En matemáticas , la desigualdad de Grönwall (también llamado el lema de Grönwall o la desigualdad Grönwall-Bellman ) le permite a uno unido a una función que se conoce para satisfacer un cierto diferencial o desigualdad integral por la solución del diferencial correspondiente o ecuación integral . Hay dos formas del lema, una forma diferencial y una forma integral. Para este último hay varias variantes.
La desigualdad de Grönwall es una herramienta importante para obtener diversas estimaciones en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y estocásticas . En particular, proporciona un teorema de comparación que puede usarse para demostrar la unicidad de una solución al problema de valor inicial ; consulte el teorema de Picard-Lindelöf .
Lleva el nombre de Thomas Hakon Grönwall (1877-1932). Grönwall es la ortografía sueca de su nombre, pero deletreó su nombre como Gronwall en sus publicaciones científicas después de emigrar a los Estados Unidos.
La forma diferencial fue probada por Grönwall en 1919. [1] La forma integral fue probada por Richard Bellman en 1943. [2]
Una generalización no lineal de la desigualdad de Grönwall-Bellman se conoce como desigualdad de Bihari-LaSalle . Se pueden encontrar otras variantes y generalizaciones en Pachpatte, BG (1998). [3]
Forma diferencial
Let Me denotar un intervalo de la recta real de la forma [ un , ∞) o [ un , b ] o [ un , b ) con un < b . Vamos β y U se valorarán en tiempo real, las funciones continuas definidas en I . Si u es diferenciable en el interior I o de I (el intervalo I sin que el extremo puntos una y, posiblemente, b ) y satisface la desigualdad diferencial
entonces u está acotado por la solución de la ecuación diferencial correspondiente v ′ ( t ) = β ( t ) v ( t ) :
para toda t ∈ I .
Observación: No existen supuestos sobre los signos de las funciones β y u .
Prueba
Definir la función
Tenga en cuenta que v satisface
con v ( un ) = 1 y v ( t )> 0 para todo t ∈ I . Por la regla del cociente
Por tanto, la derivada de la función no es positivo y la función está limitada por su valor en el punto inicial del intervalo :
que es la desigualdad de Grönwall.
Forma integral para funciones continuas
Let Me denotar un intervalo de la recta real de la forma [ un , ∞) o [ un , b ] o [ un , b ) con un < b . Vamos α , β y U son funciones con valores reales definidas en I . Supongamos que β y u son continuas y que la parte negativa de α es integrable en cada subintervalo cerrado y acotado de I .
- (a) Si β no es negativo y si u satisface la desigualdad integral
- luego
- (b) Si, además, la función α no es decreciente, entonces
Observaciones:
- No existen supuestos sobre los signos de las funciones α y u .
- En comparación con la forma diferencial, la diferenciabilidad de u no es necesaria para la forma integral.
- Para obtener una versión de la desigualdad de Grönwall que no necesita la continuidad de β y u , consulte la versión en la siguiente sección.
Prueba
(a) Definir
Usando la regla del producto , la regla de la cadena , la derivada de la función exponencial y el teorema fundamental del cálculo , obtenemos para la derivada
donde usamos la desigualdad integral asumida para la estimación superior. Dado que β y la exponencial no son negativos, esto da una estimación superior para la derivada de v . Dado que v ( a ) = 0 , la integración de esta desigualdad de a a t da
Usando la definición de v ( t ) para el primer paso, y luego esta desigualdad y la ecuación funcional de la función exponencial, obtenemos
La sustitución de este resultado en la desigualdad integral asumida da la desigualdad de Grönwall.
(b) Si la función α no es decreciente, entonces el inciso a), el hecho α ( s ) ≤ α ( t ) y el teorema fundamental del cálculo implican que
Forma integral con medidas localmente finitas
Let Me denotar un intervalo de la recta real de la forma [ un , ∞) o [ un , b ] o [ un , b ) con un < b . Vamos α y u haber funciones medibles definidas en I y vamos μ una medida no negativa continua en el Borel σ-álgebra de que la satisfacción de μ ([ un , t ]) <∞ para todo t ∈ I (esto es, sin duda satisfecho cuando μ es una medida localmente finita ). Suponga que u es integrable con respecto a μ en el sentido de que
y que u satisface la desigualdad integral
Si, además,
- la función α es no negativa o
- la función t ↦ μ ([ a , t ]) es continua para t ∈ I y la función α es integrable con respecto a μ en el sentido de que
entonces u satisface la desigualdad de Grönwall
para todo t ∈ I , donde I s, t denota un intervalo abierto ( s , t ) .
Observaciones
- No existen supuestos de continuidad en las funciones α y u .
- Se permite que la integral en la desigualdad de Grönwall dé el valor infinito.
- Si α es la función cero y u no es negativa, entonces la desigualdad de Grönwall implica que u es la función cero.
- La integrabilidad de u con respecto a μ es esencial para el resultado. Para un contraejemplo , dejar μ denotan Lebesgue medida en el intervalo de la unidad [0, 1] , definir u (0) = 0 y u ( t ) = 1 / t para t ∈ (0, 1] , y dejar que α sea el cero función.
- La versión dada en el libro de texto por S. Ethier y T. Kurtz. [4] hace las suposiciones más fuertes de que α es una constante no negativa y u está acotada en intervalos acotados, pero no asume que la medida μ es localmente finita. Comparada con la que se da a continuación, su demostración no discute el comportamiento del resto R n ( t ) .
Casos especiales
- Si la medida μ tiene una densidad β con respecto a la medida de Lebesgue, entonces la desigualdad de Grönwall se puede reescribir como
- Si la función α no es negativa y la densidad β de μ está limitada por una constante c , entonces
- Si, además, la función no negativa α no es decreciente, entonces
Esquema de la prueba
La prueba se divide en tres pasos. La idea es sustituir la desigualdad integral asumida en sí misma n veces. Esto se hace en la reivindicación 1 usando inducción matemática. En la reivindicación 2 reescribimos la medida de un simplex en una forma conveniente, usando la invariancia de permutación de las medidas del producto. En el tercer paso pasamos al límite n hasta el infinito para derivar la variante deseada de la desigualdad de Grönwall.
Prueba detallada
Afirmación 1: Iterando la desigualdad
Para cada número natural n, incluido el cero,
con resto
dónde
es un simplex n- dimensional y
Prueba de reclamación 1
Usamos inducción matemática . Para n = 0, esta es solo la desigualdad integral supuesta, porque la suma vacía se define como cero.
Paso de inducción de n a n + 1 : Inserción de la asume la desigualdad integral para la función de u en el resto da
con
Usando el teorema de Fubini-Tonelli para intercambiar las dos integrales, obtenemos
Por tanto, la reivindicación 1 está probada para n + 1 .
Afirmación 2: Medida del simplex
Para cada número natural n, incluido el cero y todos los s < t en I
con igualdad en caso t ↦ mu ([ un , t ]) es continua para t ∈ I .
Prueba de reclamación 2
Para n = 0 , la afirmación es cierta según nuestras definiciones. Por lo tanto, considere n ≥ 1 en lo siguiente.
Sea S n el conjunto de todas las permutaciones de los índices en {1, 2,. . . , n }. Para cada permutación σ ∈ S n defina
Estos conjuntos son disjuntos para diferentes permutaciones y
Por lo tanto,
Dado que todos tienen la misma medida con respecto al producto n veces mayor de μ , y dado que hay n ! permutaciones en S n , sigue la desigualdad declarada.
Supongamos ahora que t ↦ mu ([ un , t ]) es continua para t ∈ I . Entonces, para diferentes índices i , j ∈ {1, 2,. . . , n }, el conjunto
está contenido en un hiperplano , por lo tanto, mediante una aplicación del teorema de Fubini, su medida con respecto al producto n- veces de μ es cero. Desde
sigue la igualdad reclamada.
Prueba de la desigualdad de Grönwall
Para cada número natural n , la reivindicación 2 implica para el resto de la reivindicación 1 que
Suponiendo que tenemos μ ( I a , t ) <∞ . Por tanto, el supuesto de integrabilidad en u implica que
La reivindicación 2 y la representación en serie de la función exponencial implican la estimación
para todos s < t en I . Si la función α no es negativa, entonces basta con insertar estos resultados en la reivindicación 1 para derivar la variante anterior de la desigualdad de Grönwall para la función u .
En caso de que t ↦ μ ([ a , t ]) sea continuo para t ∈ I , la reivindicación 2 da
y la integrabilidad de la función α permite utilizar el teorema de convergencia dominado para derivar la desigualdad de Grönwall.
Referencias
- ^ Gronwall, Thomas H. (1919), "Nota sobre las derivadas con respecto a un parámetro de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales", Ann. de Matemáticas. , 20 (2): 292–296, JFM 47.0399.02 , JSTOR 1967124 , MR 1502565
- ^ Bellman, Richard (1943), "La estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales" , Duke Math. J. , 10 (4): 643–647, doi : 10.1215 / s0012-7094-43-01059-2 , MR 0009408 , Zbl 0061.18502
- ^ Pachpatte, BG (1998). Desigualdades para ecuaciones diferenciales e integrales . San Diego: Prensa académica. ISBN 9780080534640.
- ^ Ethier, Steward N .; Kurtz, Thomas G. (1986), Procesos de Markov, Caracterización y Convergencia , Nueva York: John Wiley & Sons , p. 498, ISBN 0-471-08186-8, MR 0838085 , Zbl 0.592,60049
Ver también
- Norma logarítmica , para una versión del lema de Gronwall que da límites superior e inferior a la norma de la matriz de transición de estado.
Este artículo incorpora material del lema de Gronwall en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .