una sola arista; tal movimiento disminuye el rango del grupo fundamental del gráfico subyacente en 1 y un elemento que corresponde al bucle en el gráfico que se está colapsando se "agrega" al conjunto generador de uno de los grupos de vértices.
Se ve que los movimientos de plegado no aumentan la complejidad, pero disminuyen el número de aristas en Z j . Por tanto, el proceso de plegado debe terminar en un número finito de pasos con una gráfica de grupos Z k que ya no se puede plegar. Se desprende de las básicas teoría Bass-Serre consideraciones que Z k debe de hecho ser igual hasta el borde de los grupos Y y que Z k viene equipado con sistemas de generación finitos para el grupos de vértices A y B . La suma de los tamaños de estos grupos electrógenos es la complejidad de Z k que, por tanto, es menor o igual que c ( Z 0 ) = n . Esto implica que la suma de los rangos de los grupos de vértices A y B es como máximo n , es decir, rango ( A ) + rango ( B ) ≤ rango ( G ), según se requiera.
Bosquejo de la prueba de Stalling
La prueba de Stallings del teorema de Grushko se deriva del siguiente lema.
Lema
Sea F un grupo libre finitamente generado, con n generadores. Sean G 1 y G 2 dos grupos finamente presentados. Supongamos que existe un homomorfismo sobreyectivo, entonces existen dos subgrupos F 1 y F 2 de F con y tal que .
Demostración: Damos la prueba asumiendo que F no tiene un generador que esté mapeado a la identidad de, porque si existen tales generadores, pueden agregarse a cualquiera de o .
Los siguientes resultados generales se utilizan en la prueba.
1. Hay un uno o dos dimensional complejo CW , Z con grupo fundamental F . Según el teorema de Van Kampen , la cuña de n círculos es uno de esos espacios.
2. Existe un complejo de dos dónde es un punto en una celda de X tal que X 1 y X 2 son dos complejos con grupos fundamentales G 1 y G 2 respectivamente. Tenga en cuenta que según el teorema de Van Kampen, esto implica que el grupo fundamental de X es.
3. Existe un mapa tal que el mapa inducido sobre los grupos fundamentales es lo mismo que
Por conveniencia, denotemos y . Dado que ningún generador de F mapea la identidad, el conjuntono tiene bucles, porque si los tiene, estos correspondern a crculos de Z que se asignan a, que a su vez corresponden a generadores de F que van a la identidad. Entonces, los componentes deson contráctiles. En el caso donde tiene solo un componente, por el teorema de Van Kampen, hemos terminado, como en ese caso,:.
La demostración general sigue reduciendo Z a un espacio homotópicamente equivalente a él, pero con menos componentes en, y así por inducción sobre los componentes de .
Tal reducción de Z se realiza uniendo discos a lo largo de las ataduras.
Llamamos un mapa un lazo vinculante si satisface las siguientes propiedades
1. Es monocromático, es decir o
2. Es un empate es decir y se encuentran en diferentes componentes de .
3. Es nulo, es decires homotopic nulo en X .
Supongamos que existe tal vínculo vinculante. Dejar ser el lazo vinculante.
Considere el mapa dada por . Este mapa es un homeomorfismo sobre su imagen. Definir el espacio como
- dónde :
Tenga en cuenta que la deformación del espacio Z 'se retrae a Z Primero extendemos f a una función como
Desde el es homotópico nulo, se extiende aún más al interior del disco, y por lo tanto, a . Dejar i = 1,2 . Como y yacen en diferentes componentes de , tiene un componente menos que .
Construcción de lazo de unión
El lazo de unión se construye en dos pasos.
Paso 1: Construcción de un empate nulo :
Considere un mapa con y en diferentes componentes de . Desde es sobreyectiva, sale un bucle basado en γ '(1) tal que y son homotópicamente equivalente en X . Si definimos una curva como para todos , luego es un empate nulo.
Paso 2: Hacer monocromática la corbata nula :
La corbata puede escribirse como donde cada es una curva en o tal que si es en , luego es en y viceversa. Esto también implica quees un bucle basado en p en X . Entonces,
Por eso, para algunos j . Si estoes un empate, entonces tenemos un empate monocromático, nulo. Si no es un empate, entonces los puntos finales de están en el mismo componente de . En este caso, reemplazamos por un camino en , decir . Esta ruta se puede agregar a y obtenemos una nueva corbata nula
, dónde .
Así, por inducción sobre m , probamos la existencia de un lazo vinculante.
Prueba del teorema de Grushko
Suponer que es generado por . Dejar ser el grupo libre con -generadores, a saber. . Considere el homomorfismo dada por , dónde .
Por el lema, existen grupos libres y con tal que y . Por lo tanto, y . Por lo tanto,
Ver también
- Teoría de Bass-Serre
- Grupo electrógeno de un grupo
Notas
- ↑ IA Grushko, Sobre las bases de un producto libre de grupos , Matematicheskii Sbornik, vol 8 (1940), págs. 169-182.
- ^ BH Neumann. Sobre el número de generadores de un producto gratuito. Revista de la Sociedad Matemática de Londres, vol. 18, (1943), págs. 12-20.
- ^ AG Kurosh, La teoría de grupos. Vol. I. Traducido y editado por KA Hirsch. Chelsea Publishing Co., Nueva York, NY, 1955
- ^ Roger C. Lyndon , "Teorema de Grushko". Actas de la American Mathematical Society , vol. 16 (1965), págs. 822–826.
- ^ John R. Stallings. "Una prueba topológica del teorema de Grushko sobre productos gratuitos". Mathematische Zeitschrift , vol. 90 (1965), págs. 1-8.
- ^ Heiner Zieschang. "Über die Nielsensche Kürzungsmethode in freien Produkten mit Amalgam". Inventiones Mathematicae , vol. 10 (1970), págs. 4-37
- ^ Scott, Peter . Una introducción a los 3 colectores. Departamento de Matemáticas, Universidad de Maryland, Lecture Note, No. 11. Departamento de Matemáticas, Universidad de Maryland, College Park, Maryland, 1974
- ^ Wilfried Imrich "Teorema de Grushko". Archiv der Mathematik (Basilea), vol. 43 (1984), núm. 5, págs. 385-387
- ^ IM Chiswell, El teorema de Grushko-Neumann. Proc. London Math. Soc. (3) 33 (1976), núm. 3, 385–400.
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