En matemáticas , un número de divisor armónico , o número de Ore (llamado así por Øystein Ore, quien lo definió en 1948), es un número entero positivo cuyos divisores tienen una media armónica que es un número entero . Los primeros números del divisor armónico son
Ejemplos de
Por ejemplo, el divisor armónico número 6 tiene los cuatro divisores 1, 2, 3 y 6. Su media armónica es un número entero:
El número 140 tiene divisores 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140. Su media armónica es:
5 es un número entero, por lo que 140 es un número divisor armónico.
Factorización de la media armónica
La media armónica H ( n ) de los divisores de cualquier número n se puede expresar como la fórmula
donde σ i ( n ) es la suma de i- ésimo potencias de los divisores de n : σ 0 es el número de divisores y σ 1 es la suma de divisores ( Cohen 1997 ). Todos los términos de esta fórmula son multiplicativos , pero no completamente multiplicativos . Por tanto, la media armónica H ( n ) también es multiplicativa. Esto significa que, para cualquier entero positivo n , la media armónica H ( n ) se puede expresar como el producto de las medias armónicas de las potencias primas en la factorización de n .
Por ejemplo, tenemos
y
Números de divisores armónicos y números perfectos
Para cualquier entero M , como observó Ore, el producto de la media armónica y la media aritmética de sus divisores es igual a M mismo, como puede verse en las definiciones. Por tanto, M es armónico, con media armónica de divisores k , si y solo si el promedio de sus divisores es el producto de M con una fracción unitaria 1 / k .
Ore demostró que todo número perfecto es armónico. Para ver esto, observe que la suma de los divisores de un número perfecto M es exactamente 2M ; Por lo tanto, la media de los divisores es M (2 / τ ( M )), donde τ ( M ) indica el número de divisores de M . Para cualquier M , τ ( M ) es impar si y solo si M es un número cuadrado ; de lo contrario, cada divisor d de M puede emparejarse con un divisor M / d diferente . Pero ningún número perfecto puede ser un cuadrado: esto se deriva de la forma conocida de los números perfectos pares y del hecho de que los números perfectos impares (si existen) deben tener un factor de la forma q α donde α ≡ 1 (mod 4) . Por tanto, para un número perfecto M , τ ( M ) es par y el promedio de los divisores es el producto de M con la fracción unitaria 2 / τ ( M ); por tanto, M es un número divisor armónico.
Ore conjeturó que no existen números divisores armónicos impares distintos de 1. Si la conjetura es cierta, esto implicaría la inexistencia de números perfectos impares .
Límites y búsquedas informáticas
WH Mills (inédito; ver Muskat) mostró que cualquier número divisor armónico impar por encima de 1 debe tener un factor de potencia primo mayor que 10 7 , y Cohen mostró que cualquier número de ese tipo debe tener al menos tres factores primos diferentes. Cohen y Sorli (2010) demostraron que no hay números de divisores armónicos impares menores que 10 24 .
Cohen, Goto y otros, empezando por el propio Ore, han realizado búsquedas informáticas que enumeran todos los números de divisores armónicos pequeños. A partir de estos resultados, se conocen listas de todos los números de divisores armónicos hasta 2 × 10 9 , y todos los números de divisores armónicos para los que la media armónica de los divisores es como máximo 300.
Referencias
- Bogomolny, Alexander . "Una identidad relativa a los promedios de los divisores de un entero dado" . Consultado el 10 de septiembre de 2006 .
- Cohen, Graeme L. (1997). "Números cuyos divisores positivos tienen media armónica integral pequeña" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 66 (218): 883–891. doi : 10.1090 / S0025-5718-97-00819-3 .
- Cohen, Graeme L .; Sorli, Ronald M. (2010). "Los números de armónicos impares superan los 10 24 " . Matemáticas de la Computación . 79 (272): 2451. doi : 10.1090 / S0025-5718-10-02337-9 . ISSN 0025-5718 .
- Vete, Takeshi. "Números armónicos (de mineral)" . Consultado el 10 de septiembre de 2006 .
- Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 .
- Muskat, Joseph B. (1966). "Sobre divisores de números perfectos impares" . Matemáticas de la Computación . 20 (93): 141-144. doi : 10.2307 / 2004277 . JSTOR 2004277 .
- Mineral, Øystein (1948). "Sobre las medias de los divisores de un número". American Mathematical Monthly . 55 (10): 615–619. doi : 10.2307 / 2305616 . JSTOR 2305616 .
- Weisstein, Eric W. "Número de divisor armónico" . MathWorld .