En matemáticas , el teorema de la sicigia de Hilbert es uno de los tres teoremas fundamentales sobre los anillos polinomiales sobre campos , probado por primera vez por David Hilbert en 1890, que se introdujo para resolver importantes cuestiones abiertas en la teoría invariante y está en la base de la geometría algebraica moderna . Los otros dos teoremas son el teorema de base de Hilbert que afirma que todos los ideales de anillos polinomiales sobre un campo se generan finitamente, y el Nullstellensatz de Hilbert , que establece una correspondencia biyectiva entre variedades algebraicas afines e ideales primos de anillos polinomiales.
El teorema de la sicigia de Hilbert se refiere a las relaciones , o sicigias en la terminología de Hilbert, entre los generadores de un ideal o, más generalmente, un módulo . Como las relaciones forman un módulo, se pueden considerar las relaciones entre las relaciones; El teorema de la sicigia de Hilbert afirma que, si uno continúa de esta manera, comenzando con un módulo sobre un anillo polinomial en n indeterminados sobre un campo, finalmente se encuentra un módulo cero de relaciones, después de n pasos como máximo .
El teorema de la sicigia de Hilbert ahora se considera un resultado temprano del álgebra homológica . Es el punto de partida del uso de métodos homológicos en álgebra conmutativa y geometría algebraica.
Historia
El teorema de la sicigia apareció por primera vez en el artículo fundamental de Hilbert "Über die Theorie der algebraischen Formen" (1890). [1] El artículo se divide en cinco partes: la parte I demuestra el teorema de la base de Hilbert sobre un campo, mientras que la parte II lo demuestra sobre los números enteros. La Parte III contiene el teorema de la sicigia (Teorema III), que se usa en la Parte IV para discutir el polinomio de Hilbert. La última parte, la parte V, demuestra la generación finita de ciertos anillos de invariantes . Por cierto, la parte III también contiene un caso especial del teorema de Hilbert-Burch .
Syzygies (relaciones)
Originalmente, Hilbert definió sicigias para ideales en anillos polinomiales , pero el concepto se generaliza trivialmente a módulos (izquierda) sobre cualquier anillo .
Dado un grupo electrógeno de un módulo M sobre un anillo R , una relación o primera sicigia entre los generadores es una k -tuplade elementos de R tales que [2]
Dejar ser un módulo gratuito con baseLa k - tupla puede identificarse con el elemento
y las relaciones forman el núcleo del mapa lineal definido por En otras palabras, uno tiene una secuencia exacta
Este primer módulo syzygy depende de la elección de un grupo electrógeno, pero, si es el módulo que se obtiene con otro grupo electrógeno, existen dos módulos libres y tal que
dónde denotar la suma directa de módulos .
El segundo módulo de sicigia es el módulo de las relaciones entre generadores del primer módulo de sicigia. Continuando de esta manera, se puede definir el k- ésimo módulo sicigia para cada entero positivo k .
Si el k- ésimo módulo syzygy está libre para algunos k , entonces tomando una base como un grupo generador, el siguiente módulo syzygy (y todos los subsiguientes) es el módulo cero . Si uno no toma las bases como grupos electrógenos, entonces todos los módulos sicigios subsiguientes son gratuitos.
Sea n el número entero más pequeño, si lo hay, tal que el n- ésimo módulo sicigia de un módulo M sea libre o proyectivo . La propiedad de invariancia anterior, hasta la suma directa con módulos libres, implica que n no depende de la elección de los grupos electrógenos. La dimensión proyectiva de M es este número entero, si existe, o ∞ si no. Esto es equivalente a la existencia de una secuencia exacta.
donde los módulos son gratis y es proyectiva. Se puede demostrar que siempre se puede elegir los grupos electrógenos parasiendo libre, eso es para que la secuencia exacta anterior sea una resolución libre .
Declaración
El teorema de la sicigia de Hilbert establece que, si M es un módulo generado finitamente sobre un anillo polinomial en n indeterminados sobre un campo k , entonces el n- ésimo módulo sicigia de M es siempre un módulo libre .
En el lenguaje moderno, esto implica que la dimensión proyectiva de M es como máximo n , y por lo tanto existe una resolución libre.
de longitud k ≤ n .
Este límite superior de la dimensión proyectiva es agudo, es decir, hay módulos de dimensión proyectiva exactamente n . El ejemplo estándar es el campo k , que puede considerarse como un-módulo por configuración para cada i y cada c ∈ k . Para este módulo, el n- ésimo módulo syzygy es gratuito, pero no el ( n - 1) ésimo (para una demostración, vea § Complejo de Koszul , más abajo).
El teorema también es cierto para los módulos que no se generan de forma finita. Como la dimensión global de un anillo es el supremo de las dimensiones proyectivas de todos los módulos, el teorema de la sicigia de Hilbert puede reformularse como: la dimensión global dees n .
Dimensión baja
En el caso de cero indeterminados, el teorema de la sicigia de Hilbert es simplemente el hecho de que todo espacio vectorial tiene una base .
En el caso de un solo indeterminado, el teorema de la sicigia de Hilbert es un ejemplo del teorema que afirma que sobre un anillo ideal principal , cada submódulo de un módulo libre es en sí mismo libre.
Complejo de Koszul
El complejo de Koszul , también llamado "complejo de álgebra exterior", permite, en algunos casos, una descripción explícita de todos los módulos sicigios.
Dejar ser un sistema generador de un ideal I en un anillo polinomial, y deja ser un módulo gratuito de baseEl álgebra exterior dees la suma directa
dónde es el módulo gratuito, que tiene como base los productos exteriores
tal que En particular, uno tiene (debido a la definición del producto vacío ), las dos definiciones de coincidir, y para t > k . Para cada t positivo , se puede definir un mapa lineal por
donde el sombrero significa que se omite el factor. Un cálculo sencillo muestra que la composición de dos mapas consecutivos de este tipo es cero y, por lo tanto, uno tiene un complejo
Este es el complejo de Koszul . En general, el complejo de Koszul no es una secuencia exacta , pero es una secuencia exacta si se trabaja con un anillo polinomial. y un ideal generado por una secuencia regular de polinomios homogéneos .
En particular, la secuencia es regular, y el complejo de Koszul es, por tanto, una resolución proyectiva de En este caso, el n- ésimo módulo syzygy está libre de dimensión uno (generado por el producto de todos); el ( n - 1) th módulo syzygy es, por tanto, el cociente de un módulo libre de dimensión n por el submódulo generado porEste cociente puede no ser un módulo proyectivo , ya que de lo contrario existirían polinomios tal que que es imposible (sustituyendo el por 0 en la última igualdad proporciona 1 = 0 ). Esto prueba que la dimensión proyectiva dees exactamente n .
La misma prueba se aplica para demostrar que la dimensión proyectiva de es exactamente t si el Forman una secuencia regular de polinomios homogéneos.
Cálculo
En la época de Hilbert, no había ningún método disponible para calcular sicigias. Solo se sabía que un algoritmo puede deducirse de cualquier límite superior del grado de los generadores del módulo de sicigias. De hecho, los coeficientes de las sicigias son polinomios desconocidos. Si el grado de estos polinomios está acotado, el número de sus monomios también está acotado. Expresar que uno tiene una sicigia proporciona un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los coeficientes de estos monomios. Por lo tanto, cualquier algoritmo para sistemas lineales implica un algoritmo para syzygies, tan pronto como se conoce un límite de los grados.
La primera cota para los syzygies (así como para el problema de pertenencia ideal ) fue dada en 1926 por Grete Hermann : [3] Sea M un submódulo de un módulo libre L de dimensión t sobresi los coeficientes sobre una base de L de un sistema generador de M tienen un grado total como máximo d , entonces hay una constante c tal que los grados que ocurren en un sistema generador del primer módulo sicigia son como máximoEl mismo límite se aplica para probar la pertenencia a M de un elemento de L . [4]
Por otro lado, hay ejemplos en los que necesariamente se produce un doble grado exponencial . Sin embargo, estos ejemplos son extremadamente raros, y esto plantea la cuestión de un algoritmo que sea eficiente cuando la salida no sea demasiado grande. En la actualidad, los mejores algoritmos para calcular sicigias son los algoritmos de base de Gröbner . Permiten el cálculo del primer módulo syzygy, y también, casi sin coste adicional, todos los módulos syzygy.
Syzygies y regularidad
Cabría preguntarse cuál es la propiedad teórica del anillo de hace que se mantenga el teorema de la sicigia de Hilbert. Resulta que esto es regularidad , que es una formulación algebraica del hecho de que el espacio n afín es una variedad sin singularidades . De hecho, se cumple la siguiente generalización:ser un anillo noetheriano. Luego tiene una dimensión global finita si y solo si es regular y la dimensión Krull de es finito; en ese caso la dimensión global dees igual a la dimensión de Krull. Este resultado se puede probar usando el teorema de Serre en anillos locales regulares .
Ver también
- Teorema de Quillen-Suslin
- Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert
Referencias
- ↑ D. Hilbert, Über die Theorie der algebraischen Formen, Mathematische Annalen 36, 473-530.
- ^ La teoría se presenta para módulos generados de forma finita , pero se extiende fácilmente a módulos arbitrarios.
- ^ Grete Hermann: Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale. Unter Benutzung nachgelassener Sätze von K.Hentzelt , Mathematische Annalen, Volumen 95, Número 1, 736-788, doi : 10.1007 / BF01206635 ( resumen en idioma alemán) - La cuestión de un número finito de pasos en la teoría de ideales polinomiales (revisión y en inglés traducción)
- ^ G. Hermann afirmó que c = 1 , pero no probó esto.
- David Eisenbud , álgebra conmutativa. Con miras a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas, 150. Springer-Verlag, Nueva York, 1995. xvi + 785 págs. ISBN 0-387-94268-8 ; ISBN 0-387-94269-6 SEÑOR1322960
- "Teorema de Hilbert" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]