Polinomios de Hermite

Secuencia polinomial

Este artículo trata sobre la familia de polinomios ortogonales en la línea real. Para la interpolación de polinomios en un segmento usando derivadas, consulte Interpolación de Hermite . Para la transformación integral de polinomios de Hermite, consulte Transformada de Hermite .

En matemáticas , los polinomios de Hermite son una secuencia polinomial ortogonal clásica .

Los polinomios surgen en:

• procesamiento de señales como ondículas hermitianas para el análisis de transformadas de ondículas
• probabilidad , como la serie de Edgeworth , así como en relación con el movimiento browniano ;
• la combinatoria , como ejemplo de secuencia de Appell , obedeciendo al cálculo umbral ;
• análisis numérico como cuadratura gaussiana ;
• física , donde dan lugar a los estados propios del oscilador armónico cuántico ; y también ocurren en algunos casos de la ecuación de calor (cuando el término está presente);${\displaystyle {\begin{aligned}xu_{x}\end{aligned}}}$
• teoría de sistemas en relación con operaciones no lineales sobre ruido gaussiano .
• teoría de matrices aleatorias en conjuntos gaussianos .

Los polinomios de Hermite fueron definidos por Pierre-Simon Laplace en 1810, ^{[1] [2]} aunque en una forma apenas reconocible, y Pafnuty Chebyshev los estudió en detalle en 1859. ^[3] El trabajo de Chebyshev fue pasado por alto, y fueron nombrados más tarde en honor a Charles Hermite. , quien escribió sobre los polinomios en 1864, describiéndolos como nuevos. ^[4] En consecuencia, no eran nuevos, aunque Hermite fue el primero en definir los polinomios multidimensionales en sus publicaciones posteriores de 1865.

Definición

Como los otros polinomios ortogonales clásicos , los polinomios de Hermite se pueden definir desde varios puntos de partida diferentes. Teniendo en cuenta desde el principio que hay dos estandarizaciones diferentes de uso común, un método conveniente es el siguiente:

• Los "polinomios de Hermite del probabilista" están dados por

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$

• mientras que los "polinomios de Hermite del físico" están dados por

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$

Estas ecuaciones tienen la forma de una fórmula de Rodrigues y también se pueden escribir como,

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$

Las dos definiciones no son exactamente idénticas; cada uno es un cambio de escala del otro:

${\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

Estas son secuencias polinomiales de Hermite de diferentes varianzas; vea el material sobre variaciones a continuación.

La notación He y H es la que se utiliza en las referencias estándar. ^[5] Los polinomios He _{n a} veces se denotan por H _n , especialmente en la teoría de la probabilidad, porque

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

es la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con valor esperado 0 y desviación estándar 1.

Los primeros seis polinomios de Hermite probabilistas He _n ( x )

• Los primeros once polinomios de Hermite del probabilista son:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{0}(x)&=1,\\{\mathit {He}}_{1}(x)&=x,\\{\mathit {He}}_{2}(x)&=x^{2}-1,\\{\mathit {He}}_{3}(x)&=x^{3}-3x,\\{\mathit {He}}_{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\{\mathit {He}}_{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\\{\mathit {He}}_{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\\{\mathit {He}}_{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\{\mathit {He}}_{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\{\mathit {He}}_{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\{\mathit {He}}_{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}}$

Los primeros seis polinomios de Hermite (físicos) H _n ( x )

• Los primeros once polinomios de Hermite del físico son:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}}$

Propiedades

El polinomio de Hermite de n -ésimo orden es un polinomio de grado n . La versión del probabilista He _n tiene el coeficiente principal 1, mientras que la versión del físico H _n tiene el coeficiente principal 2 ⁿ .

Ortogonalidad

H _n ( x ) y Él _n ( x ) son n polinomios th-grado para n = 0, 1, 2, 3, ... . Estos polinomios son ortogonales con respecto a la función de peso ( medida )

${\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}{\mathit {He}})}$

o

${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),}$

es decir, tenemos

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}$

Es más,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$

o

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$

¿Dónde está el delta de Kronecker ?${\displaystyle \delta _{nm}}$

Por tanto, los polinomios probabilistas son ortogonales con respecto a la función de densidad de probabilidad normal estándar.

Lo completo

Los polinomios de Hermite (probabilistas o físicos) forman una base ortogonal del espacio de Hilbert de funciones que satisfacen

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}$

en el que el producto interno viene dado por la integral

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}$

incluyendo la función de peso gaussiana w ( x ) definida en la sección anterior

Una base ortogonal para L 2 ( R , w ( x ) dx ) es un completo sistema ortogonal . Para un sistema ortogonal, la completitud equivale al hecho de que la función 0 es la única función f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx ) ortogonal a todas las funciones del sistema.

Dado que el espacio lineal de los polinomios de Hermite es el espacio de todos los polinomios, uno tiene que demostrar (en el caso de los físicos) que si f satisface

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$

para cada n ≥ 0 , entonces f = 0 .

Una forma posible de hacer esto es apreciar que toda la función

${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$

desaparece de forma idéntica. Entonces, el hecho de que F ( it ) = 0 para todo t real significa que la transformada de Fourier de f ( x ) e ^{- x 2} es 0, por lo que f es 0 en casi todas partes. Las variantes de la prueba de integridad anterior se aplican a otros pesos con disminución exponencial.

En el caso de Hermite, también es posible probar una identidad explícita que implica integridad (ver la sección sobre la relación de Completitud más adelante).

Una formulación equivalente del hecho de que los polinomios de Hermite son una base ortogonal para L ² ( R , w ( x ) dx ) consiste en introducir funciones de Hermite (ver más abajo) y en decir que las funciones de Hermite son una base ortonormal para L ² ( R ) .

Ecuación diferencial de Hermite

Los polinomios de Hermite del probabilista son soluciones de la ecuación diferencial

${\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}$

donde λ es una constante. Al imponer la condición de frontera de que u debe estar acotado polinomialmente en el infinito, la ecuación tiene soluciones solo si λ es un número entero no negativo, y la solución está dada unívocamente por , donde denota una constante.${\displaystyle u(x)=C_{1}He_{\lambda }(x)}$${\displaystyle C_{1}}$

Reescribir la ecuación diferencial como un problema de valores propios

${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}$

los polinomios de Hermite pueden entenderse como funciones propias del operador diferencial . Este problema de valor propio se llama ecuación de Hermite , aunque el término también se usa para la ecuación estrechamente relacionada${\displaystyle He_{\lambda }(x)}$${\displaystyle L[u]}$

${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$

cuya solución está dada únicamente en términos de polinomios de Hermite del físico en la forma , donde denota una constante, después de imponer la condición de frontera de que u debería estar acotada polinomialmente en el infinito.${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)}$${\displaystyle C_{1}}$

Las soluciones generales a las ecuaciones diferenciales de segundo orden anteriores son, de hecho, combinaciones lineales de polinomios de Hermite y funciones hipergeométricas confluentes del primer tipo. Por ejemplo, para la ecuación de Hermite del físico

${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$

la solución general toma la forma

${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),}$

donde y son constantes, son polinomios de Hermite del físico (del primer tipo) y son funciones de Hermite del físico (del segundo tipo). Las últimas funciones se representan de forma compacta como dónde están las funciones hipergeométricas confluentes del primer tipo . Los polinomios de Hermite convencionales también se pueden expresar en términos de funciones hipergeométricas confluentes, ver más abajo.${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle H_{\lambda }(x)}$${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$${\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}$${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$

Con condiciones de contorno más generales , los polinomios de Hermite se pueden generalizar para obtener funciones analíticas más generales para λ con valores complejos . También es posible una fórmula explícita de polinomios de Hermite en términos de integrales de contorno ( Courant y Hilbert 1989 ).

Relación de recurrencia

La secuencia de polinomios de Hermite probabilistas también satisface la relación de recurrencia

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x).}$

Los coeficientes individuales están relacionados por la siguiente fórmula de recursividad:

${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-na_{n-1,k}&k=0,\\a_{n,k-1}-na_{n-1,k}&k>0,\end{cases}}}$

y a _0,0 = 1 , a _1,0 = 0 , a _1,1 = 1 .

Para los polinomios del físico, suponiendo

${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}$

tenemos

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}$

Los coeficientes individuales están relacionados por la siguiente fórmula de recursividad:

${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$

y a _0,0 = 1 , a _1,0 = 0 , a _1,1 = 2 .

Los polinomios de Hermite constituyen una secuencia de Appell , es decir, son una secuencia polinomial que satisface la identidad

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}'(x)&=n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

De manera equivalente, al expandir Taylor ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}{\mathit {He}}_{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right){\mathit {He}}_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{(n-k)}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$

Estas identidades umbral son evidentes por sí mismas y están incluidas en la representación del operador diferencial que se detalla a continuación,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}$

En consecuencia, para la m ésima derivada se cumplen las siguientes relaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}{\mathit {He}}_{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}{\mathit {He}}_{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}$

De ello se deduce que los polinomios de Hermite también satisfacen la relación de recurrencia

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n+1}(x)&=x{\mathit {He}}_{n}(x)-n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

Estas últimas relaciones, junto con los polinomios iniciales H ₀ ( x ) y H ₁ ( x ) , se pueden utilizar en la práctica para calcular los polinomios rápidamente.

Las desigualdades de Turán son

${\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}$

Además, se cumple el siguiente teorema de la multiplicación :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\{\mathit {He}}_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}{\mathit {He}}_{n-2i}(x).\end{aligned}}}$

Expresión explícita

Los polinomios de Hermite del físico se pueden escribir explícitamente como

${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}$

Estas dos ecuaciones se pueden combinar en una usando la función de piso :

${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$

Polinomios de Hermite de la probabilistas Él tienen fórmulas similares, que pueden ser obtenidos de estos mediante la sustitución de la potencia de 2 x con la potencia correspondiente de √ 2  x y multiplicando la suma total por 2 ^{- n / 2} :

${\displaystyle He_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$

Expresión explícita inversa

La inversa de las expresiones explícitas anteriores, es decir, aquellos para los monomios en términos de polinomios de Hermite de probabilistas Se están

${\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}He_{n-2m}(x).}$

Las expresiones correspondientes para los polinomios de Hermite H del físico siguen directamente escalando adecuadamente esto: ^[6]

${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$

Función generadora

Los polinomios de Hermite están dados por la función generadora exponencial

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$

Esta igualdad es válida para todos los valores complejos de x y t , y se puede obtener escribiendo la expansión de Taylor en x de toda la función z → e ^{- z 2} (en el caso del físico). También se puede derivar la función generadora (del físico) utilizando la fórmula integral de Cauchy para escribir los polinomios de Hermite como

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}$

Usando esto en la suma

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}$

se puede evaluar la integral restante usando el cálculo de residuos y llegar a la función generadora deseada.

Valores esperados

Si X es una variable aleatoria con una distribución normal con desviación estándar 1 y valor esperado μ , entonces

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[{\mathit {He}}_{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}$

Los momentos de la normal estándar (con valor esperado cero) pueden leerse directamente de la relación para índices pares:

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}{\mathit {He}}_{2n}(0)=(2n-1)!!,}$

donde (2 n - 1) !! es el factorial doble . Tenga en cuenta que la expresión anterior es un caso especial de la representación de los polinomios de Hermite del probabilista como momentos:

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$

Expansión asintótica

Asintóticamente, cuando n → ∞ , la expansión ^[7]

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}$

se mantiene cierto. Para ciertos casos relacionados con una gama más amplia de evaluación, es necesario incluir un factor para cambiar la amplitud:

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$

que, utilizando la aproximación de Stirling , se puede simplificar aún más, en el límite, para

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$

Esta expansión es necesaria para resolver la función de onda de un oscilador armónico cuántico de manera que esté de acuerdo con la aproximación clásica en el límite del principio de correspondencia .

Una mejor aproximación, que da cuenta de la variación en la frecuencia, viene dada por

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$

Una aproximación más fina, ^[8] que tiene en cuenta el espaciado desigual de los ceros cerca de los bordes, hace uso de la sustitución

${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,}$

con cuál se tiene la aproximación uniforme

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$

Aproximaciones similares son válidas para las regiones monótona y de transición. Específicamente, si

${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,}$

luego

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$

mientras que para

${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t}$

con t complejo y acotado, la aproximación es

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}$

donde Ai es la función Airy del primer tipo.

Valores especiales

Los polinomios de Hermite del físico evaluados en el argumento cero H _n (0) se denominan números de Hermite .

${\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}}$

que satisfacen la relación de recursividad H _n (0) = −2 ( n - 1) H _{n - 2} (0) .

En términos de los polinomios del probabilista, esto se traduce en

${\displaystyle He_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}$

Relaciones con otras funciones

Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Hermite se pueden expresar como un caso especial de los polinomios de Laguerre :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\end{aligned}}}$

Relación con funciones hipergeométricas confluentes

Los polinomios de Hermite del físico se pueden expresar como un caso especial de las funciones del cilindro parabólico :

${\displaystyle H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}$

en el semiplano derecho , donde U ( a , b , z ) es la función hipergeométrica confluente de Tricomi . Similar,

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x^{2}{\big )},\end{aligned}}}$

donde ₁ F ₁ ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z ) es la función hipergeométrica confluente de Kummer .

Representación de operador diferencial

Los polinomios de Hermite del probabilista satisfacen la identidad

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},}$

donde D representa la diferenciación con respecto ax , y la exponencial se interpreta expandiéndola como una serie de potencias . No hay cuestiones delicadas de convergencia de esta serie cuando opera sobre polinomios, ya que todos los términos, excepto un número finito, desaparecen.

Dado que los coeficientes de la serie de potencias del exponencial son bien conocidos, y las derivadas de orden superior del monomio x ⁿ se pueden escribir explícitamente, esta representación del operador diferencial da lugar a una fórmula concreta para los coeficientes de H _n que se puede utilizar para calcular rápidamente estos polinomios.

Dado que la expresión formal para la transformada de Weierstrass W es e ^{D 2} , vemos que la transformada de Weierstrass de ( √ 2 ) ⁿ He _n ( x / √ 2 ) es x ⁿ . Esencialmente, la transformada de Weierstrass convierte así una serie de polinomios de Hermite en una serie de Maclaurin correspondiente .

La existencia de alguna serie formal de potencias g ( D ) con coeficiente constante distinto de cero, tal que He _n ( x ) = g ( D ) x ⁿ , es otro equivalente al enunciado de que estos polinomios forman una secuencia de Appell . Dado que son una secuencia de Appell, son a fortiori una secuencia de Sheffer .

Más información: Transformada de Weierstrass § La inversa

Representación integral de contorno

De la representación de la función generadora anterior, vemos que los polinomios de Hermite tienen una representación en términos de una integral de contorno , como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}}$

con el contorno rodeando el origen.

Generalizaciones

Los polinomios de Hermite del probabilista definidos anteriormente son ortogonales con respecto a la distribución de probabilidad normal estándar, cuya función de densidad es

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$

que tiene el valor esperado 0 y la varianza 1.

Escalando, se puede hablar análogamente de polinomios de Hermite generalizados ^[9]

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)}$

de varianza α , donde α es cualquier número positivo. Estos son entonces ortogonales con respecto a la distribución de probabilidad normal cuya función de densidad es

${\displaystyle (2\pi \alpha )^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.}$

Son dadas por

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).}$

Ahora si

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},}$

entonces la secuencia polinomio cuyos n º plazo es

${\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,{\mathit {He}}_{k}^{[\beta ]}(x)}$

se llama la composición umbral de las dos secuencias polinomiales. Se puede demostrar que satisface las identidades.

${\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)={\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)}$

y

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[\beta ]}(y).}$

La última identidad se expresa diciendo que esta familia parametrizada de secuencias polinómicas se conoce como secuencia cruzada. (Véase la sección anterior sobre secuencias de Appell y en la representación diferencial-operador , lo que conduce a una derivación dispuesta de la misma. Este tipo binomial de identidad, para α = β = 1 / 2 , ya ha sido encontrado en la sección anterior sobre #Recursion relaciones .)

"Varianza negativa"

Dado que las secuencias polinomiales forman un grupo bajo la operación de composición umbral , se puede denotar por

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)}$

la secuencia que es inversa a la igualmente denotada, pero sin el signo menos, y por lo tanto habla de polinomios de Hermite de varianza negativa. Para α> 0 , los coeficientes de son solo los valores absolutos de los coeficientes correspondientes de .${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)}$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)}$

Estos surgen como momentos de distribuciones de probabilidad normales: El n- ésimo momento de la distribución normal con valor esperado μ y varianza σ ² es

${\displaystyle E[X^{n}]={\mathit {He}}_{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),}$

donde X es una variable aleatoria con la distribución normal especificada. Un caso especial de la identidad de secuencia cruzada dice entonces que

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[-\alpha ]}(y)={\mathit {He}}_{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.}$

Aplicaciones

Funciones de Hermite

Se pueden definir las funciones de Hermite (a menudo llamadas funciones de Hermite-Gauss) a partir de los polinomios del físico:

${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}(x).}$

Dado que estas funciones contienen la raíz cuadrada de la función de peso y se han escalado adecuadamente, son ortonormales :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},}$

y forman una base ortonormal de L ² ( R ) . Este hecho es equivalente al enunciado correspondiente para los polinomios de Hermite (ver arriba).

Las funciones de Hermite están estrechamente relacionadas con la función de Whittaker ( Whittaker & Watson 1996 ) D _n ( z ) :

${\displaystyle D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}}$

y por tanto a otras funciones de cilindro parabólico .

Las funciones de Hermite satisfacen la ecuación diferencial

${\displaystyle \psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.}$

Esta ecuación es equivalente a la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico en mecánica cuántica, por lo que estas funciones son las funciones propias .

Funciones de Hermite: 0 (azul, sólido), 1 (naranja, punteado), 2 (verde, punteado), 3 (rojo, punteado), 4 (púrpura, sólido) y 5 (marrón, punteado)

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}(x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{\sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}}$

Funciones de Hermite: 0 (azul, sólido), 2 (naranja, discontinuo), 4 (verde, discontinuo) y 50 (rojo, continuo)

Relación de recursividad

Siguiendo las relaciones de recursividad de los polinomios de Hermite, las funciones de Hermite obedecen

${\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$

y

${\displaystyle x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x).}$

Extender la primera relación a las derivadas m- ésimas arbitrarias para cualquier entero positivo m conduce a

${\displaystyle \psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{\frac {m-k}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x){\mathit {He}}_{k}(x).}$

Esta fórmula se puede utilizar en conexión con las relaciones de recurrencia para He _n y ψ _n para calcular cualquier derivada de las funciones de Hermite de manera eficiente.

La desigualdad de Cramér

Para x real , las funciones de Hermite satisfacen el siguiente límite debido a Harald Cramér ^{[10] [11]} y Jack Indritz: ^[12]

${\displaystyle {\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}$

Funciones de Hermite como funciones propias de la transformada de Fourier

Las funciones de Hermite Psi _n ( x ) son un conjunto de funciones propias del continua transformada de Fourier F . Para ver esto, tomar versión del físico de la función de generación y se multiplican por e ^{- 1 / 2 x 2} . Esto da

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

La transformada de Fourier del lado izquierdo está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\right\}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){\frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$

La transformada de Fourier del lado derecho está dada por

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Igualar potencias iguales de t en las versiones transformadas de los lados izquierdo y derecho finalmente produce

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}=(-i)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).}$

Las funciones de Hermite ψ _n ( x ) son, por tanto, una base ortonormal de L ² ( R ) , que diagonaliza al operador de la transformada de Fourier . ^[13]

Distribuciones de Wigner de funciones de Hermite

La función de distribución de Wigner de la función de Hermite de n -ésimo orden está relacionada con el polinomio de Laguerre de n -ésimo orden . Los polinomios de Laguerre son

${\displaystyle L_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},}$

que conduce a las funciones del oscilador Laguerre

${\displaystyle l_{n}(x):=e^{-{\frac {x}{2}}}L_{n}(x).}$

Para todos los enteros naturales n , es sencillo ver ^[14] que

${\displaystyle W_{\psi _{n}}(t,f)=(-1)^{n}l_{n}{\big (}4\pi (t^{2}+f^{2}){\big )},}$

donde la distribución de Wigner de una función x ∈ L ² ( R , C ) se define como

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

Este es un resultado fundamental para el oscilador armónico cuántico descubierto por Hip Groenewold en 1946 en su tesis doctoral. ^[15] Es el paradigma estándar de la mecánica cuántica en el espacio de fase .

Hay más relaciones entre las dos familias de polinomios.

Interpretación combinatoria de coeficientes

En el polinomio de Hermite He _n ( x ) de varianza 1, el valor absoluto del coeficiente de x ^k es el número de particiones (desordenadas) de un conjunto de n elementos en k singletons y n - k / 2 pares (desordenados). De manera equivalente, es el número de involuciones de un conjunto de n elementos con precisamente k puntos fijos, o en otras palabras, el número de emparejamientos en el gráfico completo en n vértices que dejan k vértices descubiertos (de hecho, los polinomios de Hermite son lospolinomios coincidentes de estos gráficos). La suma de los valores absolutos de los coeficientes da el número total de particiones en singletons y pares, los llamados números de teléfono.

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (secuencia A000085 en la OEIS ).

Esta interpretación combinatoria se puede relacionar con polinomios de Bell exponenciales completos como

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}$

donde x _i = 0 para todo i > 2 .

Estos números también pueden expresarse como un valor especial de los polinomios de Hermite: ^[16]

${\displaystyle T(n)={\frac {{\mathit {He}}_{n}(i)}{i^{n}}}.}$

Relación de completitud

La fórmula de Christoffel-Darboux para polinomios de Hermite dice

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.}$

Además, la siguiente identidad de completitud para las funciones de Hermite anteriores se cumple en el sentido de distribuciones :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),}$

donde δ es la función delta de Dirac , ψ _n las funciones de Hermite y δ ( x - y ) representa la medida de Lebesgue en la línea y = x en R ² , normalizada de modo que su proyección sobre el eje horizontal es la medida de Lebesgue habitual.

Esta identidad distributiva sigue a Wiener (1958) al tomar u → 1 en la fórmula de Mehler , válida cuando −1 < u <1 :

${\displaystyle E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\exp \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}-{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),}$

que a menudo se indica de manera equivalente como un grano separable, ^{[17] [18]}

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.}$

La función de ( x , y ) → E ( x , y ; u ) es la densidad de probabilidad gaussiana bivariante en R ² , que es, cuando u es cercano a 1, muy concentrado alrededor de la línea y = x , y muy extendido en esa linea. Resulta que

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},g\rangle =\iint E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,dx\,dy\to \int f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\langle f,g\rangle }$

cuando f y g son continuas y con un soporte compacto.

Esto da como resultado que f se puede expresar en funciones de Hermite como la suma de una serie de vectores en L ² ( R ) , a saber,

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.}$

Para probar la igualdad anterior para E ( x , y ; u ) , la transformada de Fourier de las funciones gaussianas se usa repetidamente:

${\displaystyle \rho {\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\rho ^{2}x^{2}}{4}}}=\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{\rho ^{2}}}}\,ds\quad {\text{for }}\rho >0.}$

El polinomio de Hermite se representa entonces como

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds\right)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds.}$

Con esta representación para H _n ( x ) y H _n ( y ) , es evidente que

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}\right)e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint e^{-{\frac {ust}{2}}}\,e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt,\end{aligned}}}$

y esto produce la resolución deseada del resultado de identidad, usando nuevamente la transformada de Fourier de los núcleos gaussianos bajo la sustitución

${\displaystyle s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\quad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.}$

Ver también

• Transformación de Hermite
• Polinomios de Legendre
• Núcleo de Mehler
• Función cilindro parabólico
• Polinomios de Romanovski
• Desigualdades de Turán

Notas

1. Laplace 1810 (en línea ).
2. Laplace, P.-S. (1812), Théorie analytique des probabilités [ Teoría analítica de la probabilidad ], 2 , págs. 194-203Recogidos en Œuvres complètes VII .
3. Chebyshev, PL (1859). "Sur le développement des fonctions à une seule variable" [Sobre el desarrollo de funciones de una sola variable]. Toro. Acad. Sci. St. Petersb . 1 : 193-200.Recopilado en Œuvres I , 501–508.
4. Hermite, C. (1864). "Sur un nouveau développement en série de fonctions" [Sobre un nuevo desarrollo en la serie de funciones]. CR Acad. Sci. París . 58 : 93-100.Recopilado en Œuvres II , 293-303.
5. Tom H. Koornwinder, Roderick SC Wong y Roelof Koekoek et al. ( 2010 ) y Abramowitz y Stegun .
6. "18. Polinomios ortogonales, polinomios ortogonales clásicos, sumas" . Biblioteca digital de funciones matemáticas . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . Consultado el 30 de enero de 2015 .
7. Abramowitz y Stegun 1983 , p. 508–510, 13.6.38 y 13.5.16 .
8. Szegő , 1955 , pág. 201
9. Roman, Steven (1984), The Umbral Calculus , Pure and Applied Mathematics, 111 (1ª ed.), Academic Press, págs. 87-93, ISBN 978-0-12-594380-2
10. Erdélyi y col. 1955 , pág. 207.
11. Szegő, 1955 .
12. Indritz, Jack (1961), "An inequality for Hermite polinomials", Proceedings of the American Mathematical Society , 12 (6): 981–983, doi : 10.1090 / S0002-9939-1961-0132852-2 , MR 0132852 
13. En este caso, usamos la versión unitaria de la transformada de Fourier, por lo que los valores propios son (- i ) ⁿ . La resolución resultante de la identidad sirve para definir los poderes, incluidos los fraccionarios, de la transformada de Fourier, es decir, unageneralización de la transformada de Fourier fraccionada , en efecto, un núcleo de Mehler .
14. Folland, GB (1989), Análisis armónico en el espacio de fase , Anales de estudios matemáticos, 122 , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08528-9
15. Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Physica . 12 (7): 405–460. Código Bibliográfico : 1946Phy .... 12..405G . doi : 10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4 .
16. Banderier, Cyril; Bousquet-Mélou, Mireille ; Denise, Alain; Flajolet, Philippe ; Gardy, Danièle; Gouyou-Beauchamps, Dominique (2002), "Generación de funciones para generar árboles", Matemáticas discretas , 246 (1-3): 29-55, arXiv : math / 0411250 , doi : 10.1016 / S0012-365X (01) 00250-3 , MR 1884885 
17. Mehler, FG (1866), "Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung" [Sobre el desarrollo de una función de arbitrariamente muchas variables según funciones de Laplace de orden superior], Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán) (66): 161-176, ISSN 0075-4102 , ERAM 066.1720cj  . Ver pág. 174, eq. (18) y pág. 173, eq. (13).
18. Erdélyi y col. 1955 , pág. 194, 10,13 (22).

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 22" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Señor  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Courant, Richard ; Hilbert, David (1989) [1953], Métodos de física matemática , Volumen 1, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-50447-4
• Erdélyi, Arthur ; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Funciones trascendentales superiores (PDF) , II , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-019546-2
• Fedoryuk, MV (2001) [1994], "Función de Hermite" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Laplace, PS (1810), "Mémoire sur les intégrales dé fi nies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les résultats des observación", Mémoires de l'Académie des Sciences : 279–347 Oeuvres complètes 12, págs . 357-412 , traducción al inglés .
• Shohat, JA; Hille, Einar; Walsh, Joseph L. (1940), Una bibliografía sobre polinomios ortogonales , Boletín del Consejo Nacional de Investigación, Número 103, Washington DC: Academia Nacional de Ciencias - 2000 referencias de Bibliografía sobre polinomios de Hermite.
• Suetin, PK (2001) [1994], "Polinomios de Hermite" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Szegő, Gábor (1955) [1939], Orthogonal Polynomials , Colloquium Publications, 23 (4ª ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1023-1
• Temme, Nico (1996), Funciones especiales: una introducción a las funciones clásicas de la física matemática , Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-11313-3
• Wiener, Norbert (1958) [1933], The Fourier Integral and Certain of its Applications (edición revisada), Nueva York: Dover Publications, ISBN 0-486-60272-9
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1996) [1927], Un curso de análisis moderno (4ª ed.), Londres: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2

enlaces externos

• Medios relacionados con los polinomios de Hermite en Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Hermite" . MathWorld .
• Biblioteca científica GNU : incluye la versión C de polinomios de Hermite, funciones, sus derivadas y ceros (ver también Biblioteca científica GNU )