En matemáticas , las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas y son verdaderas para cada valor de las variables que ocurren para las cuales ambos lados de la igualdad están definidos. Geométricamente, estas son identidades que involucran ciertas funciones de uno o más ángulos . Son distintas de las identidades de triángulos , que son identidades que potencialmente involucran ángulos pero que también involucran longitudes de lados u otras longitudes de un triángulo .
Estas identidades son útiles cuando es necesario simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas. Una aplicación importante es la integración de funciones no trigonométricas: una técnica común implica primero usar la regla de sustitución con una función trigonométrica y luego simplificar la integral resultante con una identidad trigonométrica.
Notación
Anglos
Signos de funciones trigonométricas en cada cuadrante. Los mnemónicos " All S cience T eachers (son) C Razy" listas de las funciones básicas ( ' Todos' , s en, t an, c os) que son positivos de los cuadrantes I a IV. [1] Ésta es una variación del mnemónico " Todos los estudiantes toman cálculo ".
Si no se anota específicamente con (°) para el grado o () para gradian, se supone que todos los valores de los ángulos en este artículo se dan en radianes.
La siguiente tabla muestra para algunos ángulos comunes sus conversiones y los valores de las funciones trigonométricas básicas:
Los resultados para otros ángulos se pueden encontrar en Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales . Según el teorema de Niven ,son los únicos números racionales que, tomados en grados, dan como resultado un valor de seno racional para el ángulo correspondiente dentro del primer giro, lo que puede explicar su popularidad en los ejemplos. [2] [3] [4] La condición análoga para la unidad radián requiere que el argumento dividido por π sea racional y dé las soluciones 0, π / 6, π / 2, 5 π / 6, π , 7 π / 6, 3 π / 2, 11 π / 6 (, 2 π ).
Funciones trigonométricas
Representación gráfica de las seis funciones trigonométricas, el círculo unitario y una línea para el ángulo θ = 0,7 radianes. Los puntos etiquetados como 1 , Sec (θ) , Csc (θ) representan la longitud del segmento de línea desde el origen hasta ese punto. Sin (θ) , Tan (θ) y 1 son las alturas de la línea que comienza desde el eje x , mientras que Cos (θ) , 1 y Cot (θ) son longitudes a lo largo del eje x que comienzan desde el origen.
Las funciones seno , coseno y tangente de un ángulo a veces se denominan funciones trigonométricas primarias o básicas . Sus abreviaturas habituales son sin ( θ ) , cos ( θ ) y tan ( θ ) , respectivamente, donde θ denota el ángulo. Los paréntesis alrededor del argumento de las funciones a menudo se omiten, por ejemplo, sin θ y cos θ , si una interpretación es inequívocamente posible.
El seno de un ángulo se define, en el contexto de un triángulo rectángulo , como la razón de la longitud del lado opuesto al ángulo dividida por la longitud del lado más largo del triángulo (la hipotenusa ).
El coseno de un ángulo en este contexto es la razón de la longitud del lado adyacente al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.
La tangente de un ángulo en este contexto es la razón de la longitud del lado opuesto al ángulo dividida por la longitud del lado adyacente al ángulo. Esta es la misma que la razón del seno al coseno de este ángulo, como se puede ver sustituyendo las definiciones de sin y cos de arriba:
Las funciones trigonométricas restantes secante ( sec ), cosecante ( csc ) y cotangente ( cot ) se definen como funciones recíprocas de coseno, seno y tangente, respectivamente. En raras ocasiones, se denominan funciones trigonométricas secundarias:
Las funciones trigonométricas inversas son funciones inversas parciales para las funciones trigonométricas. Por ejemplo, la función inversa del seno, conocida como seno inverso ( sen −1 ) o arcoseno ( arcsin o asin ), satisface
y
Este artículo utiliza la siguiente notación para funciones trigonométricas inversas:
Función
pecado
porque
broncearse
segundo
csc
cuna
Inverso
arcos
arccos
arctan
segundos de arco
arccsc
arccot
La siguiente tabla muestra cómo se pueden usar las funciones trigonométricas inversas para resolver las igualdades que involucran las seis funciones trigonométricas estándar. Se supone que r , s , x , y y todos se encuentran dentro del rango apropiado. Tenga en cuenta que "para algunos k ∈ ℤ " es solo otra forma de decir "para algunos k enteros ".
Igualdad
Solución
dónde...
pecado θ = y
⇔
θ =
(−1) k
arcsin ( y )
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
cos θ = x
⇔
θ =
±
arccos ( x )
+
2
π k
para algunos k ∈ ℤ
tan θ = s
⇔
θ =
arctano ( s )
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
csc θ = r
⇔
θ =
(−1) k
arccsc ( r )
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
seg θ = r
⇔
θ =
±
segundos de arco ( r )
+
2
π k
para algunos k ∈ ℤ
cuna θ = r
⇔
θ =
arccot ( r )
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
La siguiente tabla muestra cómo dos ángulos θ y φ deben estar relacionados si sus valores bajo una función trigonométrica dada son iguales o negativos entre sí.
Igualdad
Solución
dónde...
También una solución para
pecado θ
=
pecado φ
⇔
θ =
(−1) k
φ
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
csc θ = csc φ
porque θ
=
porque φ
⇔
θ =
±
φ
+
2
π k
para algunos k ∈ ℤ
seg θ = seg φ
bronceado θ
=
bronceado φ
⇔
θ =
φ
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
cuna θ = cuna φ
- pecado θ
=
pecado φ
⇔
θ =
(−1) k +1
φ
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
csc θ = - csc φ
- cos θ
=
porque φ
⇔
θ =
±
φ
+
2
π k
+ π
para algunos k ∈ ℤ
seg θ = - seg φ
- bronceado θ
=
bronceado φ
⇔
θ =
-
φ
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
cuna θ = - cuna φ
| pecado θ |
=
| pecado φ |
⇔
θ =
±
φ
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
| tan θ | = | tan φ |
⇕
| csc θ | = | csc φ |
| cos θ |
=
| cos φ |
| sec θ | = | sec φ |
| cuna θ | = | cuna φ |
Identidades pitagóricas
En trigonometría, la relación básica entre el seno y el coseno viene dada por la identidad pitagórica:
donde sin 2 θ significa (sin θ ) 2 y cos 2 θ significa (cos θ ) 2 .
Esto puede verse como una versión del teorema de Pitágoras y se deduce de la ecuación x 2 + y 2 = 1 para el círculo unitario . Esta ecuación se puede resolver para el seno o el coseno:
donde el signo depende del cuadrante de θ .
Dividir esta identidad por sen 2 θ o cos 2 θ produce las otras dos identidades pitagóricas:
Usando estas identidades junto con las identidades de razón, es posible expresar cualquier función trigonométrica en términos de cualquier otra ( hasta un signo más o menos):
Cada función trigonométrica en términos de cada una de las otras cinco. [5]
en términos de
Taquigrafía histórica
Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ se pueden construir geométricamente en términos de una unidad de círculo con centro en O . Muchos de estos términos ya no son de uso común; sin embargo, este diagrama no es exhaustivo.
En la navegación se utilizaron versine , coversine , haversine y exsecant . Por ejemplo, se utilizó la fórmula de Haversine para calcular la distancia entre dos puntos en una esfera. Rara vez se utilizan hoy en día.
Nombre
Abreviatura
Valor [6] [7]
(derecha) ángulo complementario, co-ángulo
verso seno, verso
coseno versado, vercoseno
seno cubierto , coverine
coseno cubierto , coseno cubierto
seno medio versado, haversine
coseno medio versado, havercoseno
seno medio cubierto, hacoversine cohaversine
coseno medio cubierto, hacovercosine cohavercosine
secante exterior, exsecante
cosecante exterior, excosecante
acorde
Reflexiones, cambios y periodicidad
Reflejando θ en α = 0 (α = π )
Al examinar el círculo unitario, se pueden establecer las siguientes propiedades de las funciones trigonométricas.
Reflexiones
Cuando la dirección de un vector euclidiano está representada por un ángulo , este es el ángulo determinado por el vector libre (comenzando en el origen) y el vector de unidad x positivo . El mismo concepto también se puede aplicar a las líneas en un espacio euclidiano, donde el ángulo es el determinado por una paralela a la línea dada que pasa por el origen y el eje x positivo . Si una línea (vector) con dirección se refleja sobre una línea con dirección entonces el ángulo de dirección de esta línea reflejada (vector) tiene el valor
Los valores de las funciones trigonométricas de estos ángulos para ángulos específicos satisfacen identidades simples: o son iguales, o tienen signos opuestos, o emplean la función trigonométrica complementaria. También se conocen como fórmulas de reducción . [8]
Al cambiar los argumentos de las funciones trigonométricas en ciertos ángulos, cambiar el signo o aplicar funciones trigonométricas complementarias a veces puede expresar resultados particulares de manera más simple. Algunos ejemplos de turnos se muestran a continuación en la tabla.
Un giro completo , o 360 ° , o 2 π radianes deja el círculo unitario fijo y es el intervalo más pequeño para el cual las funciones trigonométricas sin, cos, sec y csc repiten sus valores y, por lo tanto, es su período. Cambiar los argumentos de cualquier función periódica por cualquier múltiplo entero de un período completo conserva el valor de la función del argumento no desplazado.
A su vez, un medio , o 180 ° , o π radianes es el período de tan ( x ) = pecado ( x )/cos ( x )y cuna ( x ) = cos ( x )/pecado ( x ), como puede verse en estas definiciones y el período de las funciones trigonométricas definitorias. Por lo tanto, cambiar los argumentos de tan ( x ) y cot ( x ) por cualquier múltiplo de π no cambia sus valores de función.
Para las funciones sin, cos, sec y csc con período 2 π , medio turno es la mitad de su período. Para este cambio, cambian el signo de sus valores, como se puede ver nuevamente en el círculo unitario. Este nuevo valor se repite después de cualquier desplazamiento adicional de 2 π , por lo que todos juntos cambian el signo de un desplazamiento por cualquier múltiplo impar de π , es decir, por (2 k + 1) ⋅ π , con k un entero arbitrario. Cualquier múltiplo par de π es, por supuesto, solo un período completo, y un desplazamiento hacia atrás en medio período es lo mismo que un desplazamiento hacia atrás en un período completo más un desplazamiento hacia adelante en medio período.
Un cuarto de vuelta , o 90 ° , o π/2radián es un desplazamiento de medio período para tan ( x ) y cot ( x ) con período π ( 180 ° ), lo que produce el valor de la función de aplicar la función complementaria al argumento no desplazado. Según el argumento anterior, esto también es válido para un cambio de cualquier múltiplo impar (2 k + 1) ⋅ π/2 del medio período.
Para las otras cuatro funciones trigonométricas, un cuarto de vuelta también representa un cuarto de período. Un cambio por un múltiplo arbitrario de un período de un cuarto que no está cubierto por un múltiplo de períodos medios se puede descomponer en un múltiplo entero de períodos, más o menos un período de un cuarto. Los términos que expresan estos múltiplos son (4 k ± 1) ⋅ π/2. Los cambios hacia adelante / hacia atrás por un período de un trimestre se reflejan en la siguiente tabla. Nuevamente, estos cambios producen valores de función, empleando la función complementaria respectiva aplicada al argumento no desplazado.
Desplazando los argumentos de tan ( x ) y cot ( x ) por su período de cuarto ( π/4) no produce resultados tan simples.
Cambio por un período de un trimestre
Desplazamiento por medio período [10]
Turno por períodos completos [11]
Período
Identidades de suma y diferencia de ángulos
Ilustración de fórmulas de suma de ángulos para el seno y el coseno. El segmento enfatizado tiene una longitud unitaria.
Estos también se conocen como teoremas (o fórmulas ) de suma y resta de ángulos . Las identidades se pueden derivar combinando triángulos rectángulos como en el diagrama adyacente, o considerando la invariancia de la longitud de una cuerda en un círculo unitario dado un ángulo central particular. La derivación más intuitiva utiliza matrices de rotación (ver más abajo).
Ilustración de la fórmula de suma de ángulos para la tangente. Los segmentos enfatizados son de longitud unitaria.
Para ángulos agudos α y β , cuya suma no es obtusa, un diagrama conciso (mostrado) ilustra las fórmulas de suma de ángulos para seno y coseno: El segmento en negrita etiquetado como "1" tiene una unidad de longitud y sirve como hipotenusa de un triángulo rectángulo ángulo β ; los lados opuestos y adyacentes para este ángulo tienen longitudes respectivas sen β y cos β . El cateto cos β es en sí mismo la hipotenusa de un triángulo rectángulo con ángulo α ; los catetos de ese triángulo, por lo tanto, tienen longitudes dadas por sen α y cos α , multiplicadas por cos β . El cateto sin β , como hipotenusa de otro triángulo rectángulo de ángulo α , conduce igualmente a segmentos de longitud cos α sin β y sin α sin β . Ahora, observamos que el segmento "1" es también la hipotenusa de un triángulo rectángulo con ángulo α + β ; el lado opuesto a este ángulo tiene necesariamente una longitud sin ( α + β ) , mientras que el lado adyacente tiene una longitud cos ( α + β ) . En consecuencia, como los lados opuestos del rectángulo exterior del diagrama son iguales, deducimos
La reubicación de uno de los ángulos nombrados produce una variante del diagrama que demuestra las fórmulas de diferencia de ángulos para el seno y el coseno. [12] (El diagrama admite más variantes para acomodar ángulos y sumas mayores que un ángulo recto.) Dividir todos los elementos del diagrama por cos α cos β proporciona otra variante (mostrada) que ilustra la fórmula de suma de ángulos para tangente.
Estas identidades tienen aplicaciones, por ejemplo, en componentes en fase y en cuadratura .
Ilustración de la fórmula de suma de ángulos para la cotangente. El segmento superior derecho tiene una longitud unitaria.
Seno
[13] [14]
Coseno
[14] [15]
Tangente
[14] [16]
Cosecante
[17]
Secante
[17]
Cotangente
[14] [18]
Arcsine
[19]
Arccosine
[20]
Arctangent
[21]
Arccotangente
Forma de matriz
Las fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno se derivan del hecho de que una rotación del plano por el ángulo α , después de una rotación por β , es igual a una rotación por α + β . En términos de matrices de rotación :
La matriz inversa para una rotación es la rotación con el negativo del ángulo
que es también la matriz de transposición .
Estas fórmulas muestran que estas matrices forman una representación del grupo de rotación en el plano (técnicamente, el grupo ortogonal especial SO (2) ), ya que la ley de composición se cumple y existen las inversas. Además, la multiplicación de la matriz de rotación para un ángulo α con un vector de columna rotará el vector de columna en sentido antihorario en el ángulo α .
Dado que la multiplicación por un número complejo de unidades de longitud rota el plano complejo por el argumento del número, la multiplicación anterior de matrices de rotación es equivalente a una multiplicación de números complejos:
En términos de la fórmula de Euler , esto simplemente dice , mostrando que es una representación compleja unidimensional de .
Senos y cosenos de sumas de infinitos ángulos
Cuando la serie converge absolutamente entonces
Porque la serie converge absolutamente, es necesariamente el caso de que , , y . En particular, en estas dos identidades aparece una asimetría que no se ve en el caso de sumas de un número finito de ángulos: en cada producto, solo hay un número finito de factores sinusoidales pero cofinitivamente muchos factores coseno. Los términos con infinitos factores sinusoidales serían necesariamente iguales a cero.
Cuando solo un número finito de los ángulos θ i son distintos de cero, entonces solo un número finito de los términos del lado derecho son distintos de cero porque todos, excepto un número finito de factores sinusoidales, desaparecen. Además, en cada término todos los factores del coseno, excepto un número finito, son unidad.
Tangentes y cotangentes de sumas
Sea e k (para k = 0, 1, 2, 3, ...) el polinomio simétrico elemental de k -ésimo grado en las variables
para i = 0, 1, 2, 3, ..., es decir,
Luego
usando las fórmulas de suma de seno y coseno anteriores.
El número de términos del lado derecho depende del número de términos del lado izquierdo.
Por ejemplo:
y así. El caso de sólo un número finito de términos puede demostrarse mediante inducción matemática . [22]
Secantes y cosecantes de sumas
donde e k es el polinomio simétrico elemental de k -ésimo grado en las n variables x i = tan θ i , i = 1, ..., n , y el número de términos en el denominador y el número de factores en el producto en el numerador depende del número de términos en la suma de la izquierda. [23] El caso de sólo un número finito de términos puede demostrarse mediante inducción matemática sobre el número de dichos términos.
Por ejemplo,
Fórmulas de múltiples ángulos
T n es el n- ésimo polinomio de Chebyshev
[24]
fórmula de de Moivre , i es la unidad imaginaria
[25]
Fórmulas de ángulo doble, triple ángulo y medio ángulo
Fórmulas de doble ángulo
Fórmulas para el doble de ángulo. [26]
Fórmulas de triple ángulo
Fórmulas para ángulos triples. [26]
Fórmulas de medio ángulo
[27] [28]
También
Mesa
Estos se pueden mostrar utilizando las identidades de suma y diferencia o las fórmulas de múltiples ángulos.
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Fórmulas de doble ángulo [29] [30]
Fórmulas de triple ángulo [24] [31]
Fórmulas de medio ángulo [27] [28]
El hecho de que la fórmula de triple ángulo para seno y coseno solo involucre potencias de una sola función permite relacionar el problema geométrico de una construcción de compás y regla no graduada de trisección angular con el problema algebraico de resolver una ecuación cúbica , lo que permite demostrar que la trisección es en general imposible usando las herramientas dadas, por la teoría de campo .
Existe una fórmula para calcular las identidades trigonométricas para el ángulo de un tercio, pero requiere encontrar los ceros de la ecuación cúbica 4 x 3 - 3 x + d = 0 , donde x es el valor de la función coseno en el tercio ángulo y d es el valor conocido de la función coseno en el ángulo completo. Sin embargo, el discriminante de esta ecuación es positivo, por lo que esta ecuación tiene tres raíces reales (de las cuales solo una es la solución para el coseno del ángulo de un tercio). Ninguna de estas soluciones se puede reducir a una expresión algebraica real , ya que usan números complejos intermedios debajo de las raíces cúbicas .
Seno, coseno y tangente de múltiples ángulos
Para múltiplos específicos, estos se siguen de las fórmulas de suma de ángulos, mientras que la fórmula general fue dada por el matemático francés del siglo XVI François Viète . [ cita requerida ]
para valores no negativos de k hasta n . [ cita requerida ]
En cada una de estas dos ecuaciones, el primer término entre paréntesis es un coeficiente binomial y la función trigonométrica final es igual a uno, menos uno o cero, de modo que se eliminan la mitad de las entradas en cada una de las sumas. La proporción de estas fórmulas da
[ cita requerida ]
Método Chebyshev
El método de Chebyshev es un algoritmo recursivo para encontrar la n ésima fórmula de ángulos múltiples conociendo los valores ( n - 1) ésimo y ( n - 2) ésimo. [32]
cos ( nx ) se puede calcular a partir de cos (( n - 1) x ) , cos (( n - 2) x ) y cos ( x ) con
cos ( nx ) = 2 · cos x · cos (( n - 1) x ) - cos (( n - 2) x ) .
Esto se puede demostrar sumando las fórmulas
cos (( n - 1) x + x ) = cos (( n - 1) x ) cos x - sin (( n - 1) x ) sin x
cos (( n - 1) x - x ) = cos (( n - 1) x ) cos x + sin (( n - 1) x ) sin x .
Se deduce por inducción que cos ( nx ) es un polinomio de cos x , el llamado polinomio de Chebyshev del primer tipo, ver polinomios de Chebyshev # Definición trigonométrica .
De manera similar, sin ( nx ) se puede calcular a partir de sin (( n - 1) x ) , sin (( n - 2) x ) y cos ( x ) con
sin ( nx ) = 2 · cos x · sin (( n - 1) x ) - sin (( n - 2) x ) .
Esto se puede demostrar agregando fórmulas para sin (( n - 1) x + x ) y sin (( n - 1) x - x ) .
Con un propósito similar al del método Chebyshev, para la tangente podemos escribir:
Tangente de un promedio
Al establecer α o β en 0 se obtienen las fórmulas habituales de medio ángulo de tangente.
El producto infinito de Viète
(Consulte la fórmula de Viète y la función sinc .)
Fórmulas de reducción de potencia
Se obtiene resolviendo la segunda y tercera versiones de la fórmula del coseno de doble ángulo.
Seno
Coseno
Otro
y en términos generales de potencias de pecado θ o cos theta lo siguiente es verdadero, y se puede deducir usando la fórmula de De Moivre , la fórmula de Euler y el teorema del binomio [ citación necesaria ] .
Coseno
Seno
Identidades de producto a suma y suma a producto
Las identidades producto-a-suma o las fórmulas de prosthaféresis pueden probarse expandiendo sus lados derechos usando los teoremas de la suma de ángulos . Consulte la modulación de amplitud para obtener una aplicación de las fórmulas de suma a suma y el detector de latidos (acústica) y de fase para las aplicaciones de las fórmulas de suma a producto.
Producto a suma [33]
Suma al producto [34]
Otras identidades relacionadas
[35]
Si x + y + z = π (semicírculo), entonces
Identidad triple tangente: Si x + y + z = π (semicírculo), entonces
En particular, la fórmula se cumple cuando x , y y z son los tres ángulos de cualquier triángulo.
(Si cualquiera de x , y , z es un ángulo recto, uno debe tomar ambos lados como ∞ . Esto no es ni + ∞ ni −∞ ; para los propósitos actuales, tiene sentido agregar un solo punto en el infinito a la línea real , que se aproxima por tan θ cuando tan θ aumenta a través de valores positivos o disminuye a través de valores negativos. Esta es una compactación de un punto de la línea real.)
Identidad triple cotangente: Si x + y + z = π/2 (ángulo recto o un cuarto de círculo), luego
Identidad cotangente de Hermite
Charles Hermite demostró la siguiente identidad. [36] Suponga que a 1 , ..., a n son números complejos , ninguno de los cuales difiere en un múltiplo entero de π . Dejar
(en particular, A 1,1 , siendo un producto vacío , es 1). Luego
El ejemplo no trivial más simple es el caso n = 2 :
El teorema de Ptolomeo
El teorema de Ptolomeo se puede expresar en el lenguaje de la trigonometría moderna como:
Si w + x + y + z = π , entonces:
(Las primeras tres igualdades son reordenamientos triviales; la cuarta es la sustancia de esta identidad).
Productos finitos de funciones trigonométricas
Para enteros coprimos n , m
donde T n es el polinomio de Chebyshev .
La siguiente relación es válida para la función seno
Más en general [37]
Combinaciones lineales
Para algunos propósitos, es importante saber que cualquier combinación lineal de ondas sinusoidales del mismo período o frecuencia pero con diferentes cambios de fase también es una onda sinusoidal con el mismo período o frecuencia, pero con un cambio de fase diferente. Esto es útil en sinusoide apropiado de datos , porque los datos medidos u observados están relacionadas linealmente a los unos y b incógnitas del componentes en fase y en cuadratura base por debajo, resultando en una simple jacobiano , en comparación a la de c y φ .
Seno y coseno
La combinación lineal, o suma armónica, de ondas seno y coseno es equivalente a una sola onda senoidal con un cambio de fase y amplitud escalada, [38] [39]
donde c y φ se definen así:
dado que .
Cambio de fase arbitrario
De manera más general, para cambios de fase arbitrarios, tenemos
donde c y varphi satisfacer:
Más de dos sinusoides
El caso general dice [39]
dónde
y
Véase también Adición fasorial .
Identidades trigonométricas de Lagrange
Estas identidades, que llevan el nombre de Joseph Louis Lagrange , son: [40] [41]
Una función relacionada es la siguiente función de x , llamada kernel de Dirichlet .
ver prueba .
Otras sumas de funciones trigonométricas
Suma de senos y cosenos con argumentos en progresión aritmética: [42] si α ≠ 0 , entonces
La identidad anterior a veces es conveniente de conocer cuando se piensa en la función de Gudermann , que relaciona las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas sin recurrir a números complejos .
Si x , y y z son los tres ángulos de cualquier triángulo, es decir, si x + y + z = π , entonces
Ciertas transformaciones fraccionarias lineales
Si f ( x ) está dada por la transformación fraccional lineal
and similarly
then
More tersely stated, if for all α we let fα be what we called f above, then
If x is the slope of a line, then f(x) is the slope of its rotation through an angle of −α.
Funciones trigonométricas inversas
[43]
Compositions of trig and inverse trig functions
Relación con la función exponencial compleja
With the unit imaginary number i satisfying i2 = −1,
[44] ( Euler's formula),
( Euler's identity),
[45]
[46]
These formulae are useful for proving many other trigonometric identities. For example, that ei(θ+φ) = eiθeiφ means that
cos(θ+φ) + i sin(θ+φ) = (cos θ + i sin θ) (cos φ + i sin φ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ) + i (cos θ sin φ + sin θ cos φ).
That the real part of the left hand side equals the real part of the right hand side is an angle addition formula for cosine. The equality of the imaginary parts gives an angle addition formula for sine.
Fórmulas de productos infinitas
For applications to special functions, the following infinite product formulae for trigonometric functions are useful:[47][48]
Identidades sin variables
In terms of the arctangent function we have[43]
The curious identity known as Morrie's law,
is a special case of an identity that contains one variable:
The same cosine identity in radians is
Similarly,
is a special case of an identity with x = 20°:
For the case x = 15°,
For the case x = 10°,
The same cosine identity is
Similarly,
Similarly,
The following is perhaps not as readily generalized to an identity containing variables (but see explanation below):
Degree measure ceases to be more felicitous than radian measure when we consider this identity with 21 in the denominators:
The factors 1, 2, 4, 5, 8, 10 may start to make the pattern clear: they are those integers less than 21/2 that are relatively prime to (or have no prime factors in common with) 21. The last several examples are corollaries of a basic fact about the irreducible cyclotomic polynomials: the cosines are the real parts of the zeroes of those polynomials; the sum of the zeroes is the Möbius function evaluated at (in the very last case above) 21; only half of the zeroes are present above. The two identities preceding this last one arise in the same fashion with 21 replaced by 10 and 15, respectively.
Other cosine identities include:[49]
and so forth for all odd numbers, and hence
Many of those curious identities stem from more general facts like the following:[50]
and
Combining these gives us
If n is an odd number (n = 2m + 1) we can make use of the symmetries to get
The transfer function of the Butterworth low pass filter can be expressed in terms of polynomial and poles. By setting the frequency as the cutoff frequency, the following identity can be proved:
Computing π
An efficient way to compute π to a large number of digits is based on the following identity without variables, due to Machin. This is known as a Machin-like formula:
or, alternatively, by using an identity of Leonhard Euler:
or by using Pythagorean triples:
Others include:
[51][43]
[51]
[43]
Generally, for numbers t1, ..., tn−1 ∈ (−1, 1) for which θn = ∑n−1 k=1 arctan tk ∈ (π/4, 3π/4), let tn = tan(π/2 − θn) = cot θn. This last expression can be computed directly using the formula for the cotangent of a sum of angles whose tangents are t1, ..., tn−1 and its value will be in (−1, 1). In particular, the computed tn will be rational whenever all the t1, ..., tn−1 values are rational. With these values,
where in all but the first expression, we have used tangent half-angle formulae. The first two formulae work even if one or more of the tk values is not within (−1, 1). Note that if t = p/q is rational, then the (2t, 1 − t2, 1 + t2) values in the above formulae are proportional to the Pythagorean triple (2pq, q2 − p2, q2 + p2).
For example, for n = 3 terms,
for any a, b, c, d > 0.
A useful mnemonic for certain values of sines and cosines
For certain simple angles, the sines and cosines take the form √n/2 for 0 ≤ n ≤ 4, which makes them easy to remember.
Miscellany
With the golden ratio φ:
Also see trigonometric constants expressed in real radicals.
An identity of Euclid
Euclid showed in Book XIII, Proposition 10 of his Elements that the area of the square on the side of a regular pentagon inscribed in a circle is equal to the sum of the areas of the squares on the sides of the regular hexagon and the regular decagon inscribed in the same circle. In the language of modern trigonometry, this says:
Ptolemy used this proposition to compute some angles in his table of chords.
Composición de funciones trigonométricas
This identity involves a trigonometric function of a trigonometric function:[52]
where Ji are Bessel functions.
Cálculo
In calculus the relations stated below require angles to be measured in radians; the relations would become more complicated if angles were measured in another unit such as degrees. If the trigonometric functions are defined in terms of geometry, along with the definitions of arc length and area, their derivatives can be found by verifying two limits. The first is:
verified using the unit circle and squeeze theorem. The second limit is:
verified using the identity tan x/2 = 1 − cos x/sin x. Having established these two limits, one can use the limit definition of the derivative and the addition theorems to show that (sin x)′ = cos x and (cos x)′ = −sin x. If the sine and cosine functions are defined by their Taylor series, then the derivatives can be found by differentiating the power series term-by-term.
The rest of the trigonometric functions can be differentiated using the above identities and the rules of differentiation:[53][54][55]
The integral identities can be found in List of integrals of trigonometric functions. Some generic forms are listed below.
Implications
The fact that the differentiation of trigonometric functions (sine and cosine) results in linear combinations of the same two functions is of fundamental importance to many fields of mathematics, including differential equations and Fourier transforms.
Some differential equations satisfied by the sine function
Let i = √−1 be the imaginary unit and let ∘ denote composition of differential operators. Then for every odd positive integer n,
(When k = 0, then the number of differential operators being composed is 0, so the corresponding term in the sum above is just (sin x)n.) This identity was discovered as a by-product of research in medical imaging.[56]
Definiciones exponenciales
Function
Inverse function[57]
cis θ = e i θ {\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}
Otras identidades "condicionales" para el caso α + β + γ = 180 °
The following formulae apply to arbitrary plane triangles and follow from α + β + γ = 180°, as long as the functions occurring in the formulae are well-defined (the latter applies only to the formulae in which tangents and cotangents occur).
Diverso
Dirichlet kernel
The Dirichlet kernelDn(x) is the function occurring on both sides of the next identity:
The convolution of any integrable function of period 2π with the Dirichlet kernel coincides with the function's nth-degree Fourier approximation. The same holds for any measure or generalized function.
Tangent half-angle substitution
If we set
then[58]
where eix = cos x + i sin x, sometimes abbreviated to cis x.
When this substitution of t for tan x/2 is used in calculus, it follows that sin x is replaced by 2t/1 + t2, cos x is replaced by 1 − t2/1 + t2 and the differential dx is replaced by 2 dt/1 + t2. Thereby one converts rational functions of sin x and cos x to rational functions of t in order to find their antiderivatives.
Ver también
Aristarchus's inequality
Derivatives of trigonometric functions
Exact trigonometric constants (values of sine and cosine expressed in surds)
Exsecant
Half-side formula
Hyperbolic function
Laws for solution of triangles:
Law of cosines
Spherical law of cosines
Law of sines
Law of tangents
Law of cotangents
Mollweide's formula
List of integrals of trigonometric functions
Mnemonics in trigonometry
Pentagramma mirificum
Proofs of trigonometric identities
Prosthaphaeresis
Pythagorean theorem
Tangent half-angle formula
Trigonometric number
Trigonometry
Trigonometric constants expressed in real radicals
Uses of trigonometry
Versine and haversine
Notas
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enlaces externos
Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5+5/8°, and for the same angles csc and sec and tan