Operador autoadjunto
En matemáticas , un operador autoadjunto en un espacio vectorial complejo de dimensión infinita V con producto interno (de manera equivalente, un operador hermitiano en el caso de dimensión finita) es un mapa lineal A (de V a sí mismo) que es su propio adjunto . Si V es de dimensión finita con una base ortonormal dada , esto equivale a la condición de que la matriz de A sea una matriz hermitiana , es decir, igual a su transpuesta conjugada A ∗ . Según el teorema espectral de dimensión finita , V tiene una base ortonormal tal que la matriz de A relativa a esta base es una matriz diagonal con entradas en los números reales . En este artículo, consideramos generalizaciones de este concepto a operadores en espacios de Hilbert de dimensión arbitraria.
Los operadores autoadjuntos se utilizan en análisis funcional y mecánica cuántica . En la mecánica cuántica, su importancia radica en la formulación de Dirac-von Neumann de la mecánica cuántica, en la que los observables físicos como la posición , el momento , el momento angular y el giro están representados por operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert. De particular importancia es el operador hamiltoniano definido por
que como un corresponde observables al total de energía de una partícula de masa m en un verdadero campo de potencial V . Los operadores diferenciales son una clase importante de operadores ilimitados .
La estructura de los operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert de dimensión infinita se parece esencialmente al caso de dimensión finita. Es decir, los operadores son autoadjuntos si y solo si son unitariamente equivalentes a los operadores de multiplicación de valor real . Con las modificaciones adecuadas, este resultado puede extenderse a operadores posiblemente ilimitados en espacios de dimensión infinita. Dado que un operador autoadjunto definido en todas partes está necesariamente acotado, es necesario estar más atento al problema del dominio en el caso ilimitado. Esto se explica a continuación con más detalle.
Sea un operador ilimitado (es decir, no necesariamente acotado) con un dominio denso . Esta condición se cumple automáticamente cuando es de dimensión finita ya que para cada operador lineal en un espacio de dimensión finita.
