Espacio de producto interior

Generalización del producto escalar; utilizado para definir los espacios de Hilbert

Para conocer el concepto matemático general, consulte Espacio (matemáticas) .

Para el producto escalar o producto escalar de vectores coordenados, ver producto escalar .

Interpretación geométrica del ángulo entre dos vectores definidos mediante un producto interno

Los espacios de productos escalares, sobre cualquier campo, tienen "productos escalares" que son simétricos y lineales en el primer argumento. Los espacios de productos hermitianos están restringidos al campo de los números complejos y tienen "productos hermitianos" que son conjugados-simétricos y lineales en el primer argumento. Los espacios de productos internos pueden definirse sobre cualquier campo, con "productos internos" que son lineales en el primer argumento, simétricos conjugados y definidos positivos. A diferencia de los productos internos, los productos escalares y los productos Hermitian no tienen por qué ser positivos definidos.

En matemáticas , un espacio de producto interno o un espacio de Hausdorff anterior a Hilbert ^{[1] [2]} es un espacio vectorial con una operación binaria llamada producto interno. Esta operación asocia cada par de vectores en el espacio con una cantidad escalar conocida como el producto interno de los vectores, a menudo denotado usando paréntesis angulares (como en ). ^[3] Los productos internos permiten la introducción rigurosa de nociones geométricas intuitivas, como la longitud de un vector o el ángulo entre dos vectores. También proporcionan los medios para definir la ortogonalidad.${\displaystyle \langle a,b\rangle }$entre vectores (producto interno cero). Los espacios de producto interno generalizan los espacios euclidianos (en los que el producto interno es el producto escalar , ^[4] también conocido como producto escalar) a espacios vectoriales de cualquier dimensión (posiblemente infinita) , y se estudian en el análisis funcional . Los espacios de productos internos sobre el campo de números complejos a veces se denominan espacios unitarios . El primer uso del concepto de espacio vectorial con un producto interno se debe a Giuseppe Peano , en 1898. ^[5]

Un producto interno induce naturalmente una norma asociada ( y son las normas de y en la imagen), que canónicamente convierte cada espacio de producto interno en un espacio vectorial normalizado . Si este espacio normado también está completo (es decir, un espacio de Banach ), entonces el espacio interior del producto se denomina espacio de Hilbert . ^[1] Si un espacio de producto interno no es un espacio de Hilbert, entonces puede "extenderse" a un espacio de Hilbert llamado terminación . Explícitamente, esto significa que está incrustado lineal e isométricamente en un denso${\displaystyle |x|}$${\displaystyle |y|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (H,\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle )}$${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{\overline {H}}\right),}$${\displaystyle H}$ subespacio vectorial de y que el producto interior en es la extensión continua única del producto interior original de . ^{[1] [6]}${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{\overline {H}}}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$

Definición

En este artículo, el campo de los escalares denotado es el campo de los números reales o el campo de los números complejos .${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Formalmente, un espacio de producto interno es un espacio vectorial sobre el campo junto con un mapa.${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {F} }$$

llamado producto interno que satisface las siguientes condiciones (1), (2) y (3) ^[1] para todos los vectores y todos los escalares : ^{[7] [8] [9]}${\displaystyle x,y,z\in V}$${\displaystyle s\in \mathbb {F} }$

1. Linealidad en el primer argumento: ^{[nota 1]}

   ${\displaystyle \langle sx,y\rangle =s\langle x,y\rangle }$

   ( Homogeneidad en el 1er argumento )

   ${\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }$

   ( Aditividad en el primer argumento )

   • Si la condición (1) se cumple y si también es antilineal (también llamado, conjugado lineal ) en su segundo argumento ^{[nota 2],} entonces se llama forma sesquilineal . ^[1]${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$
   • Cada una de estas dos propiedades implican para cada vector ^{[prueba 1]}${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =0}$${\displaystyle x.}$
2. Simetría conjugada o simetría hermitiana : ^{[nota 3]}

   ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$

   ( Simetría conjugada )

   • Las condiciones (1) y (2) son las propiedades definitorias de una forma hermitiana , que es un tipo especial de forma sesquilínea. ^[1] Una forma sesquilínea es hermitiana si y solo si es real para todos ^[1] En particular, la condición (2) implica ^{[prueba 2]} que es un número real para todos${\displaystyle \langle x,x\rangle }$${\displaystyle x.}$${\displaystyle \langle x,x\rangle }$${\displaystyle x.}$
3. Definición positiva : ^[1]

   ${\displaystyle \langle x,x\rangle >0\quad {\text{ if }}x\neq \mathbf {0} }$

   ( Definición positiva )

Las tres condiciones anteriores son las propiedades definitorias de un producto interno, razón por la cual un producto interno a veces se define (de manera equivalente) como una forma hermitiana definida positiva . Un producto interno se puede definir de manera equivalente como una forma sesquilínea definida positiva. ^{[1] [nota 4]}

Suponiendo que (1) se cumple, la condición (3) se mantendrá si y solo si ambas condiciones (4) y (5) a continuación se cumplen: ^{[6] [1]}

4. Semi-definicin positiva o no-definicin negativa : ^[1]

   ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0\quad {\text{ for every }}x}$

   ( Semidefinición positiva )

   • Condiciones (1), (2), y (4) son las propiedades que definen de una forma hermitiana semi-definida positiva , que permite la definición de un canónica seminorma en propuesta por Esta seminorma es una norma si y sólo si la condición (5 ) está satisfecho.${\displaystyle V}$${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$
5. Separación de puntos o definición :

   ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0\quad {\text{ implies }}\quad x=\mathbf {0} .}$

   ( Separación de puntos )

Cada producto interior satisface las condiciones (1) a (5).

Propiedades elementales

La definición positiva asegura que:

$${\displaystyle \langle x,x\rangle =0\quad {\text{ implies }}\quad x=\mathbf {0} }$$

while está garantizado tanto por la homogeneidad en el primer argumento como por la aditividad en el primer argumento . ^{[prueba 1]}${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =0}$

Para cada vector conjugado la simetría garantiza lo que implica que es un número real. También garantiza que para todos los vectores y${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }},}$${\displaystyle \langle x,x\rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle =\langle x,y\rangle +{\overline {\langle x,y\rangle }}=2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle =2\operatorname {Re} \langle y,x\rangle }$$

donde denota la parte real de un escalar${\displaystyle \operatorname {Re} z}$${\displaystyle z.}$

La simetría y linealidad conjugadas en la primera variable implican ^{[prueba 3]} linealidad conjugada , también conocida como antilinealidad , en el segundo argumento; explícitamente, esto significa que para cualquier vector y cualquier escalar${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle s,}$

${\displaystyle \langle x,sy\rangle ={\overline {s}}\langle x,y\rangle \qquad {\text{ and }}\qquad \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle .}$

( Antilinealidad en el segundo argumento )

Esto muestra que cada producto interno es también una forma sesquilínea y que los productos internos son aditividad en cada argumento, lo que significa que para todos los vectores${\displaystyle x,y,z:}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{Additivity in the 1st argument: }}&&\quad \langle x+y,z\rangle &&=\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle \\&{\text{Additivity in the 2nd argument: }}&&\quad \langle x,y+z\rangle &&=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \end{alignedat}}}$

La aditividad en cada argumento implica la siguiente generalización importante de la familiar expansión del cuadrado:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x+y,x+y\rangle &=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle y,x\rangle \\\end{alignedat}}}$$

donde ${\displaystyle \|x\|^{2}:=\langle x,x\rangle .}$

En el caso de la simetría conjugada se reduce a la simetría y así la sesquilinealidad se reduce a la bilinealidad . Por tanto, un producto interno en un espacio vectorial real es una forma bilineal simétrica definida positiva . Es decir, cuando entonces${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }$

( Simetría )

y la expansión binomial se convierte en:

$${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

Definiciones, notaciones y comentarios alternativos

Un caso especial común del producto interno, el producto escalar o producto punto , se escribe con un punto centrado${\displaystyle a\cdot b.}$

Algunos autores, especialmente en física y álgebra matricial , prefieren definir el producto interno y la forma sesquilínea con linealidad en el segundo argumento en lugar del primero. Entonces, el primer argumento se vuelve lineal conjugado, en lugar del segundo. En esas disciplinas, escribiríamos el producto interno como (la notación bra-ket de la mecánica cuántica ), respectivamente (el producto escalar como un caso de la convención de formar el producto matricial como los productos escalares de filas de con columnas de ). Aquí, las kets y columnas se identifican con los vectores de y los sujetadores y filas con los funcionales lineales (covectors) de la${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \langle y\ |\ x\rangle }$${\displaystyle y^{\dagger }x}$${\displaystyle AB,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle V,}$espacio dual con conjugación asociada con la dualidad. Este orden inverso ahora se sigue ocasionalmente en la literatura más abstracta, ^[10] tomando como conjugado lineal en lugar de. Unos pocos encuentran un término medio reconociendo ambos y como notaciones distintas — difiriendo sólo en qué argumento es conjugado lineal.${\displaystyle V^{*},}$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle \langle \,\cdot \ |\ \cdot \,\rangle }$

Hay varias razones técnicas por las que es necesario restringir el campo de base a y en la definición. Brevemente, el campo base debe contener un subcampo ordenado para que la no negatividad tenga sentido, ^[11] y por lo tanto debe tener una característica igual a 0 (ya que cualquier campo ordenado debe tener dicha característica). Esto excluye inmediatamente los campos finitos. El campo base debe tener una estructura adicional, como un automorfismo distinguido . De manera más general, cualquier subcampo cerrado cuadráticamente de o será suficiente para este propósito (por ejemplo, números algebraicos ,${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$números construibles ). Sin embargo, en los casos en los que se trata de un subcampo adecuado (es decir, ni ni ), incluso los espacios de producto internos de dimensión finita fallarán en ser métricamente completos. Por el contrario, todos los espacios de productos internos de dimensión finita sobre o como los que se usan en la computación cuántica , son automáticamente métricamente completos (y por lo tanto los espacios de Hilbert ).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

En algunos casos, es necesario considerar no negativos semi-definidas formas sesquilinear. Esto significa que solo se requiere que sea no negativo. El tratamiento para estos casos se ilustra a continuación.${\displaystyle \langle x,x\rangle }$

Algunos ejemplos

Números reales y complejos

Entre los ejemplos más simples de espacios de producto interno se encuentran y Los números reales son un espacio vectorial sobre que se convierte en un espacio de producto interno real cuando se le dota de la multiplicación estándar como su producto interno real: ^[4]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {R} .}$$

Los números complejos son un espacio vectorial que se convierte en un espacio de producto interno complejo cuando está dotado del producto interno complejo.${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .}$$

A diferencia de los números reales, la asignación no no definir un producto interior complejo en${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Espacio vectorial euclidiano

De manera más general, el espacio real n {\displaystyle n} con el producto escalar es un espacio de producto interno, ^[4] un ejemplo de un espacio vectorial euclidiano .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\textsf {T}}y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$

¿Dónde está la transposición de${\displaystyle x^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle x.}$

Espacio de coordenadas complejo

La forma general de un producto interno se conoce como forma hermitiana y viene dada por${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$

donde es cualquier matriz hermitiana positiva-definida y es la transpuesta conjugada de Para el caso real, esto corresponde al producto escalar de los resultados del escalado direccionalmente diferente de los dos vectores, con factores de escala positivos y direcciones de escalado ortogonales. Es una versión de suma ponderada del producto escalar con pesos positivos, hasta una transformación ortogonal.${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y^{\dagger }}$${\displaystyle y.}$

Espacio Hilbert

El artículo sobre espacios de Hilbert tiene varios ejemplos de espacios de productos internos, en los que la métrica inducida por el producto interno produce un espacio métrico completo . Un ejemplo de un espacio de producto interno que induce una métrica incompleta es el espacio de funciones continuas valoradas complejas y en el intervalo El producto interno es${\displaystyle C([a,b])}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle [a,b].}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$

Este espacio no está completo; considérese, por ejemplo, para el intervalo [−1, 1] la secuencia de funciones de "paso" continuas, definida por:${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$

$${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

Esta secuencia es una secuencia de Cauchy para la norma inducida por el producto interno anterior, que no converge a una función continua .

Variables aleatorias

Para variables aleatorias reales y el valor esperado de su producto${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$

$${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\operatorname {E} (XY)}$$

es un producto interior. ^{[12] [13] [14]} En este caso, si y solo si (es decir, casi con seguridad ), donde denota la probabilidad del evento. Esta definición de expectativa como producto interno también puede extenderse a vectores aleatorios .${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$${\displaystyle \Pr(X=0)=1}$${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \Pr }$

Matrices reales

Para matrices cuadradas reales del mismo tamaño, con transposición como conjugación${\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} \left(AB^{\textsf {T}}\right)}$

$${\displaystyle \left(\langle A,B\rangle =\left\langle B^{\textsf {T}},A^{\textsf {T}}\right\rangle \right)}$$

es un producto interior.

Espacios vectoriales con formas

En un espacio de producto interno, o más generalmente un espacio vectorial con una forma no degenerada (de ahí un isomorfismo ), los vectores se pueden enviar a covectors (en coordenadas, vía transposición), de modo que uno puede tomar el producto interno y el producto externo de dos vectores. —No simplemente de un vector y un covector.${\displaystyle V\to V^{*}}$

Resultados básicos, terminología y definiciones

Norma

Cada espacio de producto interno induce una norma , llamada sunorma canónica , definida por ^[4]

$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$

Con esta norma, cada espacio de producto interno se convierte en un espacio vectorial normalizado .

Como para todo espacio vectorial normado, un espacio de producto interno es un espacio métrico , para la distancia definida por

$${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$$

Los axiomas del producto interno garantizan que el mapa de arriba forma una norma, que tendrá las siguientes propiedades.

Homogeneidad

Para un vector y un escalar${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \|sx\|=|s|\,\|x\|.}$$

Desigualdad triangular

Para vectores ${\displaystyle x,y\in V}$

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

Estas dos propiedades muestran que uno tiene una norma.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Para vectores ${\displaystyle x,y\in V}$

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$

con igualdad si y solo si y son linealmente dependientes . En la literatura matemática rusa, esta desigualdad también se conoce como desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky o desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz . ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Similitud de coseno

Cuando es un número real, la desigualdad de Cauchy-Schwarz garantiza que se encuentra en el dominio de la función trigonométrica inversa y, por lo tanto, el ángulo (no orientado) entre y se puede definir como: ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1]}$ arccos : [ − 1 , 1 ] → [ 0 , π ] {\displaystyle \arccos :[-1,1]\to [0,\pi ]} ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$

donde

$${\displaystyle 0\leq \;\angle (x,y)\;\leq \pi .}$$

Identidad de polarización

El producto interno se puede recuperar de la norma mediante la identidad de polarización.

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ,}$$

que es una forma de la ley de los cosenos .

Ortogonalidad

Dos vectores y se llaman${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ortogonal , escritosi su producto interno es cero:Esto sucede si y solo sipara todos los escalares ^[15] Además, parael escalar seminimizacon valor Para unespacio de producto internocomplejo, peronoreal,un operador lineales idénticosi y solo sipor cada ^[15]${\displaystyle x\perp y,}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$${\displaystyle s.}$${\displaystyle y\neq 0,}$${\displaystyle s_{0}:=-{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$${\displaystyle f(s):=\left\|x+sy\right\|^{2}-\|x\|^{2}}$${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\frac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}}.}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle T:V\to V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x\perp Tx}$${\displaystyle x\in V.}$

Complemento ortogonal

El complemento ortogonal de un subconjunto es el conjunto de todos los vectores tales que y son ortogonales para todos ; es decir, es el conjunto${\displaystyle C\subseteq V}$${\displaystyle C^{\bot }}$${\displaystyle y\in V}$${\displaystyle y}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c\in C}$

$${\displaystyle C^{\bot }:=\left\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\right\}.}$$

Este conjunto es siempre un subespacio vectorial cerrado de y si el cierre de en es un subespacio vectorial entonces${\displaystyle C^{\bot }}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

Teorema de pitágoras

Cuando sea y luego${\displaystyle x,y\in V}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$

$${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$

La prueba de la identidad requiere solo expresar la definición de norma en términos del producto interno y multiplicar, utilizando la propiedad de aditividad de cada componente. El nombre teorema de Pitágoras surge de la interpretación geométrica en la geometría euclidiana .

La identidad de Parseval

Una inducción sobre el teorema de Pitágoras produce: si son vectores ortogonales (es decir, para índices distintos ) entonces${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle \left\langle x_{j},x_{k}\right\rangle =0}$${\displaystyle j\neq k}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

Ley del paralelogramo

Para todos ${\displaystyle x,y\in V,}$

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.}$$

La ley del paralelogramo es, de hecho, una condición necesaria y suficiente para la existencia de un producto interno correspondiente a una norma dada.

La desigualdad de Ptolomeo

Para todos ${\displaystyle x,y,z\in V,}$

$${\displaystyle \|x-y\|\|z\|+\|y-z\|\|x\|\geq \|x-z\|\|y\|.}$$

La desigualdad de Ptolomeo es, de hecho, una condición necesaria y suficiente para la existencia de un producto interno correspondiente a una norma dada. En detalle, Isaac Jacob Schoenberg demostró en 1952 que, dado cualquier espacio seminormado real, si su seminorma es ptolemaico, entonces el seminorma es la norma asociada con un producto interno. ^[dieciséis]

Partes reales y complejas de productos internos.

Supongamos que es un producto interno en (por lo que es antilineal en su segundo argumento). La identidad de polarización muestra que la parte real del producto interno es${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

Si es un espacio vectorial real, entonces${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$

y la parte imaginaria (también llamada parte compleja ) de es siempre 0 .${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Suponga para el resto de esta sección que es un espacio vectorial complejo. La identidad de polarización para espacios vectoriales complejos muestra que${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

El mapa definido por para todos satisface los axiomas del producto interno excepto que es antilineal en su primer argumento, más que en el segundo. La parte real de ambos y son iguales pero los productos internos difieren en su parte compleja:${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$${\displaystyle x,y\in V}$${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

La última igualdad es similar a la fórmula que expresa un funcional lineal en términos de su parte real.

Productos internos reales frente a complejos

Deje denotan considerado como un espacio vectorial sobre los números reales en lugar de los números complejos. La parte real del producto interno complejo es el mapa que necesariamente forma un producto interno real en el espacio vectorial real. Cada producto interno en un espacio vectorial real es un mapa bilineal y simétrico . ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }.}$

Por ejemplo, si con el producto interno donde hay un espacio vectorial sobre el campo, entonces hay un espacio vectorial encima y es el producto escalar donde se identifica con el punto (y de manera similar para ). Además, había sido definido en vez de ser el mapa simétrico (en lugar de la habitual conjugado mapa simétrico ) entonces su parte real podría no ser el producto de punto; además, sin el conjugado complejo, si pero entonces así, la asignación no define una norma.${\displaystyle V=\mathbb {C} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\cdot y,}$${\displaystyle x=a+ib\in V=\mathbb {C} }$${\displaystyle (a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =xy}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$${\displaystyle x\not \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \langle x,x\rangle =xx=x^{2}\not \in [0,\infty )}$${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

Los siguientes ejemplos muestran que aunque los productos internos reales y complejos tienen muchas propiedades y resultados en común, no son del todo intercambiables. Por ejemplo, si entonces, pero el siguiente ejemplo muestra que lo contrario en general no es cierto. Dado cualquiera, el vector (que es el vector girado en 90 °) pertenece y también pertenece (aunque la multiplicación escalar de por no está definida en , sigue siendo cierto que el vector en denotado por es un elemento de ). Para el producto interno complejo, mientras que para el producto interno real el valor es siempre${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$${\displaystyle x\in V,}$${\displaystyle ix}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} },}$${\displaystyle V}$${\displaystyle ix}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},}$${\displaystyle \langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$

Si tiene el producto interno mencionado anteriormente, entonces el mapa definido por es un mapa lineal distinto de cero (lineal para ambos y ) que denota rotación por en el plano. Este mapa satisface todos los vectores donde este producto interno hubiera sido complejo en lugar de real, entonces esto habría sido suficiente para concluir que este mapa lineal es idéntico (es decir, eso ), cuya rotación ciertamente no lo es. Por el contrario, para todos los distintos de cero, el mapa satisface${\displaystyle V=\mathbb {C} }$${\displaystyle A:V\to V}$${\displaystyle Ax=ix}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle 90^{\circ }}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0}$${\displaystyle x\in V_{\mathbb {R} },}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle A=0}$${\displaystyle x\in V,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2}\neq 0.}$

Secuencias ortonormales

Sea un espacio producto interno de dimensión finita de dimensión. Recuerde que cada base de consta de vectores exactamente linealmente independientes. Usando el proceso de Gram-Schmidt podemos comenzar con una base arbitraria y transformarla en una base ortonormal. Es decir, en una base en la que todos los elementos son ortogonales y tienen norma unitaria. En símbolos, una base es ortonormal si para todos y para cada índice${\displaystyle V}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$${\displaystyle i.}$

Esta definición de base ortonormal se generaliza al caso de espacios de productos internos de dimensión infinita de la siguiente manera. Sea cualquier espacio de producto interior. Entonces una colección${\displaystyle V}$

$${\displaystyle E=\left\{e_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}$$

es una base para si el subespacio de generado por combinaciones lineales finitas de elementos de es denso en (en la norma inducida por el producto interno). Digamos que es una base ortonormal para si es una base y${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \left\langle e_{\alpha },e_{\beta }\right\rangle =0}$$

si y para todos${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle \langle e_{a},e_{a}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$${\displaystyle a,b\in A.}$

Usando un análogo de dimensión infinita del proceso de Gram-Schmidt, se puede mostrar:

Teorema. Cualquier espacio interior de producto separable tiene una base ortonormal.

Utilizando el principio máximo de Hausdorff y el hecho de que en un espacio de producto interno completo la proyección ortogonal sobre subespacios lineales está bien definida, también se puede demostrar que

Teorema. Cualquier espacio interior de producto completo tiene una base ortonormal.

Los dos teoremas anteriores plantean la cuestión de si todos los espacios de productos internos tienen una base ortonormal. La respuesta resulta negativa. Este es un resultado no trivial y se demuestra a continuación. La siguiente prueba está tomada del Libro de problemas espaciales de A Hilbert de Halmos (véanse las referencias). ^{[ cita requerida ]}

Prueba

Recuerde que la dimensión de un espacio de producto interno es la cardinalidad de un sistema ortonormal máximo que contiene (según el lema de Zorn , contiene al menos uno y dos cualesquiera tienen la misma cardinalidad). Una base ortonormal es sin duda un sistema ortonormal máximo, pero lo contrario no tiene por qué ser así en general. Si es un subespacio denso de un espacio de producto interno, entonces cualquier base ortonormal para es automáticamente una base ortonormal para Por lo tanto, es suficiente construir un espacio de producto interno con un subespacio denso cuya dimensión es estrictamente menor que la de${\displaystyle G}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V.}$ Sea un espacio de dimensión de Hilbert (por ejemplo, ). Sea una base ortonormal de así Extender a una base de Hamel para donde Dado que se sabe que la dimensión de Hamel de es la cardinalidad del continuo, debe ser que${\displaystyle K}$ ℵ 0 . {\displaystyle \aleph _{0}.} ${\displaystyle K=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle |E|=\aleph _{0}.}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\cup F}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle E\cap F=\varnothing .}$${\displaystyle K}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle |F|=c.}$ Sea un espacio de dimensión de Hilbert (por ejemplo, ). Sea una base ortonormal para y sea ​​una biyección. Luego hay una transformación lineal tal que para y para .${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$${\displaystyle L=\ell ^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \varphi :F\to B}$${\displaystyle T:K\to L}$${\displaystyle Tf=\varphi (f)}$${\displaystyle f\in F,}$${\displaystyle Te=0}$${\displaystyle e\in E}$ Sea y sea ​​la gráfica de Sea el cierre de in ; mostraremos Ya que para cualquiera que tengamos se deduce que${\displaystyle V=K\oplus L}$${\displaystyle G=\{(k,Tk):k\in K\}}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle {\overline {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\overline {G}}=V.}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle (e,0)\in G,}$${\displaystyle K\oplus 0\subseteq {\overline {G}}.}$ A continuación, si se hace algún modo ; ya que también, también tenemos Se sigue que así y es denso en${\displaystyle b\in B,}$${\displaystyle b=Tf}$${\displaystyle f\in F\subseteq K,}$${\displaystyle (f,b)\in G\subseteq {\overline {G}}}$${\displaystyle (f,0)\in {\overline {G}}}$${\displaystyle (0,b)\in {\overline {G}}.}$${\displaystyle 0\oplus L\subseteq {\overline {G}},}$${\displaystyle {\overline {G}}=V,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V.}$ Finalmente, es un conjunto ortonormal máximo ; Si${\displaystyle \{(e,0):e\in E\}}$${\displaystyle G}$ $${\displaystyle 0=\langle (e,0),(k,Tk)\rangle =\langle e,k\rangle +\langle 0,Tk\rangle =\langle e,k\rangle }$$ para todos, entonces también lo es el vector cero en Por lo tanto, la dimensión de es mientras que está claro que la dimensión de es Esto completa la demostración.${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle k=0,}$${\displaystyle (k,Tk)=(0,0)}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle |E|=\aleph _{0},}$${\displaystyle V}$${\displaystyle c.}$

La identidad de Parseval conduce inmediatamente al siguiente teorema:

Teorema. Sea un espacio de producto interno separable y una base ortonormal de Entonces el mapa${\displaystyle V}$${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k}}$${\displaystyle V.}$

$${\displaystyle x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N} }}$$

es un mapa lineal isométrico con una imagen densa.${\displaystyle V\mapsto \ell ^{2}}$

Este teorema puede considerarse como una forma abstracta de la serie de Fourier , en la que una base ortonormal arbitraria juega el papel de la secuencia de polinomios trigonométricos . Tenga en cuenta que el conjunto de índices subyacente puede tomarse como cualquier conjunto contable (y, de hecho, cualquier conjunto, siempre que se defina adecuadamente, como se explica en el artículo Espacio de Hilbert ). En particular, obtenemos el siguiente resultado en la teoría de series de Fourier:${\displaystyle \ell ^{2}}$

Teorema. Sea el espacio interior del producto Luego la secuencia (indexada en el conjunto de todos los enteros) de funciones continuas${\displaystyle V}$${\displaystyle C[-\pi ,\pi ].}$

$${\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}}$$

es una base ortonormal del espacio con el producto interior. El mapeo${\displaystyle C[-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,\mathrm {d} t\right\}_{k\in \mathbb {Z} }}$$

es un mapa lineal isométrico con una imagen densa.

La ortogonalidad de la secuencia se deriva inmediatamente del hecho de que si entonces${\displaystyle \{e_{k}\}_{k}}$${\displaystyle k\neq j,}$

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,\mathrm {d} t=0.}$$

La normalidad de la secuencia es por diseño, es decir, los coeficientes se eligen de modo que la norma resulte en 1. Finalmente, el hecho de que la secuencia tenga un intervalo algebraico denso, en la norma del producto interno , se sigue del hecho de que la secuencia tiene un lapso algebraico denso, esta vez en el espacio de funciones periódicas continuas con la norma uniforme. Este es el contenido del teorema de Weierstrass sobre la densidad uniforme de polinomios trigonométricos.${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

Operadores en espacios interiores de productos

Hay varios tipos de mapas lineales entre los espacios de productos internos y son de relevancia:${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

• Mapas lineales continuos :es lineal y continuo con respecto a la métrica definida anteriormente, o de manera equivalente,es lineal y el conjunto de reales no negativosdonde losrangos sobre la bola unitaria cerrada deestá acotado.${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\},}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V,}$
• Operadores lineales simétricos : es lineal y para todos${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$${\displaystyle x,y\in V.}$
• Isometrías : es lineal y para todos o equivalentemente, es lineal y para todos Todas las isometrías son inyectivas . Las isometrías son morfismos entre espacios de productos internos, y los morfismos de espacios de productos internos reales son transformaciones ortogonales (compárese con la matriz ortogonal ).${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle \langle Ax,Ay\rangle =\langle x,y\rangle }$${\displaystyle x,y\in V,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|Ax\|=\|x\|}$${\displaystyle x\in V.}$
• Isomorfismos isométricos : es una isometría sobreyectiva (y por tanto biyectiva ). Los isomorfismos isométricos también se conocen como operadores unitarios (compárese con la matriz unitaria ).${\displaystyle A:V\to W}$

Desde el punto de vista de la teoría del espacio de producto interno, no es necesario distinguir entre dos espacios que son isométricamente isomórficos. El teorema espectral proporciona una forma canónica para operadores simétricos, unitarios y más generalmente normales en espacios de producto internos de dimensión finita. Una generalización del teorema espectral es válida para los operadores normales continuos en los espacios de Hilbert.

Generalizaciones

Cualquiera de los axiomas de un producto interno puede debilitarse, dando lugar a nociones generalizadas. Las generalizaciones más cercanas a los productos internos ocurren donde se retienen la bilinealidad y la simetría conjugada, pero se debilita la definición positiva.

Productos internos degenerados

Si es un espacio vectorial y una forma sesquilínea semidefinida, entonces la función:${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$

$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$

tiene sentido y satisface todas las propiedades de la norma excepto que no implica (tal funcional se llama entonces semi-norma ). Podemos producir un espacio de producto interno considerando el cociente Los factores de forma sesquilíneos a través de${\displaystyle \|x\|=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle W.}$

Esta construcción se utiliza en numerosos contextos. La construcción Gelfand-Naimark-Segal es un ejemplo particularmente importante del uso de esta técnica. Otro ejemplo es la representación de núcleos semidefinidos en conjuntos arbitrarios.

Formas simétricas conjugadas no generadas

Artículo principal: espacio pseudoeuclidiano

Alternativamente, se puede requerir que el emparejamiento sea una forma no degenerada , lo que significa que para todos los distintos de cero existen algunos que, aunque no tienen por qué ser iguales ; en otras palabras, el mapa inducido al espacio dual es inyectivo. Esta generalización es importante en la geometría diferencial : una variedad cuyos espacios tangentes tienen un producto interno es una variedad de Riemann , mientras que si está relacionada con una forma simétrica conjugada no degenerada, la variedad es una variedad pseudo-Riemanniana . Por la ley de inercia de Sylvester${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V\to V^{*}}$, así como cada producto interno es similar al producto escalar con pesos positivos en un conjunto de vectores, cada forma simétrica conjugada no degenerada es similar al producto escalar con pesos distintos de cero en un conjunto de vectores, y el número de pesos positivos y negativos es llamados respectivamente el índice positivo y el índice negativo. El producto de vectores en el espacio de Minkowski es un ejemplo de producto interno indefinido, aunque, técnicamente hablando, no es un producto interno según la definición estándar anterior. El espacio de Minkowski tiene cuatro dimensiones y los índices 3 y 1 (la asignación de "+" y "-" a ellos difiere según las convenciones ).

Las declaraciones puramente algebraicas (las que no usan positividad) generalmente solo se basan en la no degeneración (el homomorfismo inyectivo ) y, por lo tanto, se mantienen de manera más general.${\displaystyle V\to V^{*}}$

Productos relacionados

El término "producto interno" se opone al producto externo , que es un opuesto ligeramente más general. Simplemente, en coordenadas, el producto interno es el producto de un covector con un vector, produciendo una matriz (un escalar), mientras que el producto externo es el producto de un vector con un covector, produciendo una matriz. Tenga en cuenta que el producto exterior se define para diferentes dimensiones, mientras que el producto interior requiere la misma dimensión. Si las dimensiones son las mismas, entonces el producto interno es la traza del producto externo (la traza solo se define correctamente para matrices cuadradas). En un resumen informal: "interior es horizontal por vertical y se encoge, exterior es vertical por horizontal y se expande".${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle m\times 1}$${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle m\times n}$

De manera más abstracta, el producto externo es el mapa bilineal que envía un vector y un covector a una transformación lineal de rango 1 ( tensor simple de tipo (1, 1)), mientras que el producto interno es el mapa de evaluación bilineal dado al evaluar un covector en un vector; el orden de los espacios vectoriales de dominio aquí refleja la distinción entre el vector y el covector.${\displaystyle W\times V^{*}\to \hom(V,W)}$${\displaystyle V^{*}\times V\to F}$

El producto interior y el producto exterior no deben confundirse con el producto interior y el producto exterior , que son operaciones en campos vectoriales y formas diferenciales , o más generalmente en el álgebra exterior .

Como complicación adicional, en álgebra geométrica el producto interno y el producto externo (Grassmann) se combinan en el producto geométrico (el producto de Clifford en un álgebra de Clifford ) - el producto interno envía dos vectores (1-vectores) a un escalar (a 0-vector), mientras que el producto exterior envía dos vectores a un bivector (2-vector), y en este contexto, el producto exterior generalmente se denomina producto exterior (alternativamente, producto de cuña ). El producto interno se llama más correctamente un producto escalar en este contexto, ya que la forma cuadrática no degenerada en cuestión no necesita ser definida positiva (no necesita ser un producto interno).

Ver también

• Forma  bilineal: función bilineal con valores escalares
• Sistema biortogonal
• Espacio dual: espacio  vectorial de funciones lineales de vectores que devuelven escalares; generalizando el producto escalar
• Espacio energético
• Producto semi-interno en L  - Generalización de productos internos que se aplica a todos los espacios normativos
• Distancia de Minkowski
• Complemento ortogonal

Notas

1. Al combinar lapropiedad lineal en el primer argumento con lapropiedad de simetría conjugada , se obtiene conjugado lineal en el segundo argumento : así es como se definió originalmente el producto interno y todavía se usa en algunas comunidades matemáticas de la vieja escuela. Sin embargo, toda la ingeniería y la informática, y la mayor parte de la física y las matemáticas modernas ahora definen el producto interno como lineal en el segundo argumento y conjugado-lineal en el primer argumento porque esto es más compatible con varias otras convenciones en matemáticas. En particular, para cualquier producto interno, hay algunamatriz hermitiana , positiva-definida ,tal que${\textstyle \langle x,by\rangle =\langle x,y\rangle {\overline {b}}.}$${\textstyle M}$${\textstyle \langle x,y\rangle =x^{*}My.}$(Aquí está la transposición conjugada de )${\textstyle x^{*}}$${\textstyle x.}$
2. Esto significa queypara todos los vectoresy todos los escalares${\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }$${\displaystyle \langle x,sy\rangle ={\overline {s}}\langle x,y\rangle }$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle s.}$
3. Una barra sobre una expresión denota una conjugación compleja; por ejemplo,es la conjugación compleja dePara valores reales,y la simetría conjugada es equivalente a la simetría .${\textstyle {\overline {x}}}$${\textstyle x.}$${\textstyle x={\overline {x}}}$
4. Esto se debe a que la condición (1) (es decir, la linealidad en el primer argumento) y la definición positiva implican quesiempre es un número real. Y como se mencionó antes, una forma sesquilínea es hermitiana si y solo sies real para todos.${\displaystyle \langle x,x\rangle }$${\displaystyle \langle x,x\rangle }$${\displaystyle x.}$

Pruebas

1. homogeneidad en el primer argumento implica la aditividad en el primer argumento implica, por lo que agregar a ambos lados demuestra${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle 0x,x\rangle =0\langle x,x\rangle =0.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle \mathbf {0} +\mathbf {0} ,x\rangle =\langle \mathbf {0} ,x\rangle +\langle \mathbf {0} ,x\rangle }$${\displaystyle -\langle \mathbf {0} ,x\rangle }$${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =0.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Un número complejoes un número real si y solo si Elusoen la condición (2) da loque implica quees un número real.${\displaystyle c}$${\displaystyle c={\overline {c}}.}$${\displaystyle y=x}$${\displaystyle \langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }},}$${\displaystyle \langle x,x\rangle }$${\displaystyle \blacksquare }$
3. Seanvectores ysea ​​un escalar. Entoncesy${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \langle x,sy\rangle ={\overline {\langle sy,x\rangle }}={\overline {s}}{\overline {\langle y,x\rangle }}={\overline {s}}\langle x,y\rangle }$${\displaystyle \langle x,y+z\rangle ={\overline {\langle y+z,x\rangle }}={\overline {\langle y,x\rangle }}+{\overline {\langle z,x\rangle }}=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

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