En matemáticas , un par Gelfand es un par (G, K) que consta de un grupo G y un subgrupo K (llamado subgrupo Euler de G ) que satisface una determinada propiedad en representaciones restringidas . La teoría de los pares de Gelfand está estrechamente relacionada con el tema de las funciones esféricas en la teoría clásica de funciones especiales y con la teoría de los espacios simétricos de Riemann en geometría diferencial . En términos generales, la teoría existe para abstraer de estas teorías su contenido en términos deanálisis armónico y teoría de la representación .
Cuando G es un grupo finito la definición más simple es, en términos generales, que el (K, K) -Doble clases laterales en G conmute. Más precisamente, el álgebra Hecke , el álgebra de funciones en G que son invariantes bajo traducción de cualquier lado por K , debe ser conmutativa para la convolución en G .
En general, la definición de par Gelfand es aproximadamente que la restricción a K de cualquier representación irreducible de G contiene la representación trivial de K con multiplicidad no más de 1. En cada caso se debe especificar la clase de representaciones consideradas y el significado de contiene .
Definiciones
En cada área, la clase de representaciones y la definición de contención para representaciones es ligeramente diferente. Aquí se dan definiciones explícitas en varios de estos casos.
Caso de grupo finito
Cuando G es un grupo finito, los siguientes son equivalentes
- (G, K) es un par Gelfand.
- El álgebra de las funciones invariantes dobles (K, K) en G con multiplicación definida por convolución es conmutativa.
- Para cualquier representación irreducible π de G , el espacio π K de K - vectores invariantes en π no es más que 1-dimensional.
- Para cualquier representación irreducible π de G , la dimensión de Hom K ( π , C ) es menor o igual a 1, donde C denota la representación trivial .
- La representación de permutación de G en las clases laterales de K está libre de multiplicidad, es decir, se descompone en una suma directa de representaciones distintas absolutamente irreductibles en la característica cero.
- El álgebra centralizadora ( álgebra de Schur ) de la representación de permutación es conmutativa .
- ( G / N , K / N ) es un par Gelfand, donde N es un subgrupo normal de G contenido en K .
Estuche de grupo compacto
Cuando G es un grupo topológico compacto, los siguientes son equivalentes:
- (G, K) es un par Gelfand.
- El álgebra de (K, K) -double invariante compacta soportado medidas continuas en G con multiplicación definida por convolución es conmutativa.
- Para cualquier representación π continua , localmente convexa e irreducible de G , el espacio π K de K - vectores invariantes en π no es más que unidimensional.
- Para cualquier representación π continua, localmente convexa e irreducible de G, la dimensión de Hom K ( π , C ) es menor o igual que 1.
- La representación L 2 (G / K) de G es multiplicidad libre, es decir, es una suma directa de distintas representaciones unitarias irreductibles.
Grupo de mentiras con subgrupo compacto
Cuando G es un grupo de Lie y K es un subgrupo compacto, los siguientes son equivalentes:
- (G, K) es un par Gelfand.
- El álgebra de (K, K) -double invariante compacta soportado medidas continuas en G con multiplicación definida por convolución es conmutativa.
- El álgebra D (G / K) K de K - operadores diferenciales invariantes en G / K es conmutativa.
- Para cualquier representación π continua , localmente convexa e irreducible de G , el espacio π K de K - vectores invariantes en π no es más que unidimensional.
- Para cualquier representación π continua, localmente convexa e irreducible de G, la dimensión de Hom K ( π , C ) es menor o igual que 1.
- La representación L 2 (G / K) de G está libre de multiplicidad, es decir, es una integral directa de distintas representaciones unitarias irreductibles.
Para una clasificación de tales pares Gelfand, ver. [1]
Los ejemplos clásicos de tales pares Gelfand son (G, K) , donde G es un grupo de Lie reductor y K es un subgrupo compacto máximo .
Grupo topológico localmente compacto con subgrupo compacto
Cuando G es un grupo topológico localmente compacto y K es un subgrupo compacto, los siguientes son equivalentes:
- (G, K) es un par Gelfand.
- El álgebra de (K, K) -double invariante compacta soportado medidas continuas en G con multiplicación definida por convolución es conmutativa.
- Para cualquier representación irreducible localmente convexa continua π de G , el espacio π K de K - vectores invariantes en π no es más que unidimensional.
- Para cualquier representación π continua, localmente convexa e irreducible de G , la dimensión de Hom K ( π , C ) es menor o igual que 1.
- La representación L 2 (G / K) de G está libre de multiplicidad, es decir, es una integral directa de distintas representaciones unitarias irreductibles.
En ese entorno, G tiene una descomposición Iwasawa - Monod , a saber, G = KP para algún subgrupo P de G susceptible . [2] Este es el análogo abstracto de la descomposición Iwasawa de grupos de Lie semisimple .
Grupo de mentiras con subgrupo cerrado
Cuando G es un grupo de Lie y K es un subgrupo cerrado , el par (G, K) se llama un par Gelfand generalizado si para cualquier representación unitaria irreducible π de G en un espacio de Hilbert la dimensión de Hom K ( π , C ) es menor o igual que 1, donde π ∞ denota la subrepresentación de vectores suaves .
Grupo reductor sobre un campo local con subgrupo cerrado
Cuando G es un grupo reductor sobre un campo local y K es un subgrupo cerrado, hay tres nociones (posiblemente no equivalentes) del par Gelfand que aparecen en la literatura. Los llamaremos aquí GP1, GP2 y GP3.
GP1) Para cualquier representación admisible irreducible π de G, la dimensión de Hom K ( π , C ) es menor o igual a 1.
GP2) Para cualquier representación admisible irreducible π de G tenemos, dónde denota el suave dual .
GP3) Para cualquier representación unitaria irreducible π de G en un espacio de Hilbert, la dimensión de Hom K ( π , C ) es menor o igual a 1.
Aquí, la representación admisible es la noción habitual de representación admisible cuando el campo local no es arquimediano. Cuando el campo local es arquimediano, la representación admisible significa en cambio una representación suave de Fréchet de crecimiento moderado, de modo que el módulo Harish-Chandra correspondiente es admisible .
Si el campo local es arquimediano, entonces GP3 es el mismo que la propiedad Gelfand generalizada definida en el caso anterior.
Claramente, GP1 ⇒ GP2 ⇒ GP3.
Pares fuertes de Gelfand
Un par (G, K) se llama un par Gelfand fuerte si el par ( G × K , Δ K ) es un par Gelfand, donde Δ K ≤ G × K es el subgrupo diagonal: { (k, k) en G × K : k en K }. A veces, esta propiedad también se denomina propiedad de multiplicidad uno .
En cada uno de los casos anteriores se puede adaptar a pares Gelfand fuertes. Por ejemplo, sea G un grupo finito. Entonces los siguientes son equivalentes.
- (G, K) es un fuerte par Gelfand.
- El álgebra de funciones en G invariante con respecto a la conjugación por K (con la multiplicación definida por convolución) es conmutativa.
- Para cualquier representación irreducible π de G y τ de K , el espacio Hom K ( τ , π ) no tiene más de 1 dimensión.
- Para cualquier representación irreducible π de G y τ de K , el espacio Hom K ( π , τ ) no tiene más de 1 dimensión.
Criterios para la propiedad Gelfand
Grupo topológico localmente compacto con subgrupo compacto
En este caso hay un criterio clásico debido a Gelfand para que el par (G, K) sea Gelfand: Supongamos que existe un anti-automorfismo involutivo σ de G st cualquier doble (K, K) clase lateral es σ invariante. Entonces el par (G, K) es un par Gelfand.
Este criterio es equivalente al siguiente: Supongamos que existe un anti-automorfismo involutivo σ de G tal que cualquier función en G que sea invariante con respecto a las traslaciones tanto a la derecha como a la izquierda por K es σ invariante. Entonces el par (G, K) es un par Gelfand.
Grupo reductor sobre un campo local con subgrupo cerrado
En este caso, existe un criterio debido a Gelfand y Kazhdan para que la pareja (G, K) satisfaga GP2. Suponga que existe un anti - automorfismo involutivo σ de G tal que cualquier distribución invariante doble (K, K) en G es σ- invariante. Entonces el par (G, K) satisface GP2. Ver. [3] [4] [5]
Si la declaración anterior es válida solo para distribuciones definidas positivas, entonces el par satisface GP3 (vea el siguiente caso).
La propiedad GP1 se sigue a menudo de GP2. Por ejemplo, esto es válido si existe un anti - automorfismo involutivo de G que preserva K y preserva cada clase de conjugación cerrada. Para G = GL ( n ), la transposición puede servir como tal involución.
Grupo de mentiras con subgrupo cerrado
En este caso existe el siguiente criterio para que el par (G, K) sea un par Gelfand generalizado. Suponga que existe un anti - automorfismo involutivo σ de G st. Cualquier distribución definida positiva invariante de K × K en G es σ -invariante. Entonces el par (G, K) es un par Gelfand generalizado. Ver. [6]
Criterios para una fuerte propiedad Gelfand
Todos los criterios anteriores se pueden convertir en criterios de fuertes pares Gelfand mediante la sustitución de la acción de dos caras de K × K por la acción conjugación de K .
Pares de Gelfand trenzados
Una generalización de la noción de par Gelfand es la noción de par Gelfand trenzado. Es decir, un par (G, K) se llama un par Gelfand trenzado con respecto al carácter χ del grupo K , si la propiedad Gelfand se cumple cuando la representación trivial se reemplaza con el carácter χ. Por ejemplo, en el caso de que K sea compacto, significa que la dimensión de Hom K (π, χ)) es menor o igual a 1. Se puede adaptar el criterio para pares Gelfand al caso de pares Gelfand trenzados.
Pares simétricos
La propiedad de Gelfand a menudo se satisface mediante pares simétricos .
Un par (G, K) se llama par simétrico si existe un automorfismo involutivo θ de G tal que K es una unión de componentes conectados del grupo de θ -elementos invariantes: G θ .
Si G es un grupo reductor conectado sobre R y K = G θ es un subgrupo compacto, entonces (G, K) es un par Gelfand. Ejemplo: G = GL ( n , R ) y K = O ( n , R ), el subgrupo de matrices ortogonales.
En general, es una pregunta interesante cuando un par simétrico de un grupo reductor sobre un campo local tiene la propiedad Gelfand. Para pares simétricos de rango uno, esta pregunta se investigó en [7] y [8]
Un ejemplo de par simétrico Gelfand de alto rango es (GL ( n + k ), GL ( n ) × GL ( k )). Esto se demostró en [9] sobre campos locales no arquimedianos y más tarde en [10] para todos los campos locales de característica cero.
Para obtener más detalles sobre esta pregunta para pares simétricos de alto rango, consulte. [11]
Pares esféricos
En el contexto de los grupos algebraicos, los análogos de los pares Gelfand se denominan pares esféricos . Es decir, un par (G, K) de grupos algebraicos se llama par esférico si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes.
- Existe una abierta (B, K) clase lateral -double en G , donde B es el subgrupo Borel de G .
- Hay un número finito de (B, K) -doble clase lateral en G
- Para cualquier representación algebraica π de G , tenemos dim.
En este caso, el espacio G / H se llama espacio esférico .
Se conjetura que cualquier par esférico (G, K) sobre un campo local satisface la siguiente versión débil de la propiedad Gelfand: Para cualquier representación admisible π de G , el espacio Hom K ( π , C ) es de dimensión finita. Además, el límite de esta dimensión no depende de π . Esta conjetura está probada para una gran clase de pares esféricos, incluidos todos los pares simétricos . [12]
Aplicaciones
Clasificación
Los pares Gelfand se utilizan a menudo para la clasificación de representaciones irreducibles de la siguiente manera: Sea (G, K) un par Gelfand. Una representación irreducible de G llamada K -distinguida si Hom K ( π , C ) es unidimensional. La representación IndG
K( C ) es un modelo para todas las representaciones K -distinguidas, es decir, cualquier representación K -distinguida aparece allí con multiplicidad exactamente 1. Existe una noción similar para los pares Gelfand trenzados.
Ejemplo: si G es un grupo reductivo sobre un campo local y K es su subgrupo compacto máximo, entonces K representaciones distinguidas se llaman esféricas , tales representaciones se pueden clasificar a través de la correspondencia de Satake . La noción de representación esférica está en la base de la noción de módulo Harish-Chandra .
Ejemplo: Si G es un grupo reductor dividido sobre un campo local y K es su subgrupo unipotente máximo, entonces el par (G, K) es Gelfa trenzado y un par con cualquier carácter no degenerado ψ (ver, [3] [13] ). En este caso , las representaciones distinguidas por K se denominan genéricas (o no degeneradas) y son fáciles de clasificar. Casi cualquier representación irreductible es genérica. La incrustación única (hasta escalar) de una representación genérica en IndG
K(ψ) se llama modelo de Whittaker .
En el caso de G = GL ( n ) hay una versión más fina del resultado anterior, es decir, existe una secuencia finita de subgrupos K i y caracteresst ( G , K i ) es Gelfand trenzado y par wrty cualquier representación unitaria irreductible se distingue K i por exactamente una i (ver, [14] [15] )
Construcción Gelfand – Zeitlin
También se pueden usar pares de Gelfand para construir bases para representaciones irreductibles: supongamos que tenemos una secuencia {1} ⊂ G 1 ⊂ ... ⊂ G n st (G i , G i-1 ) es un par de Gelfand fuerte. Por simplicidad, supongamos que G n es compacto. Entonces esto da una descomposición canónica de cualquier representación irreducible de G n en subrepresentaciones unidimensionales. Cuando G n = U ( n ) (el grupo unitario) esta construcción se llama base Gelfand Zeitlin . Dado que las representaciones de U ( n ) son las mismas que las representaciones algebraicas de GL ( n ), también obtenemos una base de cualquier representación algebraica irreducible de GL ( n ). Sin embargo, uno debe tener en cuenta que la base construida no es canónica, ya que depende de la elección de las incrustaciones U ( i ) ⊂ U ( i + 1 ).
División de períodos de formas automórficas
Un uso más reciente de los pares Gelfand es para dividir períodos de formas automórficas .
Deje que G sea un grupo reductora definida sobre un campo global F y dejar que K sea un subgrupo algebraica de G . Supongamos que para cualquier lugar de F el par ( G , K ) es un par Gelfand sobre la terminación . Sea m una forma automórfica sobre G , entonces su período H se divide como un producto de factores locales (es decir, factores que dependen solo del comportamiento de m en cada lugar).
Supongamos ahora que se nos da una familia de formas automórficas con un parámetro complejo s . Entonces, el período de esas formas es una función analítica que se divide en un producto de factores locales. A menudo, esto significa que esta función es una determinada función L y esto da una continuación analítica y una ecuación funcional para esta función L.
Observación: normalmente esos periodos no convergen y conviene regularizarlos.
Generalización de la teoría de la representación
Un posible enfoque a la teoría de la representación es considerar teoría de la representación de un grupo G como un análisis armónico sobre el grupo G WRT los dos acción unilateral de G × G . De hecho, conocer todas las representaciones irreductibles de G equivale a conocer la descomposición del espacio de funciones en G como una representación G × G. En este enfoque, la teoría de la representación se puede generalizar reemplazando el par (G × G, G) por cualquier par esférico (G, K) . Entonces seremos llevados a la cuestión del análisis armónico en el espacio G / K WRT la acción de G .
Ahora, la propiedad de Gelfand para el par (G, K) es un análogo del lema de Schur .
Usando este enfoque, uno puede tomar cualquier concepto de la teoría de la representación y generalizarlo al caso del par esférico. Por ejemplo, la fórmula de la traza relativa se obtiene a partir de la fórmula de la traza mediante este procedimiento.
Ejemplos de
Grupos finitos
Algunos ejemplos comunes de pares Gelfand son:
- (Sym ( n +1), Sym ( n )), el grupo simétrico que actúa sobre n +1 puntos y un estabilizador de puntos que es naturalmente isomorfo en n puntos.
- (AGL ( n , q ), GL ( n , q )), el grupo afín (lineal general) y un estabilizador puntual que es naturalmente isomorfo al grupo lineal general .
Si (G, K) es un par Gelfand, entonces ( G / N , K / N ) es un par Gelfand para cada G - subgrupo normal N de K . Para muchos propósitos, es suficiente considerar K sin ninguno de estos subgrupos normales sin identidad. La acción de G en las clases laterales de K es, pues, fiel, por lo que uno es entonces Mirando a grupos de permutaciones G con estabilizadores punto K . Ser un par Gelfand es equivalente apor cada χ en Irr ( G ). Desdepor reciprocidad de Frobenius yes el carácter de la acción de permutación, un grupo de permutación define un par Gelfand si y solo si el carácter de permutación es un denominado carácter de permutación libre de multiplicidad . Tales caracteres de permutación libres de multiplicidad se determinaron para los grupos esporádicos en ( Breuer y Lux 1996 ).
Esto da lugar a una clase de ejemplos de grupos finitos con pares Gelfand: los grupos transitivos 2 . Un grupo de permutación G es 2-transitivo si el estabilizador K de un punto actúa transitivamente sobre los puntos restantes. En particular, G el grupo simétrico en n +1 puntos y K el grupo simétrico en n puntos forma un par Gelfand para cada n ≥1. Esto se debe a que el carácter de una acción de permutación 2-transitiva es de la forma 1+ χ para algún carácter irreducible χ y el carácter trivial 1, ( Isaacs 1994 , p. 69).
De hecho, si G es un grupo de permutación transitiva cuyo estabilizador de punto K tiene como máximo cuatro órbitas (incluida la órbita trivial que contiene solo el punto estabilizado), entonces su anillo de Schur es conmutativo y (G, K) es un par Gelfand ( Wielandt 1964 , pág.86). Si G es un grupo primitivo de grado dos veces primo con estabilizador de punto K , entonces nuevamente (G, K) es un par Gelfand ( Wielandt 1964 , p. 97).
Los pares Gelfand (Sym ( n ), K ) se clasificaron en ( Saxl 1981 ). En términos generales, K debe estar contenido como un subgrupo de índice pequeño en uno de los siguientes grupos, a menos que n sea menor que 18: Sym ( n - k ) × Sym ( k ), Sym ( n / 2) wr Sym (2), Sym (2) wr Sym ( n / 2) para n par, Sym ( n - 5) × AGL (1,5), Sym ( n - 6) × PGL (2,5) o Sym ( n - 9) × PΓL (2,8). También se han investigado pares de gelfand para grupos clásicos.
Pares simétricos con K compacto
- (GL ( n , R ), O ( n , R ))
- (GL ( n , C ), U ( n ))
- (O ( n + k , R ), O ( n , R ) × O ( k , R ))
- (U ( norte + k ), U ( norte ) × U ( k ))
- (G, K) donde G es un grupo de Lie reductor y K es un subgrupo compacto máximo .
Gelfand simétrico y pares de rango uno
Sea F un campo local de característica cero.
- (SL ( n + 1, F ), GL ( n, F )) para n > 5.
- (Sp ( 2n + 2, F ), Sp ( 2n, F )) × Sp (2, F )) para n > 4.
- (SO ( V ⊕ F ), SO ( V )) donde V es un espacio vectorial sobre F con una forma cuadrática no degenerada .
Pares simétricos de alto rango
Sea F un campo local de característica cero. Deje que G sea un grupo reductor sobre F . Los siguientes son ejemplos de pares Gelfand simétricos de alto rango:
- ( G × G, ΔG ): se deriva del lema de Schur .
- (GL ( n + k, F ), GL ( n, F ) × GL ( k, F )). [9] [10]
- (GL (2 n , F ), Sp (2 n , F )). [16] [17]
- (O ( n + k , C ), O ( n , C ) × O ( k , C )). [18]
- (GL ( n , C ), O ( n , C )). [18]
- (GL ( n, E ), GL ( n, F )), donde E es una extensión cuadrática de F . [11] [19]
Pares fuertes de Gelfand
Los siguientes pares son pares Gelfand fuertes:
- (Sym ( n +1), Sym ( n )), esto se demuestra utilizando el anti - automorfismo involutivo g ↦ g −1 .
- (GL ( n + 1, F ), GL ( n, F )) donde F es un campo local de característica cero. [20] [21] [22]
- (O ( V ⊕ F ), O ( V )) donde V es un espacio vectorial sobre F con una forma cuadrática no degenerada . [20] [22]
- U ( V ⊕ E ), U ( V )) donde E es una extensión cuadrática de F y V es un espacio vectorial sobre E con una forma hermitiana no degenerada . [20] [22]
Esos cuatro ejemplos pueden reformularse como la afirmación de que los siguientes son pares de Gelfand:
- (Sym ( n +1) × Sym ( n ), Δ Sym ( n )).
- (GL ( n + 1, F ) × GL ( n, F ), Δ GL ( n, F ))
- (O ( V ⊕ F ) × O ( V ), Δ O ( V ))
- (U ( V ⊕ E ) × U ( V ), Δ U ( V ))
Ver también
- función esférica
- Par simétrico
- Par esférico
Notas
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