En matemáticas , la teoría de categorías superiores es la parte de la teoría de categorías de orden superior , lo que significa que algunas igualdades se reemplazan por flechas explícitas para poder estudiar explícitamente la estructura detrás de esas igualdades. La teoría de categorías superiores se aplica a menudo en la topología algebraica (especialmente en la teoría de la homotopía ), donde se estudian las invariantes algebraicas de los espacios , como su ∞-grupoide débil fundamental .
Una categoría ordinaria tiene objetos y morfismos , que se denominan 1-morfismos en el contexto de la teoría de categorías superiores. Una categoría 2 generaliza esto al incluir también 2 morfismos entre los 1 morfismos. Continuando con esto hasta n -morfismos entre ( n - 1) -morfismos se obtiene una n -categoría.
Así como la categoría conocida como Cat , que es la categoría de categorías y funtores pequeños, es en realidad una categoría de 2 con transformaciones naturales como sus morfismos de 2, la categoría n - Cat de n -categorías (pequeñas) es en realidad una ( n + 1)-categoría.
La estructura monoide de Set es la dada por el producto cartesiano como tensor y un singleton como unidad. De hecho, a cualquier categoría con productos finitos se le puede dar una estructura monoide. La construcción recursiva de n - Cat funciona bien porque si una categoría C tiene productos finitos, la categoría de categorías enriquecidas con C también tiene productos finitos.
Si bien este concepto es demasiado estricto para algunos propósitos, por ejemplo, en la teoría de la homotopía , donde las estructuras "débiles" surgen en forma de categorías superiores, [1] también han surgido grupos estrictos de homotopía cúbica superior que brindan una nueva base para la topología algebraica en el límite entre la teoría de la homología y la homotopía ; consulte el artículo Topología algebraica no abeliana , al que se hace referencia en el libro a continuación.
En las n -categorías débiles , las condiciones de asociatividad e identidad ya no son estrictas (es decir, no están dadas por igualdades), sino que se satisfacen hasta un isomorfismo del siguiente nivel. Un ejemplo en topología es la composición de caminos , donde las condiciones de identidad y asociación se mantienen solo hasta la reparametrización y, por lo tanto, hasta la homotopía , que es el 2-isomorfismo para esta 2-categoría . Estos n - isomorfismos deben comportarse bien entre hom-sets y expresar esto es la dificultad en la definición de n - categorías débiles . DébilLas 2-categorías , también llamadas bicategorías , fueron las primeras en definirse explícitamente. Una particularidad de estos es que una bicategoría con un objeto es exactamente una categoría monoide , por lo que se puede decir que las bicategorías son "categorías monoidales con muchos objetos". Las 3 categorías débiles , también llamadas tricategorías , y las generalizaciones de alto nivel son cada vez más difíciles de definir explícitamente. Se han dado varias definiciones y decir cuándo son equivalentes y en qué sentido se ha convertido en un nuevo objeto de estudio en la teoría de categorías.