En matemáticas , la topología algebraica no abeliana estudia un aspecto de la topología algebraica que involucra (inevitablemente no conmutativas) álgebras de dimensiones superiores .
Muchas de las estructuras algebraicas de dimensiones superiores son no conmutativas y, por tanto, su estudio es una parte muy importante de la teoría de categorías no abelianas, y también de la Topología Algebraica Nonabeliana (NAAT), [1] que generaliza a dimensiones superiores ideas procedentes del grupo fundamental . [2] Tales estructuras algebraicas en dimensiones mayores que 1 desarrollan el carácter no abeliano del grupo fundamental, y son en un sentido preciso 'más no abelianos que los grupos' . [1] [3] Estos no conmutativos, o más específicamente, no abelianosLas estructuras reflejan con mayor precisión las complicaciones geométricas de dimensiones más altas que los grupos de homología y homotopía conocidos que se encuentran comúnmente en la topología algebraica clásica .
Una parte importante de la topología algebraica no abeliana se ocupa de las propiedades y aplicaciones de los grupos homotópicos y los espacios filtrados . Los groupoides dobles no conmutativos y los algebroides dobles son solo los primeros ejemplos de tales estructuras de dimensiones superiores que no son abelianas. Los nuevos métodos de topología algebraica no abeliana (NAAT) "pueden aplicarse para determinar invariantes homotópicos de espacios y clasificación homotópica de mapas, en casos que incluyen algunos resultados clásicos y permiten resultados no disponibles por métodos clásicos" . Omega-groupoides cúbicos, groupoides de mayor homotopía , módulos cruzados ,los complejos cruzados y los groupoides de Galois son conceptos clave en el desarrollo de aplicaciones relacionadas con la homotopía de espacios filtrados, estructuras espaciales de dimensiones superiores, la construcción del grupoide fundamental de un topos E en la teoría general de topoi, y también en sus aplicaciones físicas en cuántico no abeliano teorías y desarrollos recientes en gravedad cuántica , así como dinámica categórica y topológica . [4] Otros ejemplos de tales aplicaciones incluyen las generalizaciones de formalizaciones de geometría no conmutativa de los modelos estándar no conmutativos a través de dobles grupos fundamentales yestructuras de espacio-tiempo aún más generales que topoi o los espacio-tiempos no conmutativos de menor dimensión que se encuentran en varias teorías topológicas de campos cuánticos y teorías de geometría no conmutativa de la gravedad cuántica.
Un resultado fundamental en NAAT es el teorema generalizado de van Kampen de mayor homotopía probado por R. Brown, que establece que "el tipo de homotopía de un espacio topológico se puede calcular mediante un colímite adecuado o un colímite de homotopía sobre los tipos de homotopía de sus piezas" . Un ejemplo relacionado es el de los teoremas de van Kampen para categorías de morfismos de cobertura en categorías extensivas . [5] Otros informes de generalizaciones del teorema de van Kampen incluyen enunciados para 2 categorías [6] y un topos de topoi [1] .Resultados importantes en álgebra de dimensiones superiores son también las extensiones de laTeoría de Galois en categorías y categorías variables , o categorías indexadas/'parametrizadas'. [7] El teorema de representación de Joyal-Tierney para topoi es también una generalización de la teoría de Galois. [8] Así, indexando por bicategorías en el sentido de Benabou también se incluye aquí la teoría de Joyal-Tierney . [9]