En teoría de números , un número feliz es un número que finalmente llega a 1 cuando se reemplaza por la suma del cuadrado de cada dígito. Por ejemplo, 13 es un número feliz porque, y . Por otro lado, 4 no es un número feliz porque la secuencia que comienza con y eventualmente alcanza , el número que inició la secuencia, por lo que el proceso continúa en un ciclo infinito sin llegar nunca a 1. Un número que no es feliz se llama triste o infeliz .
De manera más general, un - el número feliz es un número natural en una base numérica determinada que finalmente llega a 1 cuando se itera sobre la función invariante digital perfecta para. [1]
El origen de los números felices no está claro. Reg Allenby (un autor británico y profesor principal de matemáticas puras en la Universidad de Leeds ) llamó la atención de Reg Allenby por su hija, que había aprendido de ellos en la escuela. Sin embargo, "pueden haberse originado en Rusia" ( Guy 2004 : §E34).
Números felices e invariantes digitales perfectos
Formalmente, deja ser un número natural. Dada la función invariante digital perfecta
- .
para base , un número es -feliz si existe un tal que , dónde representa el -ésima iteración de, y -Incontento de lo contrario. Si un número es un invariante digital perfecto no trivial de, entonces es -infeliz.
Por ejemplo, 19 es 10 feliz, ya que
Por ejemplo, 347 es 6-feliz, como
Hay infinitamente muchos -Números felices, ya que 1 es un -feliz número, y por cada , ( en base ) es -feliz, ya que su suma es 1. La felicidad de un número se conserva quitando o insertando ceros a voluntad, ya que no contribuyen a la suma cruzada.
Densidad natural de -números felices
Al inspeccionar el primer millón de números felices de 10, parece que tienen una densidad natural de alrededor de 0,15. Quizás sorprendentemente, entonces, los números de diez felices no tienen una densidad asintótica. La densidad superior de los números felices es superior a 0,18577 y la densidad inferior es inferior a 0,1138. [2]
Bases felices
Una base feliz es una base numérica donde cada número es -contento. Las únicas bases felices menos de5 × 10 8 son base 2 y base 4 . [3]
Específico -números felices
4 números felices
Para , el único invariante digital perfecto positivo para es el invariante digital perfecto trivial 1, y no hay otros ciclos. Debido a que todos los números son puntos preperiódicos para, todos los números conducen a 1 y son felices. Como resultado, la base 4 es una base feliz.
6 números felices
Para , el único invariante digital perfecto positivo para es el invariante digital perfecto trivial 1, y el único ciclo es el ciclo de ocho números
- 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 → ...
y porque todos los números son puntos preperiódicos para , todos los números conducen al 1 y son felices, o conducen al ciclo y son infelices. Debido a que la base 6 no tiene otros invariantes digitales perfectos excepto 1, ningún entero positivo distinto de 1 es la suma de los cuadrados de sus propios dígitos.
En base 10, los 74 6 números felices hasta 1296 = 6 4 son (escritos en base 10):
- 1, 6, 36, 44, 49, 79, 100, 160, 170, 216, 224, 229, 254, 264, 275, 285, 289, 294, 335, 347, 355, 357, 388, 405, 415, 417, 439, 460, 469, 474, 533, 538, 580, 593, 600, 608, 628, 638, 647, 695, 707, 715, 717, 767, 777, 787, 835, 837, 847, 880, 890, 928, 940, 953, 960, 968, 1010, 1018, 1020, 1033, 1058, 1125, 1135, 1137, 1168, 1178, 1187, 1195, 1197, 1207, 1238, 1277, 1292, 1295
10 números felices
Para , el único invariante digital perfecto positivo para es el invariante digital perfecto trivial 1, y el único ciclo es el ciclo de ocho números
- 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → ...
y porque todos los números son puntos preperiódicos para , todos los números conducen al 1 y son felices, o conducen al ciclo y son infelices. Debido a que la base 10 no tiene otros invariantes digitales perfectos excepto 1, ningún entero positivo distinto de 1 es la suma de los cuadrados de sus propios dígitos.
En base 10, los 143 números de 10 felices hasta 1000 son:
- 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000 (secuencia A007770 en la OEIS ).
Las distintas combinaciones de dígitos que forman 10 números felices por debajo de 1000 son (el resto son solo reordenamientos y / o inserciones de cero dígitos):
- 1, 7, 13, 19, 23, 28, 44, 49, 68, 79, 129, 133, 139, 167, 188, 226, 236, 239, 338, 356, 367, 368, 379, 446, 469, 478, 556, 566, 888, 899. (secuencia A124095 en la OEIS ).
El primer par de números felices consecutivos de 10 es 31 y 32. [4] El primer conjunto de tres números consecutivos es 1880, 1881 y 1882. [5] Se ha demostrado que existen secuencias de números felices consecutivos de cualquier número natural largo. [6] El comienzo de la primera serie de al menos n números felices consecutivos de 10 para n = 1, 2, 3, ... es [7]
- 1, 31, 1880, 7839, 44488, 7899999999999959999999996, 7899999999999959999999996, ...
Como dice Robert Styer en su artículo sobre el cálculo de esta serie: "Sorprendentemente, el mismo valor de N que comienza la secuencia mínima de seis números felices consecutivos también comienza la secuencia mínima de siete números felices consecutivos". [8]
El número de 10 números felices hasta 10 n para 1 ≤ n ≤ 20 es [9]
- 3, 20, 143, 1442, 14377, 143071, 1418854, 14255667, 145674808, 1492609148, 15091199357, 149121303586, 1443278000870, 13770853279685, 130660965862333, 1245219117260664, 11849580312444
Felices primos
A -feliz primo es un número que es a la vez -feliz y de primera . A diferencia de los números felices, reorganizar los dígitos de un-feliz prima no necesariamente creará otra feliz prima. Por ejemplo, mientras que 19 es un número primo feliz de 10, 91 = 13 × 7 no es un número primo (pero sigue siendo un número feliz de 10).
Todos los números primos son primos felices 2 y 4 felices, ya que la base 2 y la base 4 son bases felices.
6-primos felices
En base 6 , los 6 números primos felices por debajo de 1296 = 6 4 son
- 211, 1021, 1335, 2011, 2425, 2555, 3351, 4225, 4441, 5255, 5525
10 números primos felices
En base 10 , los 10 números primos felices por debajo de 500 son
- 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (secuencia A035497 en el OEIS ).
El primo palindrómico 10 150006 +7 426 247 × 10 75 000 + 1 es primo de 10 contento con150 007 dígitos porque los muchos 0s no contribuyen a la suma de dígitos al cuadrado, y 1 2 + 7 2 + 4 2 + 2 2 + 6 2 + 2 2 + 4 2 + 7 2 + 1 2 = 176, que es una 10-número feliz. Paul Jobling descubrió el mejor en 2005. [10]
A partir de 2010[actualizar], el número primo 10 feliz más grande conocido es 2 42643801 - 1 (un número primo de Mersenne ). [ dudoso ] Su expansión decimal tiene12 837 064 dígitos. [11]
12 primos felices
En base 12 , no hay números primos de 12 felices menores que 10000, los primeros números primos de 12 felices son (las letras X y E representan los números decimales 10 y 11 respectivamente)
- 11031, 1233E, 13011, 1332E, 16377, 17367, 17637, 22E8E, 2331E, 233E1, 23955, 25935, 25X8E, 28X5E, 28XE5, 2X8E5, 2E82E, 2E8X5, 31011, 31101, 3123E, 3132E, 316795 33E, 316795 35567, 35765, 35925, 36557, 37167, 37671, 39525, 4878E, 4X7X7, 53567, 55367, 55637, 56357, 57635, 58XX5, 5X82E, 5XX85, 606EE, 63575, 63771, 66E0E, 67317, 67371, 67371 71367, 71637, 73167, 76137, 7XX47, 82XE5, 82EX5, 8487E, 848E7, 84E87, 8874E, 8X1X7, 8X25E, 8X2E5, 8X5X5, 8XX17, 8XX71, 8E2X5, 8E847, 92355, X 93255, 9358 X285E, X2E85, X85X5, X8X17, XX477, XX585, E228E, E606E, E822E, EX825, ...
Ejemplo de programación
Los ejemplos siguientes implementan la función invariante digital perfecta para y una base predeterminada descrito en la definición de feliz que se da al principio de este artículo, repetidamente; después de cada vez, comprueban las dos condiciones de parada: llegar a 1 y repetir un número .
Una prueba simple en Python para verificar si un número es feliz:
def pdi_function ( número , base : int = 10 ): "" "Función invariante digital perfecta." "" total = 0 while número > 0 : total + = pow ( número % base , 2 ) número = número // base retorno totaldef is_happy ( number : int ) -> bool : "" "Determina si el número especificado es un número feliz." "" seen_numbers = set () while number > 1 y number not in seen_numbers : seen_numbers . añadir ( número ) número = pdi_function ( número ) devolver número == 1
Ver también
Referencias
- ^ "Número triste" . Wolfram Research, Inc . Consultado el 16 de septiembre de 2009 .
- ^ Gilmer, Justin (2011). "Sobre la densidad de los números felices". Enteros . 13 (2). arXiv : 1110.3836 . Código Bib : 2011arXiv1110.3836G .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A161872 (número infeliz más pequeño en base n)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A035502 (Menor de par de números felices consecutivos)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS . Consultado el 8 de abril de 2011 .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A072494 (Primero de triples de números felices consecutivos)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS . Consultado el 8 de abril de 2011 .
- ^ Pan, Hao (2006). "Números felices consecutivos". arXiv : matemáticas / 0607213 .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A055629 (Inicio de la primera ejecución de al menos n números felices consecutivos)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Styer, Robert (2010). "Ejemplos más pequeños de cadenas de números consecutivos felices" . Diario de secuencias de enteros . 13 : 5. 10.6.3 - a través de la Universidad de Waterloo .Citado en Sloane "A055629" .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A068571 (Número de números felices <= 10 ^ n)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Chris K. Caldwell. "La base de datos principal: 10 150006 + 7426247 · 10 75000 + 1" . utm.edu .
- ^ Chris K. Caldwell. "La base de datos principal: 2 42643801 - 1" . utm.edu .
Literatura
- Guy, Richard (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-20860-7.
enlaces externos
- Schneider, Walter: Mathews: Happy Numbers.
- Weisstein, Eric W. "Número feliz" . MathWorld .
- calcular si un número es feliz
- Happy Numbers en The Math Forum.
- 145 y el Melancoil en Numberphile.
- Symonds, Ria. "7 y números felices" . Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 15 de enero de 2018 . Consultado el 2 de abril de 2013 .