En matemáticas, un álgebra de Hecke de un grupo localmente compacto es un álgebra de medidas bi-invariantes en convolución .
Definición
Sea ( G , K ) un par que consiste en una unimodular grupo topológico localmente compacto G y un subgrupo cerrado K de G . Luego el espacio de bi- K -invariante funciones continuas de soporte compacto
- C [ K \ G / K ]
puede estar dotado de una estructura de álgebra asociativa bajo la operación de convolución . Esta álgebra se denota
- H ( G // K )
y llamó el anillo de Hecke del par ( G , K ). Si comenzamos con un par Gelfand , el álgebra resultante resulta ser conmutativa.
Ejemplos de
SL (2)
En particular, esto se cumple cuando
- G = SL n ( Q p ) y K = SL n ( Z p )
y las representaciones del correspondiente anillo conmutativo de Hecke fueron estudiadas por Ian G. Macdonald .
GL (2)
Por otro lado, en el caso
- G = GL 2 (Q) y K = GL 2 (Z)
tenemos el álgebra de Hecke clásica , que es el anillo conmutativo de los operadores de Hecke en la teoría de formas modulares .
Iwahori
El caso que conduce al álgebra de Iwahori-Hecke de un grupo Weyl finito es cuando G es el grupo Chevalley finito sobre un campo finito con p k elementos, y B es su subgrupo Borel . Iwahori demostró que el anillo de Hecke
- H ( G // B )
se obtiene del álgebra genérica de Hecke H q del grupo de Weyl W de G especializando el q indeterminado de este último álgebra en p k , la cardinalidad del campo finito. George Lusztig comentó en 1984 ( Caracteres de grupos reductivos sobre un campo finito , xi, nota al pie):
Creo que sería más apropiado llamarlo álgebra de Iwahori, pero el nombre de anillo de Hecke (o álgebra) dado por el propio Iwahori ha estado en uso durante casi 20 años y probablemente sea demasiado tarde para cambiarlo ahora.
Iwahori y Matsumoto (1965) consideran el caso cuando G es un grupo de puntos de un grupo algebraico reductiva sobre un no Arquímedes de campo local F , tal como Q p , y K es lo que ahora se llama un subgrupo Iwahori de G . El anillo Hecke resultante es isomorfo al álgebra Hecke del grupo afín Weyl de G , o la affine Hecke álgebra , donde el indeterminada q se ha especializado a la cardinalidad del campo residuo de F .
Ver también
Referencias
- Shimura (1971). Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas (edición de bolsillo). Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-08092-5.